《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》章§子空間

1、第3章 子空間（有限），積空間，商空間在這一章中我們介紹通過已知的拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的三種慣用的辦法.為了避免過早涉及某些邏輯上的難點(diǎn)，在§ 3.2 中我們只討論有限個拓?fù)淇臻g的積空間，而將一般 情形的研究留待以后去作.§ 3.1 子空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握度量子空間、拓?fù)淇臻g子空間的概念，子空間的拓?fù)渑c大空間拓?fù)渲g的關(guān)系以及子空間的閉集、鄰域、基、導(dǎo)集、閉包與大空間相應(yīng)子集之間的關(guān)系及表示法.討論拓?fù)淇臻g的子空間目的在于對于拓?fù)淇臻g中的一個給定的子集，按某種“自然的方式”賦予它一個拓?fù)涫怪蔀橐粋€拓?fù)淇臻g，以便將它作為一個獨(dú)立的對象進(jìn)行考察.所謂“自然的方式”應(yīng)當(dāng)是什么

2、樣的方式？為回答這個問題，我們還是先從度量空間做起， 以便得到必要的啟發(fā).考慮一個度量空間和它的一個子集. 欲將這個子集看作一個度量空間， 必須要為它的每 一對點(diǎn)規(guī)定距離.由于這個子集中的每一對點(diǎn)也是度量空間中的一對點(diǎn)，因而把它們作為子集中的點(diǎn)的距離就規(guī)定為它們作為度量空間中的點(diǎn)的距離當(dāng)然是十分自然的.我們把上述想法歸納成定義：定義3.1.1 設(shè)（X, P）是一個度量空間， Y是X的一個子集.因此，YXY _ XXX.顯 然: YX YR是Y的一個度量（請自行驗(yàn)證）.我們稱 Y的度量，是由X的度 量p誘導(dǎo)出來的度量.度量空間（Y,p）稱為度量空間（X,p）的一個度量子空間.我們常說度量空間 Y

3、是度量空間X的一個度量子空間，意思就是指Y是X的一個子集，并且Y的度量是由X的度量誘導(dǎo)出來的.我們還常將一個度量空間的任何一個子集自動地認(rèn) 作一個度量子空間而不另行說明.例如我們經(jīng)常討論的： 實(shí)數(shù)空間R中的各種區(qū)間（a, b）,a, b ,（ a, b等；n + 1維歐氏空間匚 中的料10 =（迢內(nèi)宀和）訂工分=1n維單位球面：M+1"（兀和凡就疋去武|工卡 1n維單位開、閉球體:.-1»+1"（心出宀砧）訂工分1）以及n維單位開、閉方體和I等等，并且它們也自然被認(rèn)作是拓?fù)淇臻g(考慮相應(yīng)的度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)?.定理3.1.1設(shè)Y是度量空間X的一個度量子空間則 Y的

4、子集U是Y中的一個開集當(dāng)且僅當(dāng)存在一個 X中的開集V使得U= VP Y.證明 由于現(xiàn)在涉及兩個度量空間，我們時時要小心可能產(chǎn)生的概念混淆對于xX(y Y)，臨時記度量空間 X( Y)中以x( y )為中心以£ > 0為半徑的球形鄰域?yàn)?quot;二二門,兒* .首先指出：有二一-PY.這是因?yàn)閦X屬于 牛當(dāng)且僅當(dāng)zY且二二(z,y)<£ .現(xiàn)在設(shè)U 1,由于Y的所有球形鄰域構(gòu)成的族是 Y的拓?fù)涞囊粋€基，U可以表示為Y 中的一族球形鄰域，設(shè)為 A的并于是U畑 M仇滬u=(U M仇W設(shè)卩叫加腫口 US另一方面，設(shè)U= VP Y,其中V '二.如果y U,則有

5、y Y和y V. V,龍 J'按照定理的啟示，我們來逐步完成本節(jié)開始時所提出的任務(wù).定義3.1.2 設(shè)A是一個集族，Y是一個集合.集族A P Y|A A稱為集族A在集合Y 上的限制，記作!/引理3.1.2 設(shè)Y是拓?fù)淇臻g(X, T)的一個子集.則集族 是Y的一個拓?fù)?證明 我們驗(yàn)證'】滿足拓?fù)涠x中的三個條件：(1) 由于XT和Y=XH Y,所以Y:;由于 匚= n Y,所以:_： -:（2）如果 A, B，即丄蘭匸二-：丿- A-Q I I：于是j4n5 = (2ny)n(5 n?) =(n£)nK; 2n5er,/n5eT|r（3）如果遼是集族'的一個子集

6、族，即對于每一個A遼，丫fU知上已門丫定義3.1.3 設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個子集.Y的拓?fù)?稱為（相對于X的拓?fù)銽而言的）相對拓?fù)?；拓?fù)淇臻g（Y, ' ，）稱為拓?fù)淇臻g的一個（拓?fù)洌┳涌臻g.我們常說拓?fù)淇臻g Y是拓?fù)淇臻gX的一個子空間，意思就是指Y是X的一個子集，并且 Y的拓?fù)渚褪菍τ?X的拓?fù)涠缘南鄬ν負(fù)浯送猓覀円渤⑼負(fù)淇臻g的子集認(rèn)為是一個 子空間而不另行說明.假設(shè)Y是度量空間X的一個子空間.現(xiàn)在有兩個途徑得到 Y的拓?fù)洌阂皇峭ㄟ^X的度量 誘導(dǎo)出Y的度量，然后考慮Y的這個度量誘導(dǎo)出來的拓?fù)?；另一是先將X考慮成一個拓?fù)淇臻g，然后考慮Y的拓?fù)錇閄的拓?fù)湓赮上引出來的相對拓?fù)?/p>

7、. 事實(shí)上定理已經(jīng)指出經(jīng) 由這兩種途徑得到的 Y的兩個拓?fù)涫且粯拥南旅姘堰@層意思重新敘述一遍.定理3.1.3設(shè)Y是度量空間X的一個度量子空間則 X與Y都考慮作為拓?fù)淇臻g時Y是X的一個（拓?fù)洌┳涌臻g.定理3.1.4 設(shè)X, Y, Z都是拓?fù)淇臻g如果 Y是X的一個子空間，Z是Y的一個 子空間，貝V Z是X的一個子空間.證明 當(dāng)Y是X的一個子空間，Z是Y的一個子空間時，我們有 ZcYcX ；并且若設(shè)T為X的拓?fù)鋾r，Z的拓?fù)涫牵ǎ?Un Y|U T:=un Yn z|U T=U n z|U t= '二因此Z是X的一個子空間.定理3.1.5設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個子空間，y Y.貝V(2) 分別記

8、F和F為X和Y的全體閉集構(gòu)成的族，則F =L(3) 分別記 &和方y(tǒng)為點(diǎn)y在X和Y中的鄰域系，貝方y(tǒng)= S .證明(1)即是子空間和相對拓?fù)涞亩x.(2) 成立是因?yàn)椋?FX-UUeTr=(X-U ) n Y|U T=Y - Un Y|U T= ；：-三一 ：'(3) 設(shè)-則-，因此存在使得V= : n Y,令吋叫由于冋帆:衛(wèi)冋并且L/1ny = uU)ny= u= u所以U 1：'.以上證明-.類似的論證指出 丄-L . -r定理3.1.6 設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個子空間，A是Y的一個子集則(1) A在y中的導(dǎo)集是A在X中的導(dǎo)集與Y的交；(2) A在Y中的閉包是 A在X

9、中的閉包與 Y的交.證明 為證明這個定理，我們?nèi)苑謩e記A在X中的導(dǎo)集和閉包為 d (A)和二；而記A在Y中的導(dǎo)集和閉包分別為八(A)和一(A).(I ) 一方面，設(shè)y(A).則對于y在X中的任何一個鄰域 U,根據(jù)定理3.1.5 ,UnY是y在Y中的一個鄰域，所以 切仏為2©燈)門冶仞)奔0因此y d(A).此外當(dāng)然有 y Y.所以y d(A) n y.這證明 燈(A) _d (A)n Y.另一方面，設(shè)涉d(A)n Y,v Un(j4- (j/) 0aj4cX?=> Vn(A-(y) c Y二 7 c 僅一 OO) = (P c (乂 一 ) cY = " c 僅一 3

10、)工 0所以 y = (A).這證明 d (A _ d (A)n Y.(2)成立是因?yàn)?.'(A)=A U h(A)=A U (d(A) n Y)=(A U d(A) n (A U Y)= J n Y定理3.1.7設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個子空間，y Y.貝V(1) 如果B是拓?fù)淇臻gX的一個基，貝V * b是子空間Y的一個基；(2) 如果*是點(diǎn)y在拓?fù)淇臻gX中的一個鄰域基，則是點(diǎn)y在子空間Y中 的一個鄰域基.證明(1 )設(shè)B是X的一個基.對于 Y中的任何一個開集 U,存在X中的一個開集 V使 得U=V1 Y;存在B的一個子族'1,使得 y 八-因此U=-由于上式中 的每一個BnY是

11、：b中的一個元素，所以在上式中 u已經(jīng)表示成了；卜中的某些元素之并 了 因此；卜是Y的一個基.(2)證明(略).“子空間”事實(shí)上是從大拓?fù)淇臻g中“切割”出來的一部分.這里有一個反問題，概言之就是：一個拓?fù)淇臻g什么時候是另一個拓?fù)淇臻g的子空間？換言之，一個拓?fù)淇臻g在什么條件下能夠“鑲嵌”到另一個拓?fù)淇臻g中去？當(dāng)然假如我們拘泥于某些細(xì)節(jié)，例如涉及的拓?fù)淇臻g是由什么樣的點(diǎn)構(gòu)成的，那么問題會變得十分乏味，然而我們在§ 2. 2中便提到過，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也就是說我們不去著意區(qū)別同胚的兩個拓?fù)淇臻g在這種意義下，以上問題可以精確地陳述如下：定義3.1.4 設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:X tY.映射f稱為一個嵌入，如果它是一個 單射，并且是從 X到它的象集f(X)的一個同胚.如果存在一個嵌入 f: XtY,我們說拓?fù)淇?間X可嵌入拓?fù)淇臻gY.事實(shí)上，拓?fù)淇臻gX可嵌入拓?fù)淇臻g Y意思就是拓?fù)淇臻g X與拓?fù)淇臻gY的某一個子空 間同胚換言之，在不區(qū)別同胚的兩個拓?fù)淇臻g的意義下，X “就是” Y 的一個子空間.不能嵌入的一個簡單例子是， 一個離散空間， 如果它含有多于一個點(diǎn)， 就決不可能嵌入 到任