復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)

1、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)一、復(fù)合函數(shù)的鏈式法則一、復(fù)合函數(shù)的鏈式法則二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性一、復(fù)合函數(shù)的鏈式法則 設(shè)z=f(u,v)是變量u，v的函數(shù)，而u，v又是x，y的函數(shù)，即 ，如果能構(gòu)成z是x ,y的二元復(fù)合函數(shù)),(),(yxvyxu),(),(yxyxfz如何求出函數(shù)z對自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)呢？定理 設(shè)函數(shù) 在點(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù) 存在，且有下面的鏈式法則：yzxz,),(),(yxvyxu),(),(yxyxfz(1) . ,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz

2、復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖是公式(1)給出z對x的偏導(dǎo)數(shù)是(*) xvvzxuuzxz 公式(*)與結(jié)構(gòu)圖兩者之間的對應(yīng)關(guān)系是：偏導(dǎo)數(shù) 是由兩項組成的，每項又是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積，公式(*)的這兩條規(guī)律，可以通過函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖得到，即xz (1)公式(*)的項數(shù)，等于結(jié)構(gòu)圖中自變量x到達z路徑的個數(shù).函數(shù)結(jié)構(gòu)中自變量x到達z的路徑有兩條.第一條是 ，第二條是 ，所以公式(*)由兩項組成.zvxzux (2)公式(*)每項偏導(dǎo)數(shù)乘積因子的個數(shù),等于該條路徑中函數(shù)及中間變量的個數(shù).如第一條路徑 ,有一個函數(shù)z和一個中間變量u，因此，第一項就是兩個偏導(dǎo)數(shù) 與 的乘積.zuxxuuz 復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然是多種多樣，求

3、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)公式也不完全相同，但借助函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，運用上面的法則，可以直接寫出給定的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的公式.這一法則通常形象地稱為鏈式法則.下面借助于函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖，利用鏈式法則定出偏導(dǎo)數(shù)公式.1、設(shè)z=f(u,v,w)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 都有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) .),(),(),(yxwyxvyxu),(),(),( yxyxyxfzyzxz, 由結(jié)構(gòu)圖看出自變量x到達z的路徑有三條，因此 由三項組成.而每條路徑上都有一個函數(shù)和一個中間變量，所以每項是函數(shù)對中間變量及中間變量對其相應(yīng)自變量的偏導(dǎo)數(shù)乘積，即xz(2) .xwwzxvvzxuuzxz同理可得到，(3) .ywwzyvvz

4、yuuzyz2.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 都有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) .),(zyxu),(zyxv),(),(zyxzyxfwzwywxw, (4) ., ,zvvwzuuwzwyvvwyuuwywxvvwxuuwxw借助于結(jié)構(gòu)圖，可得3.設(shè)函數(shù)w=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而 可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)只是自變量x的函數(shù)，求z對x的導(dǎo)數(shù) .),(xu)(xv)(),( xxfzxzdd 可得(5) .ddddddxvvzxuuzxz 在這里，函數(shù)z是通過二元函數(shù)z=f(u,v)而成為x的一元復(fù)合函數(shù).因此，z對x的導(dǎo)數(shù) 又稱為z對x的全導(dǎo)數(shù).對公式(5)應(yīng)注意，由于z，u，v這三個

5、函數(shù)都是x的一元函數(shù)，故對x的導(dǎo)數(shù)應(yīng)寫成 ，而不能寫成 .xvxuxz, xvxuxzdd,dd,dd xzdd 公式(5)是公式(2)的特殊情形，兩個函數(shù)u,v的自變量都縮減為一個，即公式(2)就變成 (5).更特殊地，如果函數(shù)z不含v，只是u的函數(shù)，于是公式(5)變成.dddddd xuuzxz這正是一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式.4.設(shè)函數(shù)z=f(x,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 有偏導(dǎo)數(shù)，求復(fù)合函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) .),(yxv),(, yxxfzyzxz, 自變量x到達z的路徑有二條，第一路徑上只有一個函數(shù)，即z是x的函數(shù).第二路徑上有兩個函數(shù)z和v.自變量y到達z的路徑只有一條，于是 的偏導(dǎo)數(shù)公式應(yīng)是：

6、yzxz, (6) . yvvfyzxvvfxfxz， 注意： 這里的 與 是代表不同的意義.其中 是將函數(shù) 中的y看作常量而對自變量x求偏導(dǎo)數(shù)，而 是將函數(shù)f(x,v)中的v看常量而對第一個位置變量x求偏導(dǎo)數(shù)，所以兩者的含意不同，為了避免混淆，將公式(6)右端第一項寫 ，而不寫為 .xfxz xz ),(, yxxfzxfxfxz ., yzxz例1 設(shè) 求,sineyxvxyuvzu解法1 得xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 1cosesinevyvuu，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy1cosesine vxvuu解法2 對于具體的二元

7、復(fù)合函數(shù)，可將中間變量u，v，用x，y代入，則得到 ，z 是x，y二元復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈式法則，得)sin(eyxzxy)cos(e)sin(e yxyxyxzxyxy)cos(e)sin(e yxyxxyzxyxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy例2 設(shè) ，其中f(u,v)為可微函數(shù)，求),(22xyyxfz., yzxz解 令 ，可得xyvyxu,22xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中 不能再具體計算了，這是因為外層函數(shù)f 僅是抽象的函數(shù)記號，沒有具體給出函數(shù)表達式.vzuz,，vzyuzx 2，vzxuzy 2例3 設(shè) ，

8、其中f(u,v,w)為可微函數(shù)，求., zwywxw),(2xyzxyxfw 解 令 可得.,2xyztxyvxuxttwxvvwxuuwxwdd .twxzvwx. twxyzttwzw,2twyzvwyuwxyttwyvvwyw 例4 設(shè) 求,e2sin),(222yxvxvxvxfwv.xz解 可得xvvfxfxz 在該例中，我們清楚看出 與 含意是不同的.xfxz .4)sin(4sin 22xyxxvxf顯然不等于 .xz xvxxvv2)ecos()4(sin.2e)cos(4)sin(222222xyxxxyxyx例5 設(shè) 求.dd ,ln,e,2tztyxxztytyyztxx

9、ztzdddddd解 得txxyxyty1lne221) 1(222yxxyxyyy).1(ln22ttt.sin vfyxyvvfyz.,yzxz.cos vfyxfxvvfxfxz例6 設(shè)z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)為可微函數(shù)，求解 令v=xcosy，得 求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，不需要新的方法和新的公式，只需把一階偏導(dǎo)數(shù)看作一個新的函數(shù)，應(yīng)用鏈式法則對它再求偏導(dǎo)數(shù)即可.332211 uxxuxw. 0 222222zwywxw222,1zyxuuw例7 設(shè) ，求證：證22221dd zyxxuxuuwxw.1)(33uxuxxuuuxu331dd12224331zyxxuxu

10、.31523uxu由于x，y，z在函數(shù)中的地位是相同的，所以同樣有.31 ,31 5232252322uzuzwuyuyw. 033 )( 33 3352223222222uuuzyxuzwywxw因此有二、全微分形式不變性 與一元函數(shù)的微分形式不變性類似，多元函數(shù)全微分也有形式不變性.也就是說不論u，v是自變量還是中間變量，函數(shù)z=f(u,v)的全微分的形式是一樣的.即(7) .dddvvzuuzz這個性質(zhì)稱為全微分的形式不變性. 事實上，設(shè)z=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當u，v是自變量時，顯然(7)式成立. 如果u，v是中間變量，即 ，且這兩個函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)),(),(yx

11、vyxu),(),(yxyxfz的全微分為,dddyyzxxzz其中. , yvvzyuuzyzxvvzxuuzxzyzxz, 將 代入上式，得yyvvzyuuzxxvvzxuuzzd dd即，當u，v是中間變量時，(7)式也成立.這就證明了全微分形式不變性.yyvxxvvzyyuxxuuzdddd.ddvvzuuz).0( ddd,d d)(d,d d)(d2vvvuuvvuuvvuvuvuvu例如，.ddd)(d)()(dvuuvvvuvuuuvvu利用全微分形式不變性及全微分的四則運算公式，求函數(shù)的全微分會更簡便些.利用全微分形式不變性，比較容易地得出全微分的四則運算公式，例8 求 的全微分及偏導(dǎo)數(shù).222zyxxu解222222222)(dd)(dzyxzyxxxzyxu,)(2222222zyxxzyxu2222222)()d2d2d2(d)(zyxzzyyxxxxzyx.)(d2d2d)(2222222zyxzxzyxyx