五章線空間與線變換ppt課件

1、第五章第五章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換1 1 線性空間的概念線性空間的概念 線性空間也是線性代數(shù)的中心內(nèi)容之一, 本章引見線性空間的概念及其簡單性質(zhì), 討論線性空間的基和維數(shù)的概念, 引見線性變換的概念和線性變換的矩陣表示. 一一. . 數(shù)域數(shù)域 (1) 0, 1K ; 定義5.1 設(shè)K是一個數(shù)集, 假設(shè) (2) a, bK, 都有a+bK, a-bK, abK, 且當b0時, a/bK, 那么稱K是一個數(shù)域. 可見, 有理數(shù)集Q, 實數(shù)集R, 復(fù)數(shù)集C都是數(shù)域. 數(shù)集也是數(shù)域. 可見, 有無窮多個數(shù)域. 但恣意數(shù)域都包含于有理數(shù)域. 對幾何空間中的向量, 實數(shù)域上的n維向量, 實

2、數(shù)域上的矩陣等, 它們的元素間都定義了各自的加法和乘數(shù)兩種運算, 而且滿足一樣的運算規(guī)律, 這就是線性空間. 二二. . 線性空間的定義和例子線性空間的定義和例子( 2)a+b 2|a, bQQ 定義5.2 設(shè)V是一個非空集合, K是一個數(shù)域, 假設(shè)在V上定義了加法和與K中數(shù)的乘法兩種運算, 且滿足 (1) +=+(加法交換律); (2) (+)+=+(+)(加法結(jié)合律); (3) V中有零元素0, 使V有 +0= ; (4) V, -V, 使 +(-)=0, 稱-為的負元素; (5) k(+)=k+k , , V, kK; (6) (k+l)=k+l , V, k, lK; (7) (kl)

3、=k(l ) , V, k, lK; (8) 1= , V, 1K; 那么稱V為數(shù)域K上的一個線性空間. 記為VK , 或V. 線性空間也稱為向量空間, 其元素都稱為向量.例如: 數(shù)域K上的一切n維向量組成的集合Kn, 對向量的加法和乘數(shù)兩種運算, 構(gòu)成數(shù)域K上的一個線性空間. 數(shù)域K上的一切mn矩陣的集合Kmn, 對矩陣的加法和乘數(shù)兩種運算, 構(gòu)成數(shù)域K上的一個線性空間. 實系數(shù)齊次線性方程組Ax=0的全體解的集合U, 對解向量的加法和乘數(shù)兩種運算, 構(gòu)成實數(shù)域R上的一個線性空間. 數(shù)域K上的一切次數(shù)小于n的多項式的集合Kxn, 對多項式的加法和乘數(shù)兩種運算, 構(gòu)成K上的一個線性空間. 線性

4、空間具有以下簡單性質(zhì): 1. 令向量是獨一的. 01=01+02=02 2. 每個向量的負向量是獨一的. -1=(-1)+0=(-1)+(+(-2) =(-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2 3. 0=0, k0=0, V, kK 0+=0+1=(0+1)=, 由1.得0=0 . 4. 假設(shè)k=0, 那么, k=0或=0. =1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0 三三. . 子空間子空間 定義5.3 設(shè)U是線性空間V的一個非空子集. 假設(shè)U對V的加法和乘數(shù)兩種運算也構(gòu)成線性空間, 那么稱U是V的子空間. 按定義可見, 集合0是V的子空間, 稱之為零子空間, V也是V的子空間. 這兩

5、個子空間稱為V的平凡子空間, 其它的稱為非平凡子空間. , U, kK, 都有+U, kU 定理5.1 設(shè)U是線性空間V的一個非空子集. 那么U是V的子空間的充分必要條件是U對V的加法和乘數(shù)兩種運算是封鎖的. 即例如 n元實系數(shù)齊次線性方程組Ax=0的解空間U是Rn的子空間. 設(shè)1, 2,r 是線性空間VK中的一組向量, 那么 Kxn是Kx的子空間. Knn中一切對稱矩陣構(gòu)成Knn的子空間. L(1, 2,r)=k11+k22+krr|k1,k2,krK是VK的子空間. 稱為由1, 2,r生成的子空間.2 2 基基 維數(shù)維數(shù) 坐標坐標 齊次線性方程組Ax=0的全體解的集合U構(gòu)成解空間,我們知道

6、U中一切向量都可以有Ax=0的根底解系表示. 這是線性空間的重要性質(zhì). 一一. . 基基 維數(shù)維數(shù) 坐標坐標 定義5.4 在線性空間V中, 假設(shè)有n個向量1, 2,n線性無關(guān), 而且V中恣意向量都可由它們線性表示, 那么稱 1, 2,n為V的一組基, n稱為V的維數(shù), V稱為n維線性空間. 僅含零向量的線性空間維數(shù)是零, 假設(shè)V中有恣意多個線性無關(guān)的向量, 稱其為無限維線性空間. 如Kx. 在線性代數(shù)中, 只討論有限維線性空間. 可見, 假設(shè)將線性空間V看成一向量組, 所謂基就是V的一個極大線性無關(guān)組, 所謂維數(shù)就是V的秩. Kxn是n維線性空間, 1, x, x2,xn-1 是它的一組基.例

7、如 齊次線性方程組Ax=0的根底解系就是方程組解空間U的基, 假設(shè)n元方程組的系數(shù)矩陣的秩為r, 那么U是n-r維線性空間. Rmn是mn維線性空間, 如R23的一組基為:100010001000000000,000000000100010001 向量組1, 2,r的一個極大線性無關(guān)組, 就是線性空間L(1, 2,r)的一組基, 其維數(shù)就是向量組的秩. 定理5.2 設(shè)V是n維線性空間, 假設(shè)V中向量組1, 2, m線性無關(guān), 那么在V中必有n-m個向量m+1, m+2,n, 使得1, 2, m, m+1, m+2,n是V的一組基. 定義5.5 設(shè)1, 2, n是線性空間VK的一組基, 假設(shè)VK

8、可以表示為: 由定理可見, 含有非零向量的線性空間一定存在基. 基的重要性之一就是空間中每個向量都能由基線性表示. =x11+x22+xnn那么稱(x1, x2,xn)T為向量在基1, 2, n下的坐標. 可見, 坐標是由向量及基的選取獨一確定的. 例1 試求線性空間R3中向量=(1, 2, 3)T在基: =x1=x1 1+x21+x2 2+x32+x3 3 3 解 設(shè)所求坐標為(x1, x2, xn)T, 那么即解之得, x1=2, x2=-1/2, x3=-1/2.所以, 向量在基1, 2, 3下的坐標是(2, -1/2, -1/2)T. 1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 1, -1

9、)T, 3=(1, -1, -1)T下的坐標.123123123123xxxxxxxxx也可以寫成:11232122, 普通地, 向量在基1, 2, n下的坐標為(x1, x2,xn)T,也可表示為:1212,.,nnxxx 二二. . 基變換與坐標變換基變換與坐標變換 線性空間假設(shè)有基, 顯然基不獨一. 那么一個向量在不同基下就有不同的坐標, 下面就來討論它們之間的關(guān)系. 設(shè)1, 2,n和1, 2, n是線性空間VK的兩組基, 那么, 這兩個向量組等價. 假設(shè)那么合起來就有:12,1,2,.,kknkcccknk12n , ,.,簡記為 定義5.6 矩陣C稱為由基1, 2,n到基1, 2,

10、n的過渡矩陣. 過渡矩陣是可逆的.111212122212nnnnnnccccccccc12n12n , ,.,= , ,.,12n12n , ,.,= , ,.,C 定理5.3 設(shè)1, 2, n和1, 2, n是線性空間VK的兩組基. 假設(shè)向量在這兩組基下的坐標分別為x=(x1, x2, xn)T, y=(y1, y2, yn)T, 那么x=Cy. 其中C是過渡矩陣. 證明 由于 由于向量在一組基下的坐標是獨一的, 所以x=Cy.12nyyy12n , ,., 如例1中, =(1, 2, 3)T在基1=(1, 0, 0)T, 2=(0, 1, 0)T, 3=(0,0,1)T下的坐標顯然為(1

11、,2,3)T, 12nyyy12n , ,.,C 且由基1, 2, 3 到基1, 2, 3的過渡矩陣為(1, 2, 3), 所以, =(1, 2, 3)T在基1, 2, 3下的坐標為: ( ( 1, 1, 2, 2, 3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T3)-1(1, 2, 3)T=(2, -1/2, -1/2)T作作 業(yè)業(yè)習題習題A A 第第9898頁頁1 、2、3、6 、7、8練習題練習題習題習題B B 第第100100頁頁1、 2、 4 、53 3 線線 性性 變變 換換 線性變換是線性空間上的重要運算, 本節(jié)引見線性變換的概念, 并討論線性變換與矩陣之間的關(guān)系

12、. 一一. . 定義和例子定義和例子 定義5.7 設(shè) 是線性空間VK到VK的一個映射, 且滿足, VK, kK都有那么稱 為VK的一個線性變換. (+)= ()+ () (k)=k ()例如 A ARnRnn, n, 定義定義 (A)=AT, (A)=AT, 那么那么 為為RnRnn n的一個的一個線性變換線性變換. . 取0VK, VK, 定義 ()=0, 那么 為VK的一個線性變換, 稱為零變換.(2) ()= (); 線性變換 具有以下簡單性質(zhì): (1) (0)=0; 取取A ARnRnn, n, Rn, Rn, 定義定義 ( ()=A)=A, , 那么那么 為為RnRn的一個線性變換的

13、一個線性變換. . VK, 定義 ()=, 那么 為VK的一個線性變換, 稱為恒等變換或單位變換. (3) (x11+x22+xmm) =x1 (1)+x2 (2)+xm (m)二二. . 線性變換的矩陣線性變換的矩陣 設(shè) 為線性空間VK的一個線性變換, 1, 2, n是VK的一組基, VK, 假設(shè)=x11+x22+xnn, 那么即, ()是由 (1), (2), (n)獨一確定的. 由于 (1), (2), (n)VK, 故可由1, 2, n線性表示, 記 ()=x1 (1)+x2 (2)+xn (n) (1)=a111+a212+an1n (2)=a121+a222+an2n (n)=a1

14、n1+a2n2+annn例如其中 (1, 2, n)=(1, 2, n)A矩陣A的第j列為向量 (j)在基1, 2,n下的坐標.111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 矩陣A稱為線性變換 在基1, 2,n下的矩陣.例如 線性空間Kxn中, 求微商的變換 在基1, x, x2, xn-1下的矩陣為:0000A01000000A010002000000A0100002000010000An 零變換在任何基下的矩陣都是零矩陣. 單位變換在任何基下的矩陣都是單位矩陣. 線性空間Kxn中, 求微商的變換 在基1, x, x2/2, xn-1/(n-1)下的矩陣為:0000A010000

15、00A010001000000A0100001000020000An AR22, 定義 (A)=AT, 那么 在基E11, E12, E21, E22下的矩陣為:1000A10000100A100001010000A1000001001000001A1112212210010000,00001001E EE EE EE E 定理5.4 設(shè)線性變換 在基1, 2,n下的矩陣是A, 向量在基1,2,n下的坐標為x=(x1, x2, xn)T,那么 ()在這組基下的坐標是Ax. 證明證明 由于由于=x1=x11+x21+x22+xn2+xnn, n, 所以所以 =(1, 2, n)TAx ()=x1

16、 (1)+x2 (2)+xn (n) =( (1), (2), (n)x所以, ()在基1,2,n下的坐標是Ax. 定理5.5 設(shè) 是線性空間V的線性變換, 假設(shè) 在兩組基1, 2,n和1, 2,n下的矩陣分別為A和B, 且由基1, 2,n到基1, 2, n的過渡矩陣為C, 那么B=C-1AC. 證明證明 由于由于 ( (1, 1, 2, 2, n)=(n)=(1, 1, 2, 2, n)An)A (1, 2, n)=(1, 2, n)C于是 (1, 2, n)B= (1, 2, n)= (1, 2, n)C = (1, 2, n)C=(1, 2, n)AC =(1, 2, n)C-1AC由于

17、線性變換在一個基下的矩陣是獨一的, 故B=C-1AC. 例2 設(shè)線性空間R3的線性變換 在基1, 2, 3下的矩陣為 解解 基基1, 1, 2, 2, 3 3到基到基1, 1, 2, 2, 3 3的過渡矩陣為的過渡矩陣為求 在基1=1, 2=-31-22+23, 3=1+22+23下的矩陣.先求C-1, 由于112012021A131022022C13 1 1 0 0()02 2 0 1 0022 0 0 1C E32212321/21231 02 100 11 000 04 011rrrrr所以, 在基1, 2, 3下的矩陣為:32313121/41144112441 0 0 110 1 0

18、 00 0 1 0rrrrr1211144114411,00C故12114411441111 213100120220021022B10001 00034 4 歐幾里得空間歐幾里得空間 歐幾里得空間就是在實線性空間上定義了數(shù)量積. 一一. . 定義和例子定義和例子 定義5.8 設(shè)V是實數(shù)域R上的一個線性空間, 在V上定義一個二元實函數(shù), , 滿足: , , V, kR, 有那么稱二元實函數(shù), 是V上的內(nèi)積, 此時的線性空間V稱為Euclid(歐幾里得)空間. (1) 對稱性: , =, (2) 線性性: +, =, +, k, =k, (3) 正定性: , 0, 且僅當=0時, , =0.例如

19、: 在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2,bn)TRn, 定義 : , =a1b1+2a2b2+nanbn, 那么Rn也成為Euclid空間,但它是與上面不同的Euclid空間. 在Rxn中, f(x) , g(x) Rxn, 定義內(nèi)積為: 在Rn中, =(a1, a2,an)T, =(b1, b2,bn)TRn, 定義 : , =a1b1+a2b2+anbn, 那么Rn成為Euclid空間.那么Rxn也成為Euclid空間.1-1f(x),g(x)=f(x)g(x)dx 利用內(nèi)積的概念, 可以定義Euclid空間中向量的長度, 向量的夾角等概念. 向量的長度詳細以下性質(zhì)

20、: 定義5.9 設(shè)V是Euclid空間, V, 非負實數(shù), 1/2稱為向量的長度(或范數(shù), 或模), 記為|(或).還有下面的Cauchy-Schwarz不等式: (1) 非負性: |0, 且僅當=0時, |=0 ; (2) 齊次性: |k|=|k|; (3) 三角不等式: |+|+|. |, |.假設(shè)|=1, 稱為單位向量. 假設(shè)0, 那么(1/|)是單位向量. 定義5.10 在Euclid空間中, 兩個非零向量, 的夾角記為, 規(guī)定為: 定義定義5.12 5.12 在在EuclidEuclid空間中空間中, , 一組兩兩正交的非零向量一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組稱為正交向量組, ,

21、 由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱為規(guī)范由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱為規(guī)范正交向量組正交向量組. .可見, =/2當且僅當, =0. 定義定義5.11 5.11 假設(shè)假設(shè) , , =0, =0, 那么稱那么稱與與正交正交. . 可見, 1, 2, n為規(guī)范正交組i, j=ij . , ,=arccos,0,| | | 定理5.6 正交向量組必線性無關(guān) . 在線性空間R3中, 取規(guī)范內(nèi)積, =x1y1+x2y2+x3y3, 使R3成為一個 Euclid空間.解之得一個解為, =(-2, 1, 1)T, 將單位化得: 解 先求與1, 2都正交的向量, 記=(x1, x2, x3)T, 那么 1, 1,

22、 = x1+x2+x3=0, = x1+x2+x3=0, 2, 2, =x2-x3=0=x2-x3=011211( 2,1,1)(,) .|6666TT 例3 在Euclid空間R3中, 求一個單位向量, 使其與兩個向量1=(1, 1, 1)T, 2=(0, 1, -1)T 都正交.111,01222111 , = - , 二二. . 規(guī)范正交基規(guī)范正交基 定理5.7 在Euclid空間中, 假設(shè)向量組1, 2, m線性無關(guān), 那么有規(guī)范正交向量組1, 2, m與之等價 . 證明 先正交化, 取 1 =1 = 1, 1, ,1222111 , = - , 32333222,1111 , , =

23、 - - , , 21212211.mmmmmmmmm1111 , , , = , , , 再將1, 2, m單位化, 取1222111,|mmm11 = = = 那么1, 2, m就是所求規(guī)范正交向量組. 上述由線性無關(guān)向量組1, 2, m,得到正交向量組1, 2, m的方法稱為Schimidt(斯密特)正交化過程. 定義5.13 在n維Euclid空間V中, 含有n個向量的正交向量組稱為V的正交基. 由單位向量構(gòu)成的正交基稱為規(guī)范正交基. 例4 在線性空間Rx3中, 定義內(nèi)積11 ( ), ( )( ) ( )f x g xf x g x dx試求Rx3的一組規(guī)范正交基. 解 取Rx3的一組基, 1=1, 2=x, 3=x2, 將其正交化得: 1 =1 = 1=1, 1=1, 1222111 , = - , 111111xdxxdx=-x=11232111121111x dxx dxxxdxx dx3=-21 / 3x= 1, 1, 2, 2, mm就是就是Rx3Rx3的一組規(guī)范正交基的一組規(guī)范正交基. .11|11 =11111dx=22=22