數(shù)列解題方法總結（學生版）

1、 數(shù)列復習課 第一課 等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷與證明：證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法常有四種：定義法、等差或等比中項法、數(shù)學歸納法、反證法。1、定義法.證明數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件的方法： .證明數(shù)列是等差數(shù)列的充分條件的方法：.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：.證明數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件的方法：（n>2，為常數(shù)且0）注意事項：用定義法時常采用的兩個式子和有差別，前者必須加上“”，否則時無意義，等比中一樣有：時，有（常數(shù)）；時，有（常數(shù)）2、中項法(1).(充要條件)若(注：三個數(shù)為等差數(shù)列的充要條件是:)(充分條件)2()是等差數(shù)列，（2）.(充要條件)若 是等比數(shù)列 (充分條

2、件)（n1）是等比數(shù)列，注: 是a、b、c等比數(shù)列的充分不必要條件是a、b、c等比數(shù)列的必要不充分條件.是a、b、c等比數(shù)列的充要條件.任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項，除非有ac0，則等比中項一定有兩個.3、通項公式與前項和法1. 通項公式法（1）.若數(shù)列通項能表示成（為常數(shù)）的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列。(充要條件)(2).若通項能表示成(均為不為0的常數(shù)，)的形式，則數(shù)列是等比數(shù)列(充要條件)2. 前項和法(1).若數(shù)列的前項和Sn能表示成 (a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列；(充要條件)(2).若Sn能表示成(均為不等于0的常數(shù)且q1)的形式，則數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列 (充要條件)

3、例1已知數(shù)列an滿足a12a，an2a（n2）其中a是不為0的常數(shù)，令bn。求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列。例2已知公比為3的等比數(shù)列與數(shù)列滿足，且，判斷是何種數(shù)列，并給出證明。例3.已知數(shù)列是等比數(shù)列（），是其前n項的和，則，仍成等比數(shù)列。第二課：等差、等比數(shù)列的基本運算例1已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則 A1 B2 C4 D8 例2（2010浙江）設為等比數(shù)列的前n項和，A11B8 C5 D11例3數(shù)列滿足并且，則數(shù)列的第100項為 A B C D例4黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案第1個第2個第3個則第個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是（）A. B.C.D. 第三課 通項公式的求法

4、一、公式法；等差、等比數(shù)列公式.例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。二、累加法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。三、累乘法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。四、取倒數(shù)法例 已知數(shù)列中，其中，且當n2時，求通項公式。5、 待定系數(shù)法例 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公式。六、構造法 ；.例 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式.【解析】 【反思歸納】遞推關系形如“” 適用于待定系數(shù)法或特征根法：令； 在中令，；由得，.例 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式.【

5、解析】，令 【反思歸納】遞推關系形如“”通過適當變形可轉化為：“”或“求解.第四課 數(shù)列求和的方法一、利用常用求和公式求和1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：前個正整數(shù)的和 前個正整數(shù)的平方和 前個正整數(shù)的立方和 公式法求和注意事項 （1）弄準求和項數(shù)的值； （2）等比數(shù)列公比未知時，運用前項和公式要分類。例 已知，求的前n項和.例 設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 二、錯位相減法求和這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比；然后再將得到的新和式和原

6、和式相減，轉化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。例：在數(shù)列中，（I）設，求數(shù)列的通項公式（II）求數(shù)列的前項和三、 倒序相加法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例1 求數(shù)列的前n項和：，四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例1 求數(shù)列的前n項和：，五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：常見的裂項公式有：； ； ； 例 求數(shù)列的前n項和. 則 例 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.六、合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn. 例 數(shù)列an：，求