市場投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)模型

1、市場投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)模型李吉志 胡驛姿 胡凱摘要本文提出了一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，解決了市場投資方案的問題，使收益值盡可能大，風(fēng)險(xiǎn)值盡可能小。為了方便求解，我們把非線性的轉(zhuǎn)化為線性的，并將兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)用加權(quán)系數(shù)法，引入加權(quán)系數(shù)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，其中反應(yīng)的是風(fēng)險(xiǎn)水平。另外，在考慮交易費(fèi)時(shí)，由于有個(gè)最小給定值的約束使問題很復(fù)雜，為了簡化，我們將問題簡化為只考慮超過部分的交易費(fèi)，這樣也利于求解。最后，由MATLAB求解出問題的最佳抉擇與收益及其風(fēng)險(xiǎn)表：問題一的投資組合方案如下：00.030.040.050.20.2110.00000.00000.00001.00000.99010.36900.

2、23760.00000.00000.61500.39600.00000.00000.00000.10800.0000投資銀行0.00000.00000.22840.0000收益0.26730.21650.20160.0005風(fēng)險(xiǎn)0.02480.01850.02380.0000問題二給出了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的一般模型：再將帶入模型，按問題一相同思路得出投資組合方案（具體方案見文中）。關(guān)鍵詞：多目標(biāo)規(guī)劃 加權(quán)系數(shù)法 市場投資一、問題的重述市場上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）供投資者選擇，某公司有數(shù)額為的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評估，估算出這在這一時(shí)期內(nèi)購買

3、的平均收益率為，并預(yù)測出購買的風(fēng)險(xiǎn)損失率?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購買要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購買額不超過給定值時(shí)，交易費(fèi)按購買計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（=5%） 1、已知n = 4時(shí)的由給出的相關(guān)數(shù)據(jù)，試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。 2、試就一般情況對以上問題進(jìn)行討論，并利用給出數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。二、模型的假設(shè)1、假設(shè)確定相當(dāng)大，這一條件可以在交易額很小時(shí)，

4、忽略交易費(fèi)；2、假設(shè)投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，且總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的資產(chǎn)當(dāng)中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；3、假設(shè)交易費(fèi)按購買計(jì)算，在不買的情形下當(dāng)然無須付費(fèi)；4、假設(shè)同期銀行存款利率保持定值不變，且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。三、符號的約定市場資產(chǎn)數(shù)目；市場資產(chǎn)的種類（其中表示投資銀行）；選擇投資的資金比例（其中表示投資銀行的資金比例）；購買的平均收益率；購買的風(fēng)險(xiǎn)損失率；購買的交易費(fèi)率交易費(fèi)用；交易額較低時(shí)的交易費(fèi)用；總給定的投資資金；凈收益額；總體風(fēng)險(xiǎn)。四、模型的建立與求解（一）問題一的分析、模型的建立與求解1、問題的分析該問題為一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問題，即要提出一種投資方案，既要收益盡可能大，又要讓風(fēng)險(xiǎn)最小

5、。在投資每一種資金的同時(shí)，都有著相應(yīng)的一組數(shù)據(jù)對應(yīng)，即收益率 ，風(fēng)險(xiǎn)損失率，交易費(fèi)率。對于銀行來說，。但在考慮交易費(fèi)時(shí)需要分段考慮：在考慮總體風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，我們要求值最小，而風(fēng)險(xiǎn)又是在所有投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量，即要求在風(fēng)險(xiǎn)的最大值中找到一組最小值解，實(shí)際為一極小極大值問題。兩者是對立矛盾的，就要我們在兩者之間找到一個(gè)合適的投資方案讓問題求解。2、模型的建立建立多目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)：約束條件：3、模型的求解對于該模型的求解，是比較復(fù)雜的，直接求解幾乎找不到方法，我們只好將問題進(jìn)行化簡處理，試探求解。問題的復(fù)雜在于交易費(fèi)有個(gè)最小給定值的約束，我們?nèi)绻幸徊糠滞顿Y額低于給定值時(shí)，問題將十分麻煩，將對4

6、種投資各進(jìn)行兩次判斷是否達(dá)到最低給定值，那么總共的情況就有種。在投資額都超過最低給定值的這種情況下的交易費(fèi)： 顯然數(shù)據(jù)很小，我們可以忽略掉。在最好的一種方便的情況下，就是4中投資額都超過最低給定值，將使問題清晰，一目了然。然而在假設(shè)中為相當(dāng)大，我們就更有理由將交易費(fèi)低于給定值的情形忽略，將問題簡化為只考慮超過部分的交易費(fèi)。重新列出為：此時(shí)把當(dāng)作一個(gè)單位量，于是，現(xiàn)在問題還是比較復(fù)雜，我們將兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)用加權(quán)系數(shù)法，引入加權(quán)系數(shù)。轉(zhuǎn)化為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)： 反應(yīng)的是風(fēng)險(xiǎn)水平，時(shí)投資者只顧收益不顧風(fēng)險(xiǎn)，這樣，收益可能達(dá)到最大，但是風(fēng)險(xiǎn)也達(dá)到最大；時(shí)投資者總是擔(dān)心風(fēng)險(xiǎn)，不會考慮收益，這樣就會把投資全部放在

7、銀行。對于第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)，是一個(gè)非線性的，解決十分麻煩，但是該式總有一個(gè)最大值，則有，于是可以把該式轉(zhuǎn)化為一個(gè)約束條件讓問題簡便。上述線性規(guī)劃模型，容易由MATLAB優(yōu)化工具箱的linprog線性規(guī)劃函數(shù)求出解。我們?nèi)。幊趟阉髑蠼獾玫阶罴丫駬衽c收益及其風(fēng)險(xiǎn)見表1：表1：投資組合方案（見附錄程序一）00.030.040.050.20.2110.00000.00000.00001.00000.99010.36900.23760.00000.00000.61500.39600.00000.00000.00000.10800.0000投資銀行0.00000.00000.22840.0000收益0.2

8、6730.21650.20160.0005風(fēng)險(xiǎn)0.02480.01850.02380.00004、問題的結(jié)果投資組合表中的收益與風(fēng)險(xiǎn)值之間的關(guān)系見圖1：圖1：收益與風(fēng)險(xiǎn)值關(guān)系可以看出，在收益增大的同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)也在增大。這符合一般生活的規(guī)律。而由圖也可以看出，在風(fēng)險(xiǎn)為0的情形下，收益值為0.05，此時(shí)剛好正是全部投資銀行的收益值。（二）問題二的分析、模型的建立與求解1、問題的分析本問題要求給出一般情況的討論，實(shí)際上，在問題一的基礎(chǔ)上我們很容易歸結(jié)出該模型的一般情況。即將上面建立的模型中的4換為n即可。相同的，我們還是當(dāng)作很大的時(shí)候，交易費(fèi)很低時(shí)，U值可以忽略，使問題簡化。2、模型的建立由分析可以寫

9、出模型的一般情況：上述問題仍然采用問題一的思想，運(yùn)用加權(quán)系數(shù)法將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)為單一目標(biāo)線性規(guī)劃問題：3、模型的求解對于一般情形下的，下面進(jìn)行計(jì)算。由于一般情形中假設(shè)投資額較小時(shí)，可以忽略，驗(yàn)證該情況下的交易費(fèi)：可以看出，對于相當(dāng)大的M，該值不計(jì)時(shí)符合的。運(yùn)用相同的方法計(jì)算得到最佳抉擇與收益及其風(fēng)險(xiǎn)見表2：表2：時(shí)的投資組合方案（見附錄程序二）00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.110.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05180.00000.00000.00000.00000.00000.04530.04250.0

10、4030.00000.94340.04980.04560.04270.04070.03830.03620.00000.00000.00000.00000.06110.05820.05470.05180.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05890.05580.00000.00000.04390.04020.03770.03590.03380.03200.00000.00000.00000.08180.07680.07320.06870.06510.00000.0

11、0000.05600.05130.04810.04590.04310.04080.00000.00000.07460.06830.06410.06110.05740.05440.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.74640.68340.64110.61110.57390.54360.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0

12、0000.00000.00000.00000.00000.0000存銀行0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.0000凈收益0.40940.32070.31660.31070.30310.29090.27940.0500風(fēng)險(xiǎn)值0.56600.02990.02730.02560.02440.02300.02170.00004、問題的結(jié)果上表中投資組合表中的收益與風(fēng)險(xiǎn)值之間的關(guān)系見圖2：圖2：時(shí)收益與風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系由圖可以看到，收益值增加的同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)也在增大。我們可以通過簡單的曲線擬合來建立收益風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，找到最優(yōu)情況下的組合。五、模型的檢驗(yàn)與靈敏度分析1

13、、實(shí)用性分析我們在簡化模型的時(shí)候，是在的前提下給出解集的，也就是要滿足每一項(xiàng)投資：。對于這個(gè)條件，由于給出值一般較小，充分大，是容易滿足的。但是我們的模型在時(shí)，給出的解就不再時(shí)最優(yōu)解。2、靈敏度分析對最小的投資額的分析在適用性滿足的條件下，我們得找出一個(gè)最小的投資額，看不同的情況下的靈敏度。對于不同的值對應(yīng)的如表3：表3：不同的值對應(yīng)的00.030.040.050.20.211199.9798 536.5854 833.3333不考慮總體說來，的值比起充分大的來說，還是很小的；而且可以看出，在這個(gè)大的范圍之內(nèi)，全部存入銀行，不考慮最小值。對n值的分析由問題一與問題二可知，在n增大的情況下，得到

14、的收益值越大，且風(fēng)險(xiǎn)值越小。也就是說投資越分散，總體的風(fēng)險(xiǎn)也就偏小，凈收益也就增大。對相關(guān)數(shù)據(jù)的分析由于投資項(xiàng)目的各組數(shù)據(jù)值較多，也容易變化，參考起來比較復(fù)雜。而該題目中銀行利率是一個(gè)單一的量，現(xiàn)在來考察不同對問題的影響。現(xiàn)僅對問題一，取5%，10%，15%。再次計(jì)算可以看到，結(jié)果的收益值與風(fēng)險(xiǎn)值沒有發(fā)生變化。所以可以看出在較大時(shí)，選擇存銀行是不合適的。因?yàn)槠渌Y產(chǎn)的收益率在一定程度上都比銀行大，但相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)也提高了。六、模型的評價(jià)與推廣1、模型的優(yōu)點(diǎn)本問題在一定程度上綜合考慮了投資的利弊，給出了一個(gè)多目標(biāo)的線性模型，在充分大的條件下，再利用加權(quán)系數(shù)法，使問題簡化，轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性規(guī)劃模型，運(yùn)用MA

15、TLAB中的優(yōu)化工具箱得到解。2、模型的缺點(diǎn)在加權(quán)系數(shù)給定的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算數(shù)據(jù)跳躍比較大，而沒有再細(xì)化值，讓數(shù)據(jù)比較連貫。另外，該模型是僅在充分大的情況下適用。忽略了交易費(fèi)的影響。而在實(shí)際生活中，盡管交易費(fèi)很低，但是在多次交易當(dāng)中，該部分就不得不重視，所以模型有待進(jìn)一步的改進(jìn)與完善。3、模型的推廣該問題可以推廣到n種情況的投資，用來組合投資，讓收益值最大而風(fēng)險(xiǎn)值最小。七、參考文獻(xiàn)1姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2楊啟帆，數(shù)學(xué)建模，北京：高等教育出版社，2005。3葉其孝，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材，北京，湖南教育出版社，1993。4何堅(jiān)勇，運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)，北京：清華大

16、學(xué)出版社，1999八、附錄【程序一】：問題一的程序clear all;close all;clc;for t=0:0.01:1 %加權(quán)系數(shù)，進(jìn)行循環(huán)搜索tr=5 28 21 23 25;q=0 2.5 1.5 5.5 2.6;p=0 1 2 4.5 6.5;for i=1:5 f1(1,i)=r(1,i)-p(1,i);endf=(t-1)*f1*0.01,t;A=0 2.5 0 0 0 -1 0 0 1.5 0 0 -1 0 0 0 5.5 0 -1 0 0 0 0 2.6 -1;b=0;0;0;0;Aeq=1+0.01*p,0;beq=1;lb=0 0 0 0 0 0;x,fval=lin

17、prog(f,A,b,Aeq,beq,lb,);xx=x(1:5,1);A=f1*x*0.01 %凈收益值的輸出 B=max(q.*x'*0.01) %風(fēng)險(xiǎn)值的輸出end【程序二】：問題二的程序clear all;close all;clc;for t=0:0.01:1 %加權(quán)系數(shù)，進(jìn)行循環(huán)搜索tr=5 9.6 18.5 49.4 23.9 8.1 14 40.7 31.2 33.6 36.8 11.8 9 35 9.4 15;q=0 42 54 60 42 1.2 39 68 33.4 53.3 40 31 5.5 4 5.3 23;p=0 2.1 3.2 6.0 1.5 7.6 3

18、.4 5.6 3.1 2.7 2.9 5.1 5.7 2.7 4.5 7.6;for i=1:16 f1(1,i)=r(1,i)-p(1,i);endf=(t-1)*f1*0.01,t;A=0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 54 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 68 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 33.4 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 53.3 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 31 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0