重積分的應(yīng)用

1、第四節(jié)重積分的應(yīng)用1 求半徑為a的球的表面積。解 取上半球面方程為z=.a2=x2【y2，則它在x0y面上的投影 區(qū)域 D=x, y )x2 +y2 蘭 a2 。由傘一x遼一-y由 _欣 Pa2 _x2 _y2欣 Ja2_x2_y2因為這函數(shù)在閉區(qū)域 D上無界，我們不能直接應(yīng)用曲面面積公式。 所以先取區(qū)域Di二如y)x2 +y2蘭b2 (0ba)為積分區(qū)域，算出相應(yīng)于 Di上的球面面積Ai后，令ba取Ai的極限就得半球面的面積。aAi=.Didxdy2 2 2a -x - yb ；-d.a22利用極坐標，得Ai= !.!.Dib Pd P(: 2 2=2 a=2 二a a _ a - b0 .

2、a22于是ijmA =哩2皿-“272)=2請這就是半個球面的面積，因此整個球面的面積為A = 4：a22,設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星，距地面的高度為h=3600km，運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積 與地球表面積的比值（地球半徑 R=6400km）解 取低心為坐標原點，低心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸，建立坐標系，如圖9-40所示。通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面匕是上半球面被半頂角為a的圓錐面所截得的 部分。的方程為R：2 2 2 Dxy . R x yydxdy其中戈是曲面在xOy面上的投影區(qū)域，Dxy訣x,y ）x2 +y2 WR2sin2/利用極坐標得2兀 Rs iR

3、Rs i a PA 二 d，：d =2二Rd -00.R220.R222=2二R 1 -c o ：s由于cos ，代入上式得R+h2“ R 、2 hA=2江R 1 |=2兀R I R+h丿R+h由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為A4R26:42.5%h _36102 R h 2 36 6.4 *106又以上結(jié)果可知，衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積， 故使用三 顆相隔2二角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面。33.求位于兩圓，=2sin和，=4sin之間的均勻薄片的質(zhì)心（圖9-41） 解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸，所以質(zhì)心CM必位于y軸上，再按公式y(tǒng)D心計算y。由于閉區(qū)域d位于半

4、徑為i與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個圓的面積之差，即A = 3二。再利用極坐標計算積分：211 yd ；-:sin 力d r =DDo sin rd v4sin sin56 sin0因此 丫二丄3兀 3所求質(zhì)心是C 0,7 II 3丿類似的，占有空間有界閉區(qū)域門、在點X,y,z處的密度為，x,y,z （假 定t x, y, z在上】連續(xù)）的物體的質(zhì)心坐標是- 1 1 1xxx,y,zdv,yyzdv,z = zx,y,zdvMMM 其中 M ： I i Fix,y,z dvQ4. 求軍于半球體的質(zhì)心。解取半球體的對稱軸為z軸，原點取在球心上，又設(shè)求半徑為a,則半球體所占空間閉區(qū)域

5、門-:x, y, z x2 y2 z2 弐a2, z 亠0顯然，質(zhì)心在z軸上，故x一 1 1z iii zdv iii zdvM V門其中V二a3為半球體的體積322兀上L3iiizdv= r cos * r sindrd d j - d 2 coss in d ? r drQ Q31si n2l2a4 na4=2兀.| o .=2 一44因此，Z=3a，質(zhì)心為0,0,3a8I 8丿5. 求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量 n對于其直徑邊的 轉(zhuǎn)動慣量。解 取坐標系如圖9-42所示，則薄片所占閉區(qū)域D =、x, y x2 y2 _ a2, y _ 0I而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣

6、量Ilx =y2d匚-sin2 動dDD4a 32a 2=0 d0sin劉sind1 II 4二12aMa424其中M =- al為半圓薄片的質(zhì)量。2類似的，占有空間有界閉區(qū)域，在點處的密度為，x,y,z （假定x,y,z在上門連續(xù)）的物體對于X, y，z軸的轉(zhuǎn)動慣量為lx ： IIIy2 z2 x,y,zdvQI y ： I 丨丨 ix2 z2x, y, z dvQlz x2 y2 x,y,zdv6. 求密度為，的均勻球體對于過球心的一條軸I的轉(zhuǎn)動慣量。解 取球心為坐標原點，z軸與軸I重合，又設(shè)求的半徑為a,貝吐求 體所占空間閉區(qū)域M - x, y, z x2y2z2 空 a2 I所求轉(zhuǎn)動慣

7、量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量為lz = x2 y2 ?dv=P (r2 sin2 cos2 日 +r2sin2 sin2 日 r2 sindrd半d日2打汀a:：-:iiir4sin3 drd d - 一 茁sin3 d r4dr0*00何3 I寺 |2mQ5=:2一： * 5 其中M =4二a為球體的質(zhì)量。37.設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域二：x,y,z x2 y2 z2R2?。求它對位于Mo 0,0,a a R處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力。解 設(shè)球的密度為0，由球體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知，所求引力沿z軸的分量為z - a3|2Rr dv =G% L(z-a dz ff2 y2 亠 i.

8、z -a 2R2兀尺= Z -a dz 0 2 0x2 y2 歡 &dxdy32 y2 亠 i. z-a?】2r2 三：-d ：-b2 z-a 21 _ 1 、(a-z jR2_2az+a21 R= 2GG -2R R_ a fR= 2Go. z-aRdzz -a d R2 -2az a2=2 兀GPo 2R+2R 2R33a24二R3 、1M_ -G 一o 2 _ _G 23 aa其中M二竺訂為球的質(zhì)量。上述結(jié)果表明：均勻球?qū)η蛲庖稽c的如3同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點間的引力。第十二節(jié)含參數(shù)變量的積分1.設(shè)x=r,應(yīng)用尼茨公式，得 j“. sinx = x cosxy dyx23-2x小si

9、nx ,22x1xx2.sin xyixb -x2sinx3 sinx2 3sinx3 - 2sinx2+ =dx,(0 c a v b)In x因為bIn x-xy 1 xydy =In xj所以1 bI dx xydy% a這里函數(shù)f x,y i=xy在矩形R=0,1 a,b上連續(xù)，根據(jù)定理2,可交換積分次序，由此有1b1yb1a dy 0 X dxa1 0b xb 1b 1dya7qdyn3-計算定積分T晉k解 考慮含參變:的積分所確定的函數(shù)(9-In 1： x ,dx1x2顯然，： o m =丨。根據(jù)公式（4）得：,:-1X- 廠dx)1 ： 2X 1X2把被積函數(shù)分解為部分公式得到X1- ：X衛(wèi) I- - - -1 :：匕X 1X-1 叱/ |1 ：心1 X-1 X