勾股定理綜合性難題及答案

1、勾股定理練習(xí)題1、如圖，已知：在-ABC中，-ACB = 90 ,分別以此直角二角形的二邊為直徑畫(huà)半圓，試說(shuō)明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等.2、直角三角形的面積為S，斜邊上的中線長(zhǎng)為d ,則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為（）（A）.d2 S 2d（ B）.d2_S_d（C）2 d2 S 2d（ D）2 d2 S d3、 如圖所示，在 Rt ABC 中，BAC =90, AC 二 AB, DAE = 45，且 BD=3,CE =4,求DE的長(zhǎng).4、如圖在RtAABC中C =90 , AC =4,BC =3，在abc的外部拼接一個(gè)合適的直角三 角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形。如圖所示：要求：在

2、兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)（請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆畫(huà)出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫(huà)出正確的圖形） 5已知：如圖， ABC中，/ C = 90°點(diǎn)O ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，OD丄BC，OE丄AC，OF丄AB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且 BC = 8cm, CA = 6cm，則點(diǎn)O到三邊AB，AC和BC的距離分別等于 cmC6. 如圖，在 ABC中，AB=AC , P為BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明：AB2 AP2=PBX PC7. 在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù) 20米處的池塘的A處；另 一只爬到樹(shù)頂

3、D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則 這棵樹(shù)高多少米？8. 長(zhǎng)為4 m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60。角（如圖所示），則梯子的頂 端沿墻面升高了 m.9. 已知：如圖， ABC中，/ C= 90°, D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DE 丄DF.求證：AE2+ BF2 = EF2.10.已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn),E為CB的四等分點(diǎn)且CE =1 -CB4求證：AF丄FE.FAH11.已知 ABC中，a2+ b2 + c2= 10a+ 24b+ 26c 338,試判定 ABC的形狀，并說(shuō)明你的理

4、由.12.已知a、b、c是厶ABC的三邊，且a2c2 b2c"二a4 b4,試判斷三角形的形狀.13 .如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A開(kāi)始經(jīng) 過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn) B，那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)？如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)2 214.三角形的三邊長(zhǎng)為(a b) =c 2ab ,則這個(gè)三角形是()(A)等邊三角形(B)鈍角三角形(C)直角三角形(D)銳角三角形.勾股定理練習(xí)題答案1、如圖，已知：在 ABC中，ACB=90，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫(huà)半圓，試說(shuō) 明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等.

5、2、直角三角形的面積為S ,（A）. d2 S 2d（C） 2 d2 S 2d斜邊上的中線長(zhǎng)為d，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為（B）、d -S-d（D）2 d2 S d,S = ab22解:設(shè)兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,則c=2d,2.由勾股定理，得a b2 2 2 2 2所以 a b a2 2ab b2 二 c2 4S = 4d2 4S所以a b=2 d2 S.所以 a b c = 2 d2 S 2d.故選（c） 3、如圖所示，在 Rt ABC 中，BAC =90, AC 二 AB, DAE = 45，且 BD=3,CE =4,求DE的長(zhǎng).解:如右圖：因?yàn)锳BC為等腰直角三角形，所以 ABD二.C

6、=45 .所以把AEC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AFB ,則AFB "AEC.所以BF二EC =4,AF =AE,. ABF - C = 45 .連結(jié)DF .所以DBF為直角三角形.由勾股定理，得 DF2 二BF2 BD2 =42，32 =52.所以 DF = 5.因?yàn)?NDAE =45：所以 NDAFDAB+NEAC = 45所以包ADE "ADF （SAS）.所以 DE =DF =5.4、如圖在RtAABC中C =90 , AC =4,BC =3，在ABC的外部拼接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形。如圖所示:要求：在兩個(gè)備用圖中分別畫(huà)出兩種與示例圖不同的拼接方法，

7、在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)(請(qǐng)同學(xué)們先用鉛筆畫(huà)出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫(huà)出正確的圖形)解：要在RtAABC的外部接一個(gè)合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個(gè)等腰三角形，關(guān) 鍵是腰與底邊的確定。要求在圖中標(biāo)明拼接的直角三角形的三邊長(zhǎng)， 這需要用到勾股定理知識(shí) 下圖中的四種拼接方法供參考。AC和BC的距離分別等于 cmP第6題圖2 2AB2 AP2=PBX PC。5已知：如圖， ABC中，/ C = 90°點(diǎn)OABC的三條角平分線的交點(diǎn)，OD丄BC，OE丄AC，OF丄AB，點(diǎn)D、E、F分別是垂足，且 BC = 8cm, CA = 6cm，則點(diǎn)O到三邊AB，r.6如

8、圖，在 ABC中，AB=AC，P為BC上任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明:作 AD 丄 BC 交 BC 于 D，AB2=BD2+AD2 (1) AP2=PD2+AD2 (2)(1 ) - (2)得：AB2-AP2=BD2-PD2， AB2-AP2 = ( BD+PD )( BD-PD )，v AB=AC，a D 是 BC 中點(diǎn)， BD+PD=PC ，BD-PD=PB， AB2-AP2=PB- PC7.在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20米處的池塘的A處；另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則 這棵樹(shù)高多少米？8長(zhǎng)為4 m的梯子搭在墻上與地面成4

9、5°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為60。角（如圖所示），則梯子的頂 端沿墻面升高了 m.9.已知：如圖，丄DF .求證：/ BC,交FD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M ,證明：過(guò)點(diǎn)A作AM連接 EM .TAM / BC，./MAE= /ACB=90 °，JMAD=ZB.AD=BD，/ADM= ZBDF ,.ZADM 也DF .AM=BF,MD=DF .又TDE丄 DF，.EF=EM . aAE2+BF 2=AE 2+AM 2=EM 2=EF2.-CB10.已知：如圖，在正方形求證：AF丄FE.ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn),E為CB的四等分點(diǎn)且CE= 4ABC中，/ C= 90°, D為AB的中點(diǎn)，

10、E、F分別在AC、BC上，且DE AE2+ BF2 = EF2.解：連結(jié)AE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 4a，計(jì)算得出AF, EF, AE的長(zhǎng)，由AF2+EF2=AE2得AF丄FE11.已知 ABC中，a2+ b2 + c2= 10a+ 24b+ 26c 338,試判定 ABC的形狀，并說(shuō)明你的理由.解：原式變?yōu)?a-5 ) 2+(b-12 ) 2+(c-13 ) 2=0 所以 a=5 , b=12 , c=13所以a2+b 2=c 2所以ZABC為直角三角形。12.已知a、b、c是厶ABC的三邊，且a2c2 b2£ = a4 b4,試判斷三角形的形狀.13 .如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為 1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A開(kāi)始經(jīng) 過(guò)四個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn) B，那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)？如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)四個(gè)側(cè)面纏 繞n圈到達(dá)點(diǎn)B,那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)？將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接 A、B',/ AA =1+3+