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文檔簡介
1、全等三角形輔助線的做法一、知識點講解:在證明幾何題目的過程中,常常需要通過全等三角形,研究兩條線段(角)的相等關系,或者轉(zhuǎn)移線段或角。而有些時候,這樣的全等三角形在問題中,并不是十分明顯。因此,我們需要通過添加輔助線,構造全等三角形,進而證明所需的結(jié)論。常見輔助線的作法有以下幾種:1) 遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對折” 2) 遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”這種方法也是常說的“倍長中線法”3) 遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線,利用的思維模式
2、是三角形全等變換中的“對折”,所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 圖形變換5) 截長法與補短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,使之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目二、典型例題: 一、倍長中線(線段)造全等1:(“希望杯”試題)已知,如圖ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_.2:如圖,ABC中,E、F分別在AB、AC上,DEDF,D是中點,試比較BE+CF與EF的大小. 3:如圖,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點,求證:AD平分BAE.及時應用(09
3、崇文二模)以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt,連接DE,M、N分別是BC、DE的中點探究:AM與DE的位置關系及數(shù)量關系(1)如圖 當為直角三角形時,AM與DE的位置關系是 ,線段AM與DE的數(shù)量關系是 ;(2)將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0AD+AE.旋轉(zhuǎn)1:正方形ABCD中,E為BC上的一點,F(xiàn)為CD上的一點,BE+DF=EF,求EAF的度數(shù). 2.如圖,是邊長為3的等邊三角形,是等腰三角形,且,以D為頂點做一個角,使其兩邊分別交AB于點M,交AC于點N,連接MN,則的周長為 ;四、 借助角平分線造對稱型全等1:如圖,已知在ABC中,B=60,ABC的角平分線A
4、D,CE相交于點O,求證:OE=OD2:(06鄭州市中考題)如圖,ABC中,AD平分BAC,DGBC且平分BC,DEAB于E,DFAC于F. (1)說明BE=CF的理由;(2)如果AB=,AC=,求AE、BE的長.3、如圖,已知OP平分AOB,C,D分別在OA、OB上,若PCO+PDO=180,求證:PC=PD.4、 已知PA、PC分別是ABC的外角DAC、ECA的平分線,PMBD,PNBE,垂足分別為M、N,那么PM與PN的關系是()DMABCNPEA.PMPN B.PMPN C.PMPN D.無法確定 及時應用(06北京中考)如圖,OP是MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為
5、對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題:(1)如圖,在ABC中,ACB是直角,B=60,AD、CE分別是BAC、BCA的平分線,AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系;OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖(2)如圖,在ABC中,如果ACB不是直角,而(1)中的其它條件不變,請問,你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由。及時應用(07佳木斯)已知四邊形中,繞點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交(或它們的延長線)于當繞點旋轉(zhuǎn)到時(如圖1),易證當繞點旋轉(zhuǎn)到時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立
6、,線段,又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想,不需證明(圖1)(圖2)(圖3)(西城09年一模)已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當APB=45時,求AB及PD的長;(2)當APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應APB的大小.(09崇文一模)在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為外一點,且,BD=DC. 探究:當M、N分別在直線AB、AC上移動時,BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系圖1 圖2 圖3(I)如圖1,當點M、N邊AB、AC上,且DM=DN時,BM、NC、MN之間的數(shù)量
7、關系是 ; 此時 ; (II)如圖2,點M、N邊AB、AC上,且當DMDN時,猜想(I)問的兩個結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明; (III) 如圖3,當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時,若AN=,則Q= (用、L表示)四、鞏固練習A組1. 如圖,已知,AB=AD,CB=CD,試證明:. 2.求證三角形一邊的中線小于其他兩邊的一半。 3.已知,如圖ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是_.A4. 已知ABC中,AB=AC,D在AB上,E是AC延長線上一點,且BD=CE,DE與BC交于點F。求證:DF=EFDCEFB 5.如圖,在ABC的邊上取兩點D、E,且BD=CE,求證
8、:AB+ACAD+AE. 6. 如圖,ABC中,E、F分別在AB、AC上,DEDF,D是中點,試比較BE+CF與EF的大小. 7. 如圖,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中點,求證:AD平分BAE. 8. 如圖,在ABC中,AD是ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求證:AC=BF 9.如圖,在ABC中,C=2B,1=2,試證明AB=AC+CD。 10. 如圖,已知ABC中,邊BC上的高為AD,且B=2C.求證:CD=AB+BD。 11.如圖,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求證:CDAC12.如圖,ACBD,EA,EB分別平分CAB,DBA,CD過點E,求
9、證;ABAC+BD 13. 如圖,已知在內(nèi),P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別是,的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+BP 14. 如圖,在四邊形ABCD中,BCBA,ADCD,BD平分,求證: 15.如圖在ABC中,ABAC,12,P為AD上任意一點,求證;AB-ACPB-PC 16. 如圖,在四邊形ABCD中,AD/BC,點E事AB上一點,若DEC=,判斷AD+AE與BC的關系并證明你的結(jié)論。17.已知,如圖,在ABC中,BE是角平分線,ADBE,垂足為D,求證:BAD=DAC+C B組CNMABD1、如圖,已知MB=ND,MBA=NDC,下列條件不能判定ABMCDN的是( )(
10、A) M=N(B) AB=CD(C) AM=CN(D) AMCNEBDAC2、如圖,D在AB上,E在AC上,且B=C,那么補充下列一個條件后,仍無法判斷ABEACD的是( )(A) AD=AE(B) AEB=ADC(C) BE=CD (D) AB=AC3、已知,如圖,M、N在AB上,AC=MP,AM=BN,BC=PN。求證:ACMPMPCABN4、 已知,如圖,AB=CD,DFAC于F,BEAC于E,DF=BE。求證:AF=CE。FEACDBFEODCBA5、 已知,如圖,AB、CD相交于點O,ACOBDO,CEDF。求證:CE=DF。AEDCBb6、 已知,如圖,ABAC,ABAC,ADAE
11、,ADAE。求證:BECD。GFEDCAB7、已知,如圖,四邊形ABCD是正方形,ECF是等腰直角三角形,其中CE=CF,G是CD與EF的交點,求證:BCFDCEFEDCAB8、 如圖,DEAB,DFAC,垂足分別為E、F,請你從下面三個條件中任選出兩個作為已知條件,另一個為結(jié)論,推出一個正確的命題。 AB=AC BD=CD BE=CFFEDCABG9、 如圖,EGAF,請你從下面三個條件中任選出兩個作為已知條件,另一個作為結(jié)論,推出一個正確的命題。 AB=AC DE=DF BE=CF10、如圖,正方形ABCD的邊長為1,G為CD邊上一動點(點G與C、D不重合), 以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF,連接DE交BG的延長線于H。求證: BCGDCEFEDCABGH BHDE11、如圖,ABC中,AB=AC,過A作GBBC,角平分線BD、CF交于點H,它們的延長線分別交GE于E、G,試在圖中找出三對全等三角形,并對其中一對給出證明。FEDCABGHFEDCAB12、如圖所示,己知ABDE,AB=DE,AF=DC,請問圖中有哪幾對全等三角形,并選其中一對給出證明。EDCAB13、如圖,AB=AD,BC=CD,AC、BD交于E,由這些條件可以得出若干結(jié)論。請你寫出其中三個正確的結(jié)論(不要添加字母
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