七年級數(shù)學下學期全等三角形輔助線的做法

1、全等三角形輔助線的做法一、知識點講解：在證明幾何題目的過程中，常常需要通過全等三角形，研究兩條線段(角)的相等關系，或者轉(zhuǎn)移線段或角。而有些時候，這樣的全等三角形在問題中，并不是十分明顯。因此，我們需要通過添加輔助線，構造全等三角形，進而證明所需的結(jié)論。常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折” 2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”這種方法也是常說的“倍長中線法”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式

2、是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 圖形變換5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目二、典型例題： 一、倍長中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小. 3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE.及時應用（09

3、崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數(shù)量關系（1）如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數(shù)量關系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)(0AD+AE.旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 2.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；四、 借助角平分線造對稱型全等1：如圖，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分線A

4、D,CE相交于點O，求證：OE=OD2：（06鄭州市中考題）如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.3、如圖，已知OP平分AOB，C，D分別在OA、OB上，若PCO+PDO=180，求證：PC=PD.4、 已知PA、PC分別是ABC的外角DAC、ECA的平分線，PMBD，PNBE，垂足分別為M、N，那么PM與PN的關系是（）DMABCNPEA.PMPN B.PMPN C.PMPN D.無法確定 及時應用（06北京中考）如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為

5、對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系；OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。及時應用（07佳木斯）已知四邊形中，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證當繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立

6、，線段，又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當APB=45時,求AB及PD的長;(2)當APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應APB的大小.（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量

7、關系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）四、鞏固練習A組1. 如圖，已知，AB=AD,CB=CD，試證明：. 2.求證三角形一邊的中線小于其他兩邊的一半。 3.已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.A4. 已知ABC中，AB=AC,D在AB上，E是AC延長線上一點，且BD=CE，DE與BC交于點F。求證：DF=EFDCEFB 5.如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證

8、：AB+ACAD+AE. 6. 如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小. 7. 如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE. 8. 如圖，在ABC中，AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求證：AC=BF 9.如圖，在ABC中，C=2B,1=2,試證明AB=AC+CD。 10. 如圖，已知ABC中，邊BC上的高為AD，且B=2C.求證：CD=AB+BD。 11.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC12.如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求

9、證;ABAC+BD 13. 如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP 14. 如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證： 15.如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC 16. 如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC，點E事AB上一點，若DEC=，判斷AD+AE與BC的關系并證明你的結(jié)論。17.已知，如圖，在ABC中，BE是角平分線，ADBE,垂足為D，求證：BAD=DAC+C B組CNMABD1、如圖，已知MB=ND，MBA=NDC，下列條件不能判定ABMCDN的是（ ）（

10、A） M=N（B） AB=CD（C） AM=CN（D） AMCNEBDAC2、如圖，D在AB上，E在AC上，且B=C，那么補充下列一個條件后，仍無法判斷ABEACD的是（ ）（A） AD=AE（B） AEB=ADC（C） BE=CD （D） AB=AC3、已知，如圖，M、N在AB上，AC=MP，AM=BN，BC=PN。求證：ACMPMPCABN4、 已知，如圖，AB=CD，DFAC于F，BEAC于E，DF=BE。求證：AF=CE。FEACDBFEODCBA5、 已知，如圖，AB、CD相交于點O，ACOBDO，CEDF。求證：CE=DF。AEDCBb6、 已知，如圖，ABAC，ABAC，ADAE

11、，ADAE。求證：BECD。GFEDCAB7、已知，如圖，四邊形ABCD是正方形，ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD與EF的交點，求證：BCFDCEFEDCAB8、 如圖，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F，請你從下面三個條件中任選出兩個作為已知條件，另一個為結(jié)論，推出一個正確的命題。 AB=AC BD=CD BE=CFFEDCABG9、 如圖，EGAF，請你從下面三個條件中任選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，推出一個正確的命題。 AB=AC DE=DF BE=CF10、如圖，正方形ABCD的邊長為1，G為CD邊上一動點（點G與C、D不重合）， 以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于H。求證： BCGDCEFEDCABGH BHDE11、如圖，ABC中，AB=AC，過A作GBBC，角平分線BD、CF交于點H，它們的延長線分別交GE于E、G，試在圖中找出三對全等三角形，并對其中一對給出證明。FEDCABGHFEDCAB12、如圖所示，己知ABDE，AB=DE，AF=DC，請問圖中有哪幾對全等三角形，并選其中一對給出證明。EDCAB13、如圖，AB=AD，BC=CD，AC、BD交于E，由這些條件可以得出若干結(jié)論。請你寫出其中三個正確的結(jié)論（不要添加字母