知識點平面曲線的曲率(MC20306)

1、知識點：平面曲線的曲率（MC20306）1 背景知識與引入方法在微分幾何學(xué)中,與平面曲線有關(guān)的是三個基本概念：長度、切線和曲率.瑞士數(shù)學(xué)家L歐拉在1736年首先引進(jìn)了平面曲線內(nèi)在坐標(biāo)這一概念.從而開始了曲線內(nèi)在幾何的研究.歐拉將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對于弧長的變化率,這也成為一些教材引入曲率概念的方法之一.1847年弗雷內(nèi)得出了曲線的基本微分方程,亦即統(tǒng)稱弗雷內(nèi)公式.后來,G達(dá)布創(chuàng)造了空間曲線的活動標(biāo)架概念,完整地建立起曲線理論.所以有些教材把空間的弗雷內(nèi)標(biāo)架改造為平面弗雷內(nèi)公式而導(dǎo)出帶有正負(fù)號平面曲線曲率公式，它既表示曲線的彎曲程度，又表示曲線的彎曲方向.（如：蕭樹鐵、

2、居余馬主編的高等數(shù)學(xué)第卷,或馬知恩、王錦森主編的工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)）.大多教材通常在直角坐標(biāo)系下,在曲線上相鄰兩點的切向量和之間夾角關(guān)于弧長的變化率引出曲率公式.由實際問題先引出曲率圓、曲率半徑概念,由曲率半徑概念自然給出曲率定義,我們認(rèn)為方法簡潔省事（如章棟恩等人編寫高等數(shù)學(xué)上冊）.2 該知識點講解方法講解方法一：曲率是一個構(gòu)造型的定義,通常由解決某一具體實際問題的方法來講清其構(gòu)造的道理,再引出曲率概念其教法更為簡捷,例如力學(xué)問題中質(zhì)點做曲線運動,在某點局部情形的研究,可用圓周曲線來代替,而此圓周曲線（曲率圓）的建立僅僅使用了一階導(dǎo)、二階導(dǎo)的簡單應(yīng)用,卻以最好的方式接近已知曲線,進(jìn)而引出了曲率

3、半徑定義.曲率圓1、實際問題： 一質(zhì)點作曲線運動,考察此運動在某點局部情形時,可用圓周曲線來替代這點附近的曲線L,這樣就可以用圓周運動的知識來分析這點處的曲線運動.（問題：什么樣的圓周曲線在點M更接近曲線L呢？）2、試求一個圓周曲線C： （1） 使之滿足C過點： （2） C與L在點M有相同斜率： （3）C與L在點M有相同凹性： （4）（1）式兩邊對求二階導(dǎo)： （3）（4）式代入上面兩式有： （5） （6）從（6）式解出： 將其代入（5）式解出代入（2）式解出：.3、定義： 曲線L即 上的點處，在其凹向一側(cè)的法線上取一點為圓心,以為半徑所得到的圓為L在點M處的曲率圓,為曲率半徑.1、曲率就是曲線

4、在某點處的彎曲程度.如路彎度大,車子離心率越大；梁一般在彎的最厲害的地方斷裂；圓的半徑越小彎的越厲害,于是2、定義：為曲線在點處曲率.2.2講解方法二：通常與分析曲線彎曲程度與曲線上相鄰兩點的切向量和之間的夾角大小有關(guān),當(dāng)轉(zhuǎn)角相同時,又與弧段的長短有關(guān),于是曲率由關(guān)于的變化率來敘述.2.2.1弧微分 （這里只介紹弧微分公式的初等幾何解釋） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為,為曲線上任意點,規(guī)定：（1） 曲線的正向與增大的方向一致；（2） 有向弧段的值表為： ；當(dāng)?shù)姆较蚺c曲線的正向一致時, s取正號；相反時, s取負(fù)號.設(shè)弧是從點起弧長的改變量，而和是相應(yīng)的的改變量，由直角三角形得到：由此，當(dāng)時，假定這條曲線具有

5、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可用弧長代替再對時取極限，得到由此得到弧長微分表達(dá)式或如果弧長是朝增加的方向變化的，則取正號，反之取負(fù)號.曲率及其計算公式1、 曲率的定義1、曲率是描述曲線局部性質(zhì)（彎曲程度）的量.設(shè)曲線C是光滑的,是基點.,切線轉(zhuǎn)角為.定義：弧段的平均曲率為,曲線C在點M處的曲率.在存在的條件下,. 注 意：（1）直線的曲率處處為零；（2）圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.2、曲率的計算公式（）設(shè)二階可導(dǎo),有,.（）設(shè),二階可導(dǎo), ，2.2.3 曲率圓與曲率半徑定義：設(shè)曲線在點處的曲率為.在點處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點D,使.以D為圓心,為半徑作圖（如圖）,稱此圓為曲線在

6、點M處的曲率圓.曲率中心, 曲率半徑注意：1、 ,.2、 曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點處的曲率越小（曲線越平坦）；曲率半徑越小,曲率越大（曲線越彎曲）.3、一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線?。ǚQ為曲線在該點附近的二次近似）.2.3 講解方法三用曲線離開切線的速度刻畫曲率；在已知弧長積分表達(dá)式的前提下推導(dǎo)曲率計算公式.：曲率是表示曲線方向改變快慢的量. 圖 1設(shè)A是曲線L上點,M是接近A的點(圖1).由A沿曲線到M其切線的轉(zhuǎn)角為,長度的弧段AM的平均旋轉(zhuǎn)速度.定義曲線L在點A處曲率.例：討論圓的曲率（圖2） 角所張的弧AM長度,于是, 所以圓所有點處的曲率都相同，等于半徑的倒量.

7、圖 2：平面曲線L由函數(shù)給出,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，取固定點N作為計算弧長的起點（圖3）,切線傾斜角從點A到M的改變量， ， 圖3其中,故，得.最終有 . 2.4講解方法四： 曲線的解析表達(dá)式以矢量形式給出,在已有矢函數(shù)微分積分知識的前提下給出曲率概念.給定曲線：,（）, 弧長：,是弧微分. 單位切矢：，則.是曲線的單位法矢.這樣是曲率,是曲率半徑, 以為矢徑的點是曲率中心.具體形式，若, 則.若, 則.例題的選擇方法：曲率的實際應(yīng)用,根據(jù)專業(yè)特點選擇為好.3 例題例1 直線的曲率恒為零.解：直線,因,故各點處曲率為零,所以直線不彎.例2 拋物線上哪點曲率最大？解：由于,故,當(dāng),即時,取最大值,故拋物線在頂點處處曲率最大.例3 一工件內(nèi)表面截線為,用砂輪磨削其內(nèi)表面,半徑多大合適？解：砂輪半徑拋物線上各點處曲率半徑的最小者,才不會破壞工件內(nèi)表面,由例2知拋物線在頂點處曲率最大,曲率半徑最小.,所以砂輪半徑不能大于1.254 擴(kuò)展知識黎曼流形的曲率是微分幾何中最重要的幾何量之一，曲率和流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系是一個十分重要的問題對于黎曼流形來說,有三種不同層次的曲率,一種是截面曲率里奇曲率數(shù)量曲率,它是里奇曲率的跡.這三種曲率和流形的拓?fù)湫再|(zhì)之間有很強的相互制約作用,這方面的研究成果非常豐富,