二項式定理 講義

1、二項式定理21.二項式定理:(a b)n C：an cnan1b L Qa" rbr LC；bn(n N ),2基本概念： 二項式展開式：右邊得多項式叫做得二項展開式。 二項式系數(shù)：展開式中各項得系數(shù)、 項數(shù)：共項，就是關(guān)于與得齊次多項式 通項：展開式中得第項叫做二項式展開式得通項。用表示。3 .注意關(guān)鍵點： 項數(shù)：展開式中總共有項。 順序：注意正確選擇”其順序不能更改。與就是不同得。 指數(shù)：得指數(shù)從逐項減到，就是降幕排列。得指數(shù)從逐項減到，就是升幕排列。各項得次數(shù)與等于、 系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項得系數(shù)，二項式系數(shù)依次就是項得系數(shù)就是與得系數(shù)(包括項式系數(shù))。4.常用得結(jié)論

2、:(1x)nC。dxC；x2LcXLC：xn(nN )(1 x)n C。Cnx CnX2LC：xr L ( 1)ncnxn(n N )變形式 cn Cn L cn Lc：2n 1。性質(zhì):5. 二項式系數(shù)得對稱性：與首末兩端“對距離”得兩個二項式系數(shù)相等，即,Lcn L C： 2n ,二項式系數(shù)與：令，則二項式系數(shù)得與為C0 cn Cn 奇數(shù)項得二項式系數(shù)與=偶數(shù)項得二項式系數(shù)與:在二項式定理中，令，則CnCCn1)ncn(1八n-1)0 ,從而得到：c0 c2 c4Cn2rcnC；2n1 奇數(shù)項得系數(shù)與與偶數(shù)項得系數(shù)與:(a(X 令X nX)Ja)1,C0anx0 C0a0 則a。c1 n 1

3、Ca X-1 n 1CnaxC2anC；a22 2Xn 2Xc n 。 nCna X_ n n 0Cna Xa0a1xa1a2a3 L1,則 a。a1a2a3得,a。a2an得,a1a3an2a2x2a2xnanX1a1xa0anXn L1)n(a 1)n(a (a A (奇數(shù)項的系數(shù)和an(aan2(a (a (偶數(shù)項的系數(shù)和 二項式系數(shù)得最大項： 如果二項式得幕指數(shù)就是偶數(shù)時，則中間一項得二項式系數(shù)取得最大值。，同時取如果二項式得幕指數(shù)就是奇數(shù)時，則中間兩項得二項式系數(shù) 得最大值。系數(shù)得最大項：求展開式中最大得項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別 為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解

4、出來。題型一：二項式定理得逆用; 題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項; 例：求二項式展開式中得有理項？例:cn Cn 6 C； 62 LCn 6n 1解:(1 6)n COcn62 Cn 6； L cn 6n與已知得有一些差距,練:解:626 Cn 62L C； 6n)6(Cn0c： 3C；設(shè) Sn cn3Sn C1；Cn1Cn62Cn 6n 1)1-(1 6)n61 -(7n 1)69C33Cn3n1cn9Cn L3n 1C；，則c；2 c；3 LQ n QnQ 0cn 3cnCn3 C232C；3LC；3n1(1 3)n 1題型二：利用通項公式求得系數(shù)；例：在二項式得展開式中倒數(shù)第

5、項得系數(shù)為，求含有得項得系數(shù)? 解：由條件知，即，解得，由1 2C1r0(x 4)10 r(x；)r Cwx，系數(shù)為。Tr 110 r 2 _r43，由題意,則含有得項就是第項 練：求展開式中得系數(shù)？解: Tr1 C9(x2)9r(1 X rr 18 2r / 1 r r1 r2x)C9x ( 1)x C9( 2) x:18 3r，令，則故得系數(shù)為。題型三：利用通項公式求常數(shù)項； 求二項式得展開式中得常數(shù)項?例:解:dd 20 rTr 1 C1r0(x2)10 r (立)r C1r0(2)rx '，令，得，所以練:解:練:解:求二項式得展開式中得常數(shù)項？Tr1 c；(2x)6r( 1)

6、r(+)r 2x若得二項展開式中第項為常數(shù)項,42 n 4 1 4T5 C4(x2)n4(-)4x(1)rc626 r(2)rx62r，令，得，所以C4x2n12，令，得、27 r(1)rc9xF，令,()得,1 1解：Tr 1 C9(X2)9 r( X3)r所以當(dāng)時，當(dāng)時，。=偶數(shù)項得二項式系數(shù)與;求、題型五：奇數(shù)項得二項式系數(shù)與 例：若展開式中偶數(shù)項系數(shù)與為， 解：設(shè)展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為，則有，則有ao印 a2 a3(1)nan2n,將-得：有題意得，。練：若得展開式中，所有得奇數(shù)項得系數(shù)與為，求它得中間項。解: QC： Cn2 cn4Cfrcn cn3 L c：r12n 1 ,解得所

7、以中間兩個項分別為,T51 Cn5(話)6()5462題型六：最大系數(shù)，最大項;例：已知，若展開式中第項，第項與第項得二項式系數(shù)成等差數(shù)列, 最大項得系數(shù)就是多少？求展開式中二項式系數(shù)解:QCn Cn6 2c5, n221n980,解出，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大得項就1 35是 T4的系數(shù) c7()423 ，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大得項就是，2 2T8 的系數(shù)c74(1)72723432。練: 解: 練: 解: 練: 解:練:解:在得展開式中，二項式系數(shù)最大得項就是多少？ 二項式得幕指數(shù)就是偶數(shù)，則中間一項得二項式系數(shù)最大，即，也就就是第項。在得展開式中，只有第項得二項式最大，則展開式

8、中得常數(shù)項就是多少？ 只有第項得二項式最大，則，即 ，所以展開式中常數(shù)項為第七項等于 寫出在得展開式中，系數(shù)最大得項？系數(shù)最小得項？因為二項式得幕指數(shù)就是奇數(shù)，所以中間兩項()得二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值,從而有得系數(shù)最小，系數(shù)最大。若展開式前三項得二項式系數(shù)與等于，求得展開式中系數(shù)最大得項？ 由解出，假設(shè)項最大,ArA1Ar1Ar 2c；24rG；1*C；24rC1r214r1廠化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大得項為，有練:解:X1016896X10Tii(1)12C；0410在得展開式中系數(shù)最大得項就是多少? 假設(shè)項最大，Ar 1 Ar C1r0 2rC1012rAr 1 Ar 20；

9、2C1012r12(11 r) r“解得' 丿，化簡得到，又，展開1,r 1 2(10 r)式中系數(shù)最大得項為題型七：含有三項變兩項； 例：求當(dāng)?shù)谜归_式中得一次項得系數(shù)?2525解法：(X 3x 2)(x2) 3x,，當(dāng)且僅當(dāng)時，得展開式中才有X得一次項，此時，所以得一次項為 它得系數(shù)為。解法：(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C；x5 c5x4C?)(C50x5c1x42C525)故展開式中含得項為，故展開式中得系數(shù)為 練：求式子得常數(shù)項？240、解：，設(shè)第項為常數(shù)項，則Tr 1 C6( 1)r1、r(y(1)6C66 2rX ，得”、題型八：兩個二項式相乘;例:求(

10、1 2x)3(1 X)4展開式中X2的系數(shù).解:Q(1 2x)3的展開式的通項是Cm (2x)mcm 2m xm,0,123,4,練:解:令 m n 2,則 m 0且 n 2,m1且 n 1,m的展開式中X2的系數(shù)等于C3 20 C2 (求(1 VX)6(1討0展開式中的常數(shù)項(1vx)6(1A)10展開式的通項為cm1)2c3 21nG0X4其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10,當(dāng)且僅當(dāng) 4m30,因此(1 2x) (1x)4c4( 1)1 C； 22 C0 ( 1)0cm G04m 3nxP口 r m3n,即n0m 3m或或0,n4,n6,8,(1 x)4的展開式的通項

11、是 c4 ( X)n cn 1n Xn,其中m 0,1,2,3,n時得展開式中的常數(shù)項為 C； C0。C3 Cw C6 C8。 4246、練:1已知(1 X X2)(X )n的展開式中沒有常數(shù)項，n N*且2Xn 8,則 n解：(X 4)n展開式的通項為cnX3r r nXCn X4 r,通項分別與前面的三項相乘可得cnxn4r,cnn 4r X1,cnn 4r X2,Q展開式中不含常數(shù)項,2 n4r且n4r4r2,即 n 4,8且 n 3,7且 n2,6,n 5.題型九：奇數(shù)項得系數(shù)與與偶數(shù)項得系數(shù)與; 例：在(X72)2006的二項展開式中，含X的奇次幕的項之和為s,當(dāng)X解：設(shè)(X匚、20

12、0672)=a0a2x3a3X. 2006L a2006X體 200672)=a01ax2a2X3agXI2006L a2006X得2(aiXa3X3asX52005、Z際 2006a2005X )(X V2)(X血)2006(X 72)2006展開式的奇次幕項之和為S(x) 2(x72)2006(X 72嚴(yán)當(dāng)X耐皿)時邁硏63 200622 3008題型十：賦值法；例：設(shè)二項式得展開式得各項系數(shù)得與為, ，則等于多少？若(3Vx 1)nX所有二項式系數(shù)得與為解:a。a1X a2X2n 七anx，有，令得，又，即4n 2n272(2n17)(2n 16)0 解得，、練:解:練:若(1C 200

13、92x)a01 2Qxa2X3asx12009 zLa2009X(xR),則 aa222令X1；,可得a。a1 a22 22a2009220090,色卑2 22a20092 2009a0在令X 0可得a01,因 而一2a222a2009122009l若(X552)a5X43a4Xa3X2a2Xa1Xa0,則 a1a2a3a4a5解:練:若得展開式中各項系數(shù)之與為，則展開式得常數(shù)項為多少？ 令，則得展開式中各項系數(shù)之與為，所以，則展開式得常數(shù)項為、讒的值為解：令X 0得a032,令X1 得 a。 a1 a? a3 a4 a51,題型十一：整除性；例：證明：能被64整除證：32n 2 8n8n9(

14、8八 n 1-1) 8n 9C018n 1C118nC；1182n Jn 1-Cn 18Cn 18 n 9Q0 Qn 1cn 18Cli8n紀(jì)28(n 1) 1 8n 9C 0 Qn 1 c1Cn 18Cn 18n由于各項均能被64整除2 n 2*3 8n 9(n N )能被64整除1、在得二項展開式中，得系數(shù)為2、得展開式得常數(shù)項就是3、得展開式中得系數(shù)就是4、得展開式中常數(shù)項為5得展開式中得系數(shù)為6、得展開式中得系數(shù)等于 8，則實數(shù)7.在得二項展開式中，常數(shù)項等于_8、( -)6得二項展開式中得常數(shù)項為9、展開式中得系數(shù)為10，則實數(shù)得值為10、若得展開式中第3項與第7項得二項式系數(shù)相等,則該展開式中得系數(shù)為11、在得展開式中,含得項得系數(shù)就是12、在得展開式中,得系數(shù)等于13、在(1 X)5(1 X)6(1 X)7得