幾何的五大模型

1、幾何的五大模型一、等積變換模型(1)等底等高的兩個(gè)三角形面積相等兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比如左圖S1: S2=a:b(4)夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖，Saabc= S bad反之，如果Sabc= S abcd,則可知直線AB平行于CD (AB/ CD二、鳥頭定理(共角定理)模型(1) 兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。(2) 共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。如圖在 ABC中, D, E分別是AB, AC上的點(diǎn)如圖.(或D在BA的延長線上,E在 AC上)，貝卩 Saabc：

2、 SadE=(ABX AC):(AD X AE)推理過程連接BE再利用等積變換模型即可。證明：圖(1)中設(shè)：過頂點(diǎn)D做底邊AE的高為H1;過頂點(diǎn)B做底邊AC的高為H2 ABE中 SA ADE SA ABE=A： AB同理 SA ADE SA ABE=H1 H2 AD : AB= H1: H2 L又因 SAADE=AE*H1*1/2S ABC=AC*H2*1/2 得出 SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以 SA ADE SA ABC=(AX AC):(AD X AE)圖(2)中設(shè)過頂點(diǎn)D作底邊AE的高為H1,過頂點(diǎn)B做底邊AC的高為H2 DBE中，SA ADE SA ABE二A

3、D ABSA ADE SA ABE= H1 H2 AD : AB= HI: H2又因 SAADE=AE*H1*1/2S A ABC=AC*H2*1/2得出 SA ADE SA ABC=AE*H1 AC*H2所以 SA ADE SA ABC=(AB< AC):(AD X AE)三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) S1:S2=S4:S3 或者 S1 X S3=S2X S4 AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)證明(1):在 A ABD中, S1 : S2=DO:OB在A DCB中, S4: S3二DO OB 得至U S1:S2=S4:S3 或者 S1 X S3=S2

4、X S4(十字相乘法)證明(2):設(shè)過D點(diǎn)作底邊AC的高為H1,過B點(diǎn)作底邊AC的高為H2(S1+S2):(S4+S3)=(AO*H1*1/2+AO*H2*1/2):( OC*H1*1/2+ OC*H2*1/2)約分得到：(S1+S2):(S4+S3)=AO : OC蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造 模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另 一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) S1 : S3=a2 : b2證明:由 AO OC=DOOC=a：b而 S1: S2=DO OC S1 : S

5、2= a:b，得到 S仁 a/b*S2 而 S2: S3二AO OC S2 : S3= a:b，得到 S3=S2*b/a S1 : S3二a2 :b2 S1: S3: S2: S4=a2 : b2 : ab:ab證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得梯形S的對應(yīng)份數(shù)為（a+b）證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得 四、相似模型 相似三角形性質(zhì)：(1) AD AE DE AF AB 一 AC 一 BC 一 AG(2) S ade SaabcAF2 : AG 2證明:Sa ADE S ABC=DE*AF*1/2: BC*AG*1/2DEBCAF ADE SABcAF2 : AG 2AG所謂相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變，它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如A. 相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；B. 相似三角形的面積比等于它們相似比的