(完整版)上海市上海中學2016-2017學年高三數(shù)學復習專題匯編(實驗班專用)專題1-排列、組合和

1、專題 1: 排列、組合和二項式定理1.排列數(shù) Pnm 中 nm1,n、 mN ;組合數(shù) Cnm 中 nm, n1,m0, n、 mN .(1) 排列數(shù)公式 ：Pnmn (n1)(n2) L ( nm1)n !(mn ) ；(nm)!Pnnn!n(n1)(n2)L 2 1 ?！纠?1】（ 1） 1！ +2！ +3 ！ +n ?。?n4, nN * ）的個位數(shù)字為（ 2）滿足 P8x6P8x 2 的 x (2)組合數(shù)公式：m Pnmn (n1)L(n m1)n!Cnm ( m1)L 21( m n) ；Pmmm! n m !規(guī)定0！1， C n01 .【例 2】已知 CnmCmn1Anm6 ，求

2、n， m 的值 ?(3) 排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì) ： CnmCnn m ； Cnm Cnm 1 Cnm 11 ； kCnknCnk11 ； CrrCrr1Crr2CnrCnr11 ； n n!(n1)!n!；n11.(n 1)!n! (n 1)!2.解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加 （每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的， 一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事）；分步相乘 （一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的）；有序排列，無序組合【例 3】（ 1）將 5 封信投入3 個郵筒，不同的投法共

3、有種 .（ 2）從 4 臺甲型和5 臺乙型電視機中任意取出3 臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有種（ 3）從集合1,2,3 和 1,4,5,6中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是_（ 4） 72 的正約數(shù)（包括1 和 72）共有個（ 5）A 的一邊 AB 上有 4 個點，另一邊 AC 上有 5 個點，連同A 的頂點共 10 個點，以這些點為頂點，可以構(gòu)成_個三角形（ 6）用六種不同顏色把右圖中A 、B、C、D 四塊區(qū)域分開， 允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有種不同涂法ACBD（ 7）同室 4 人各寫 1 張賀年卡，然后每

4、人從中拿1 張別人送出的賀年卡，則4 張賀年卡不同的分配方式有種（ 8） f 是集合 Ma, b, c 到集合 N1,0,1的映射，且 f (a) f (b)f (c) ，則不同的映射共有個；（ 9）滿足 ABC1,2,3,4 的集合 A 、B 、C 共有組3.解排列組合問題的方法有：（ 1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法： 元素優(yōu)先法 ：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法 ：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置?！纠?4】（ 1）某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1 到 6 的 6 種不同花色的石材可選擇，其

5、中 1 號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_種.（ 2）某銀行儲蓄卡的密碼是一個 4 位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如 2816）的方法設(shè)計密碼，當積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0.這樣設(shè)計出來的密碼共有_種 .（ 3）用 0， 1，2， 3， 4，5 這六個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)_個（ 4）某班上午要上語、數(shù)、外和體育 4 門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為 _（ 5）四個不同的小球全部放入編號為1、 2、 3、 4 的四個盒中。恰有兩個空盒的放法有_ 種；甲球只能放入

6、第2 或 3 號盒，而乙球不能放入第4 號盒的不同放法有_種（ 6）設(shè)有編號為1、 2、 3、 4、 5 的五個茶杯和編號為1、 2、 3、 4、 5 的 5 個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_種（ 2）間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮， 再把不符合條件的所有情況去掉）)。【例 5】在平面直角坐標系中，由六個點(0,0)， (1,2) ， (2,4)， (6,3)， ( 1,2)， ( 2,1)可以確定三角形的個數(shù)為_（ 3）相鄰問題捆綁法 （把相鄰的若干個特殊元素 “捆綁 ”為一個大元素， 然后再與其余 “普通元素 ”全排列，最后再 “松綁 ”

7、，將特殊元素在這些位置上全排列） 。【例 6】（ 1）把 4 名男生和 4 名女生排成一排， 女生要排在一起， 不同的排法種數(shù)為_（ 2）某人射擊8 槍，命中4 槍， 4 槍命中中恰好有3 槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_（ 3）把一同排6 張座位編號為1，2， 3，4，5， 6 的電影票全部分給4 個人，每人至少分 1 張，至多分2 張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是_（ 4）不相鄰 (相間 )問題插空法 （某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法， 即先安排好沒有限制元條件的元素， 然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。【例 7】（ 1）3 人坐在

8、一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_種 .（ 2）某班新年聯(lián)歡晚會原定的5 個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_（ 5）多排問題單排法?！纠?8】若 2n 個學生排成一排的排法數(shù)為x，這 2 n 個學生排成前后兩排，每排各n 個學生的排法數(shù)為y，則 x,y 的大小關(guān)系為 _（ 6）多元問題分類法?！纠?9】（ 1）某化工廠實驗生產(chǎn)中需依次投入2 種化工原料， 現(xiàn)有 5 種原料可用， 但甲、乙兩種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實驗方案共有 _種 .（ 2）某公司新

9、招聘進8 名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有_種 .（ 3）9 名翻譯中， 6 個懂英語， 4 個懂日語，從中選撥5 人參加外事活動，要求其中3人擔任英語翻譯，選撥的方法有_ 種 .（ 7）有序問題組合法?！纠?10】（ 1）書架上有3 本不同的書，如果保持這些書的相對順序不便，再放上2 本不同的書，有種不同的放法 .（ 2）百米決賽有6 名運動 A 、B、C、D、 E、F 參賽，每個運動員的速度都不同，則運動員 A 比運動員F 先到終點的比賽結(jié)果共有_種.（ 3）學號為1，2，3，4 的四名學生

10、的考試成績 xi 89,90,91,92,93( i1,2,3, 4) 且滿足 x1 x2 x3x4 ，則這四位同學考試成績的所有可能情況有_種；（ 4）設(shè)集合 A1,2,3,4,5,6,7,8，對任意 xA ，有 f (1)f (2)f (3) ，則映射f : AA 的個數(shù)是 _；（ 5）如果一個三位正整數(shù)形如 “”滿足 a1 a2且 a3a2 ，則稱這樣的三位數(shù)為a1 a2 a3凸數(shù)（如120、 363、 374 等），那么所有凸數(shù)個數(shù)為_；（ 6） c/a 等于 log p q (其中 1p 9,1 q 9 且 p, qN *)的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為 _。（ 8）選取問題先選后排法

11、?！纠?11】某種產(chǎn)品有4 只次品和6 只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到 4 只次品全測出為止， 則最后一只次品恰好在第五次測試時， 被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是 _.（ 9）至多至少問題間接法。【例 12】從 7 名男同學和5 名女同學中選出5 人，至少有2 名女同學當選的選法有_種（ 10）相同元素分組可采用隔板法?！纠?12】（1） 10 個相同的球各分給 3 個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？（ 2）某運輸公司有7 個車隊，每個車隊的車都多于4 輛且型號相同，要從這中抽出 10 輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1 輛車，則不同的抽法有多少種？7 個

12、車隊4、分組問題 ：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n 組問題別忘除以n！。【例13】4 名醫(yī)生和6 名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4 所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_種 .5.二項式定理 ：(a b)nCn0anCn1an 1b L Cnr an r brL Cnnbn ，其中組合數(shù)Cnr叫做第 r+1 項的 二項式系數(shù) ；展開式共有n+1 項，其中第 r+l 項 TC r an r br(r0,1,2,L , n)r 1n稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項.特別提醒 ：（1）項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個

13、概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為 1 時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在 (ax b)n 的展開式中，第項的二項式系數(shù)為Cnr ，第項的系數(shù)為Cnr an r br ；而 (x1)n 的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；x（ 2）當 n 的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；（ 3）審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？【例 14】（ 1） (2 x31 ) 7 的展開式中常數(shù)項是 _ ；x（2） (1x)3(1x)4L(1x)10 的展開式中的x3 的系數(shù)為 _（3）數(shù) 111001的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是 _(4) (7x3 2) 40 展開后所得的 x

14、的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項 .(5)若 16x 15x220x3 15x46x5x6 ( x N 且x21) 的值能被 5 整除，則 x的可取值的個數(shù)有 _個 .(6) 若 xy0, 且 xy1, 二項式則 x的取值范圍是.(xy)9 按 x 降冪展開后，其第二項不大于第三項，(7) 函數(shù) f ( x)(1sin x)10(1sin x)10 的最大值是 _.6、二項式系數(shù)的性質(zhì) ：（ 1）對稱性 ：與首末兩端 “等距離 ”的兩個二項式系數(shù)相等，即C nmCnn m ；（ 2）增減性與最大值：當 rn 1時，二項式系數(shù)C nr 的值逐漸增大，2當 rn1 時 ,C rn 的值逐漸減小

15、，且在中間取得最大值。2n 1 項）的二項式系數(shù)n當 n 為偶數(shù)時，中間一項（第Cn2取得最大值。2n1 和 n1n 1n1當 n 為奇數(shù)時，中間兩項（第 1 項）的二項式系數(shù) Cn2Cn2相等22并同時取最大值。【例 15】（1）在二項式 ( x1)11 的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為_；（ 2）在 (1x)n 的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則n _（ 3）二項式系數(shù)的和： Cn0Cn1L CnrL Cnn2n ； Cn0Cn2Cn1Cn32n 1 。【例 16】（1）如果 12C 1n22 Cn2L2n Cnn2187 ，則 Cn0C1nCn2LCnn（ 2）化簡 Cn0 2C

16、1n 3Cn2 L ( n 1)Cnn .7、賦值法 ：應用 “賦值法 ”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為f (1) 、 “奇數(shù)(偶次)項 ”系數(shù)和為1 f (1)f ( 1) ，2以及 “偶數(shù)(奇次 )項 ”系數(shù)和為1 f (1)f ( 1) 。2929【例 17】（1）已知 (1 3x)a0 a1x a2 x La9 x ，則 a0a1| a2 |L| a9 |等于 _（2） (12x) 2016a0 a1 xa2 x2L a2016 x2016 ，則 (a0a1 ) (a0a2 ) L(a0a2016 ) _（ 3）設(shè) (1xx 2 ) na0a1 xa2 x 2a2n x 2n ,則 a0a2a2n_8、系數(shù)最大項的求法：設(shè)第 r 項的系數(shù) Ar 最大，由不等式組ArAr1確定 r 。ArAr