淺談中考數(shù)學(xué)模型圖在解題中的運用

1、淺談中考數(shù)學(xué)模型圖在解題中的運用內(nèi)容提要：中考總復(fù)習(xí)時間緊，任務(wù)重，如何有效的利用時間讓學(xué)生掌握解題方法，以及對幾何圖形的分析證明，就是要站的“高”，才能看的“遠”。挖掘題目的本質(zhì)和聯(lián)系，總結(jié)幾何模型圖形，以不變應(yīng)萬變，化復(fù)雜為簡單，靈活運用模型圖，拓寬解題思路，適應(yīng)新課改的要求。關(guān)鍵詞：模型圖形 舉一反三 挖掘 遷移聯(lián)系在九年級數(shù)學(xué)中考幾何專題復(fù)習(xí)中，怎樣科學(xué)、合理地設(shè)計教學(xué)內(nèi)容、精心地組織課堂教學(xué)，怎樣采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快節(jié)奏地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓后進生吃的消，中等生吃的飽，優(yōu)等生吃得好，使復(fù)習(xí)獲得令人滿意的效果？這是所有處在一線數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)注和思考的問題。而平時如果

2、大量毫無章法，不從根本揭示規(guī)律和方法的題海戰(zhàn)役，即便時間加汗水，甚至以傷害學(xué)生的身心健康為代價也并不一定能夠取得滿意的結(jié)果。在畢業(yè)班任教十幾年，數(shù)學(xué)的思想和方法讓我頗感它們的重要性，它們?nèi)缤菙?shù)學(xué)的靈魂貫穿于題的始終。在教學(xué)與做題的過程中我也收獲了一些經(jīng)驗和方法，在這里，淺談一下幾何模型圖在中考解題中的運用。一.認識感悟模型圖在中考復(fù)習(xí)中的作用縱觀陜西省近幾年的中考題，我們將會不難發(fā)現(xiàn)，有些題目雖然“外表”變了，但考察數(shù)學(xué)的知識點和方法卻沒有變，只要我們抓住根本，必將會迎來解題的“柳暗花明的春天”。例如：2007年陜西中考數(shù)學(xué)真題24（本題滿分10分）如圖，在直角梯形中，（1）求兩點的坐標；（

3、2）若線段上存在點，使，求過DCBPOyx（第24題）圖）三點的拋物線的表達式2009年陜西中考數(shù)學(xué)真題縱觀這兩道中考題都是考察二次函數(shù)的知識，條件雖然不同，但在求點的坐標問題上卻蘊含著相同的幾何模型圖三垂直模型。 （三垂直模型）利用相似的知識找出對應(yīng)邊成比例便可將問題得以解決。由此可發(fā)現(xiàn)它們就是基本圖形的變形和深化，要想達到“見到圖形，想到性質(zhì)；想到性質(zhì)，想全性質(zhì)”就必須把基本圖形拿出來認真分析，研究和積累，形成基本圖形儲備。在頭腦中形成系統(tǒng)完備的待用基本圖形庫，最終將基本圖形當作利刃，用到解題中去?！皢柷堑们迦缭S，為有源頭活水來。”只有平時多積累總結(jié)，聯(lián)想類比，我們在做題時才能游刃有余。

4、像這種相似的基本圖形還很多，如相似中常用基本圖形： A字型 8字型 公共邊角型 雙垂直型（射影定理）而三垂直可由雙垂直平移得到，從表面來看沒有什么關(guān)系，但實質(zhì)卻相互之間可以進行轉(zhuǎn)換。舉例練習(xí)1.如圖四邊形ABCD，EFGH ，NHMC都是正方形 ，A、B、N、E、F五點在同一直線上，若四邊形ABCE,EFGH的邊長分別為3，4，求四邊形NHMC的邊長。 這就是可直接利用三垂直模型解題的一道題，很容易求出邊長等于5。2.如圖,已知ABC中ABC=90° AB=BC，三角形ABC三個頂點在相互平行的三條直線上，且 與 之間的距離為2， 與 之間的距離為3，則AC的長是多少？ 這道題就要構(gòu)

5、建模型，在原來一個直角的基礎(chǔ)上再做兩條垂線段，便可化為三垂直模型來解決，左右兩個直角三角形全等，再利用勾股定理求出答案為。像這種以三垂直模型為載體的中考題還有很多，但結(jié)論卻固定不變，那就是左右兩個直角三角形一定相似。若在添加任意一組對應(yīng)邊相等的條件則有全等的結(jié)論；若中間直角三角形的直角頂點位于兩側(cè)直角三角形的直角頂點之間的線段中點位置時，則它們?nèi)齻€直角三角形都相似。從這里可以看出，對于模型的把控，不應(yīng)當僅限于會用于具有明顯模型特征的題目，對于一些特征并不明顯的題目，要培養(yǎng)學(xué)生有能力添加輔助線去挖掘圖形當中的隱藏屬性。平時只有“深挖洞，廣積糧”，戰(zhàn)時方可有備無患，胸有成竹。這要求學(xué)生對于每一種基

6、本圖形的理解要十分深刻，不僅僅要認識模型，還要會補全模型，甚至構(gòu)造模型來解決問題。在中考復(fù)習(xí)中，像這種基本模型的圖形還有很多，如：（1.）由平行線中夾著角平分線模型圖 構(gòu)建等腰三角形；（2.）由等腰三角形的三線合一模型圖 推出三線與等腰四者“知二推二”的關(guān)系；（3.）由垂徑定理及勾股定理模型圖 探尋半徑r,弦心距d,弦長a,弓形的高h四個量之間的關(guān)系；（4.）由“船會碰到暗礁”問題的模型圖 建立直角三角形的邊角三角函數(shù)關(guān)系；（5.）由過點做已知直線的對稱點模型圖解決在已知直線上找一點到直線一側(cè)兩點距離之和最短的問題；（6.）由擲骰子，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤列表出來的概率模型圖解決一些求概率的實際問題等等。二如

7、何有效的掌握總結(jié)或構(gòu)建模型圖，使其在中考做題中發(fā)揮作用高斯曾經(jīng)說過“給我最大快樂的，不是已懂得知識，而是不斷的學(xué)習(xí)；不是已有的東西，而是不斷的獲取；不是已達到的高度，而是繼續(xù)不斷的攀登?！痹谖覀冊械闹R基礎(chǔ)上，只要我們善于思考，大膽嘗試，不斷探索，一定會使我們的學(xué)習(xí)變得更加輕松快樂。著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對于模式的研究。”所謂數(shù)學(xué)模型，是指對于現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)慕虒W(xué)工具，并通過數(shù)學(xué)語言表述出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)中的各種基本概念，都以各自相應(yīng)的現(xiàn)實原型作為背景而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。各種數(shù)學(xué)公式、方程式 、定理及理論體

8、系等等，都是一些具體的數(shù)學(xué)模型。舉個簡單的例子，二次函數(shù)就是一個數(shù)學(xué)模型，很多數(shù)學(xué)問題甚至實際問題都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決。而通過對問題數(shù)學(xué)化，模型構(gòu)建，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數(shù)學(xué)模型方法。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)說到底實際上就是教給學(xué)生前人給我們構(gòu)建的一個個數(shù)學(xué)模型和怎樣構(gòu)建模型的思想方法，以使學(xué)生能運用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題和實際問題。而在眾多數(shù)學(xué)模型的王國里，我認為幾何圖形尤能彰顯出它的魅力。“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”。幾何，常常因為圖形變化多端，方法多種多樣而被稱為數(shù)學(xué)中的變形金剛。題目千變?nèi)f化，但萬變不離其宗。每一道幾何題目背后都有著一定的法則和規(guī)律，每一類題都有著相似的解

9、題思想，這種思想的集中體現(xiàn)，便是模型。得模型者得幾何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同學(xué)們在大量的實戰(zhàn)做題和不斷總結(jié)方法中培養(yǎng)出來的。九年級后期，對于專題復(fù)習(xí)，建立幾何模型是非常有效果的，對于模型的理解和認識，分為很多層面，最淺的是基本的形似，看到圖形相仿或相似的題目，能夠有意識的聯(lián)想以前學(xué)過的題型并加以運用，套用，這是最簡單的模型思想。高一些的是神似，看到一些關(guān)鍵點，關(guān)鍵線段或是題目所給條件的相似便能夠聯(lián)想到所學(xué)知識點，通過推理和演繹逐步取得正確的解法，記住的是一些具體模型，這是第二種層次。最高的境界是，心中只有很少幾種基本模型，這些模型就像種子，看到一道題目就會發(fā)芽，開花結(jié)果，隨著

10、對于題目的深入理解，不斷地尋找適合的花朵，每一朵花上面都有著一種具體的模型，而每種模型之間，都會有樹枝相連，相互間并不是孤立的，而是借由其他條件貫穿連接的,達到這樣的理解才能算是包羅萬象，駕輕就熟。 我們對于模型的把控決不應(yīng)當僅限于會用于具有明顯模型特征的題目，對于一些特征并不明顯的題目，我們要有能力添加輔助線去挖掘圖形當中的隱藏屬性。這就要求同學(xué)們對于每一種基本圖形的理解要十分深刻，不僅僅要認識模型，還要會補全模型，甚至構(gòu)造模型來解決問題，這對于同學(xué)們動手添加輔助線的能力要求就很高了。那么如何有效的掌握總結(jié)或構(gòu)建模型圖，使其在中考做題中發(fā)揮作用，我認為一定要注意以下幾點：1、多做題，在起步初

11、期，多見一些題，豐富自己的視野，對一些模型有初步認識，并能記住它的形狀。2、多總結(jié)，盡量在老師的幫助下能夠總結(jié)出一些模型的主要輔助線做法和解題方法。3、多應(yīng)用，多用模型解決問題，不要沒有方法的撞大運，要根據(jù)圖形特點思考解法，特別是做選擇或填空題可直接利用模型結(jié)論得出答案。4、多完善，不斷做題總會有新的知識添加到已有的模型體系中來，不斷壯大自己的知識樹，讓其不斷生根發(fā)芽，汲取營養(yǎng)，使其模型之樹枝繁葉茂。5、多思考，對于任何一道題都有可能存在不止一種方法，每種方法涉及到的模型不盡相同，要能夠通過一題多解發(fā)現(xiàn)模型之間的相互關(guān)系，增強自己對模型的理解深度和廣度。6、多積累，并能對一些幾何模型進行歸類，

12、熟悉掌控那些是用來證明題的，那些是用來做計算用的，做到心中有數(shù)，運用自如。近幾年的中考幾何壓軸題的考察趨勢越來越傾向于綜合探究的趨勢，對于三角形，四邊形的面積問題，存在性問題等考察較多，而考察重點則是以三大變化為主題的綜合題目，夾雜著分類討論，函數(shù)，方程等思想。幾何圖形中的三大變換思想不斷的滲透進來，平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱這些技巧逐漸被我們所熟識。然而僅僅熟悉并不夠，我們還要結(jié)合模型把他們靈活掌握并能夠精確運用到實際的題目中去，這樣才能使我們做幾何題目的能力有所提高。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。這是對數(shù)學(xué)應(yīng)用性的精彩描述

13、。我們只有平時多積累，勤思考，以數(shù)學(xué)模型圖為載體，以數(shù)學(xué)思想為指引，舉一反三，遷移聯(lián)想，一定會有意想不到的收獲。總之，“倒給學(xué)生一碗水，教師必須擁有一條永不干涸的河流?！痹趲缀螌ｎ}復(fù)習(xí)中，教師事先要通過大量的收集、整理、歸納各類問題，并形成體系，凸顯規(guī)律和方法。這要求我們教師不斷的自我提高，具有較高的專業(yè)素養(yǎng)-由擁有知識到擁有智慧，教師的教育智慧常常表現(xiàn)在對教材有真知灼見，能夠于平凡中見新奇，發(fā)人之所未發(fā)，見人之所未見。教學(xué)的藝術(shù)在于激勵、喚醒和鼓舞，教師的魅力在于用自己的智慧點燃學(xué)生的智慧。有智慧的教師對教材、教參決不人云亦云、鸚鵡學(xué)舌，而是力求有自己的見解?；蛟S有時教師的一條輔助線，一句點撥之語，一個幾何模型圖的分析與拓展，都會給自己的學(xué)生留下深刻難忘的印象，進一步引發(fā)他們的思考與靈感的迸發(fā)。以上是我在多年中考復(fù)習(xí)中對于數(shù)學(xué)圖形的再認識，思考總結(jié)和解題的感受，想用它作為“拋磚引玉”，引起大家對數(shù)學(xué)模型圖的認識和重視，以便在今后的教學(xué)和做題中靈活簡便的應(yīng)用，讓學(xué)生從