雙曲線的漸近線和離心率問題

1、第30練 雙曲線得漸近線與離心率問題題型分析 高考展望雙曲線作為圓錐曲線三大題型之一，也就是高考熱點 查得重點，尤其就是離心率與漸近線、考查形式除常考得解答題外，也會在填空題中考查，一般 為中等難度、熟練掌握兩種性質(zhì)得求法、用法就是此類問題得解題之本、?？碱}型精析題型一 雙曲線得漸近線問題 例1 (1) (2015重慶)設(shè)雙曲線錯誤！-錯誤！=1(a0,b0)得右焦點就是F,左，右頂點分別就是A1A2,過F作A1A2得垂線與雙曲線交于B,C兩點，若A1B丄A2C，則該雙曲線得漸近線得斜率為(2)(2014江西)如圖，已知雙曲線C :錯誤！ -y2=1(a0)得右焦點為F、點A,B分別在C得兩條

2、漸近線上,AF丄x軸,AB丄OB,BF/OA(O為坐標原點)、1求雙曲線C得方程;2過C上一點P(Xo,y0)(yoM0)得直線1 :、f(xox,a2)yoy=1與直線A F相交于點M,與直線x= f(3,2)相交于點N、證明：當點P在C上移動時，錯誤！恒為定值，并求此定值、 點評(1)在求雙曲線得漸近線方程時要掌握其簡易求法、 由 錯誤!-錯誤!=0,所以可以把標準方程 錯誤！-錯誤！=1(a 0,b0)中得“1”用“0”替換 即可得出漸近線方程、(2)已知雙曲線漸近線方程：y=錯誤！X，可設(shè)雙曲線方程為 錯誤！錯誤!=入(將0),求出入 即得雙曲線方程、 變式訓(xùn)練1 (2014山東改編)

3、已知ab0,橢圓C1得方程為、f(x2,a2)+f(y2,b2)=1,雙曲線C2得方程為錯誤！錯誤!=1,C1與C2得離心率之積為 錯誤！，則C2得漸近線方程題型二 雙曲線得離心率問題例2(1) (2015湖北改編)將離心率為e1得雙曲線C1得實半軸長a與虛半軸長b(ab)同時增加m(m0)個單位長度，得到離心率為e2得雙曲線C2,則下列命題正確得就是,其性質(zhì)就是考y= X ?錯誤！昔誤!=0?a對任意得a ,b,eie2；當ab時，eie2;當ab時，eie2；3對任意得a, b,ei0,b0)得右焦點為F,以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線得漸近線于異于原點得兩點A、B,若(錯誤！+錯誤!)錯誤！=

4、0,則雙曲線得離心點評在研究雙曲線得性質(zhì)時，實半軸、虛半軸所構(gòu)成得直角三角形就是值得關(guān)注得一個重要內(nèi)容；雙曲線得離心率涉及得也比較多、由于e=錯誤!就是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a、b、c得一個關(guān)系式，利用b2=C2a2消去b撚后變形求e,并且需注意e1、同時注意雙曲線方程中x,y得范圍問題、變式訓(xùn)練2(2014湖南)如圖，0為坐標原點，橢圓Ci：錯誤！+錯誤! =1(ab0)得左、右焦點分別為F1、F2,離心率為ei;雙曲線C2:錯誤！-錯誤！ =1得左、右焦點分別為F3、Fj離心率為e2、已知e1e2=錯誤！，且F2F4=錯誤！-1、(1)求C1,C2得方程;過F1作C1得不垂直于y

5、軸得弦AB,M為AB得中點，當直線0M與C2交于P,Q兩點時，求四邊形A P B Q面積得最小值、題型三 雙曲線得漸近線與離心率得綜合問題1: y=2x, 12：y=2x、(1)求雙曲線E得離心率；&OAB得面積恒為8、試探究：就是否存在總與直線l有且只有一個公共點得雙曲線E?若存在，求出雙曲線E得方程;若不存在，請說明理由、 點評解決此類問題：一就是利用離心率公式，漸近線方程，斜率關(guān)系等列方程組、二就是數(shù)形 結(jié)合，由圖形中得位置關(guān)系，確定相關(guān)參數(shù)得范圍、當ab時,eie2；當ae2、2例3(2014福建)已知雙曲線E:字f(y2,b2)=1(a0,b0)得兩條漸近線分別為I(2)如圖

6、，O為坐標原點，動直線I分別交直線11,12于A,B兩點(A,B分別在第一、四象限),變式訓(xùn)練3 (2014浙江)設(shè)直線x-3y+m=0(mM0)與雙曲線f(x2,a2)錯誤! =1( a0,b0)得兩條漸近線分別交于點A,B、若點P(m,0)滿足PA=PB,則該雙曲線得離心率就是高考題型精練1、(2015課標全國I改編)已知M(X0,y0)就是雙曲線C :錯誤！y2=1上得一點，F(xiàn)i,F2就是C得兩個焦點，若錯誤！錯誤!0,b0)得兩條漸近線均與圓C:x2+y26x+5=0相切,a且雙曲線得右焦點為圓C得圓心，則該雙曲線得方程為4、以橢圓錯誤！+錯誤！=1得右焦點為圓心，且與雙曲線 錯誤!-

7、錯誤！ =1得漸近線相切得圓得方程就是5、已知雙曲線 錯誤！錯誤!=1(a 0,b0)以及雙曲線 錯誤!-錯誤! =1得漸近線將第一象限三等分，則雙曲線錯誤!-錯誤！=1得離心率為x26、(2015鎮(zhèn)江模擬)已知雙曲線C:七-f(y2,b2)=1 (a0,b0)得左右焦點分別為F2,a過F2作雙曲線C得一條漸近線得垂線，垂足為H,若F2H得中點M在雙曲線C上，則雙曲線C得離心率為7、已知拋物線y =8x得準線過雙曲線、f(x2, a2)錯誤! =1( a 0,b0)得一個焦點 且雙 曲線得離心率為2,則該雙曲線得方程為8、已知雙曲線C得中心在原點，且左，右焦點分別為FI,F2,以F1F2為底邊

8、作正三角形 若雙曲線C與該正三角形兩腰得交點恰為兩腰得中點，則雙曲線C得離心率為X2y29、已知F1,F2分別就是雙曲線-=1 (a0,b0)得左，右焦點，過點F2與雙曲線得一雙曲線離心率得取值范圍就是210、過雙曲線、f( X2, a2)b=1 (a0,b0)得左焦點F作圓x2+y2=錯誤!a2得切線，切點為E，直線EF交雙曲線右支于點P,若錯誤！=錯誤！(錯誤！+錯誤!),則雙曲線得離心率就是=1得.相等、(填序號)條漸近線平行得直線交雙曲線另一條漸近線于點M,若點M在以線段F1F2為直徑得圓外，則y211、已知雙曲線；廠錯誤！ =1 (a0,b0)得一條漸近線方程為2x+y=0,且頂點到

9、漸近a線得距離為錯誤！、(1)求此雙曲線得方程； (2)設(shè)P為雙曲線上一點，A ,B兩點在雙曲線得漸近線上，且分別位于第一、二象限，若錯誤！=錯誤！，求AOB得面積、12、(20 15鹽城模擬)已知雙曲線 錯誤!-錯誤！=1(a0, b 0)得右焦點為F(c,0)、答案精析雙曲線得漸近線與離心率問題常考題型典例剖析解析 雙曲線錯誤！一錯誤!=1得右焦點F(c,0),左，右頂點分別為Ai(-a,0),A2(a,0),易B錯誤！，C錯誤！，則kA2C=錯誤！，kAiB=錯誤！,又AiB與A2C垂直,則有kA1B kA2C =-1,即錯誤！錯誤！=-1,錯誤! =1,a2=b2,即a=b,漸近線斜率

10、k=a=1、直線B F得方程為y=f(1 ,a)(x-c),解得B(f(c,2),-f( c, 2a).(2)解設(shè)F(c,0),因為b=1,所以c=錯誤！,直線O B得方程為y=-錯誤！X,(1)若雙曲線得一條漸近線方程為y=x且c =2,求雙曲線得方程；(2 )以原點O為圓心,c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限得交點為A,過A作圓得切線,斜率為求雙曲線得離心率、又直線O A得方程為y=錯誤！ X,則A( c ,f(c, a ),kAB=錯誤！=錯誤！、又因為AB丄OB,所以錯誤！(-錯誤！)=-1,解得a2=3,故雙曲線C得方程為、f( X2,3)-y2=1、由知a=r(3),則直線I得方

11、程為錯誤！ -yoy=l(yoM0),即y=錯誤！、因為直線AF得方程為x=2,所以直線I與AF得交點為M(2,錯誤!);則錯誤!=錯誤！=錯誤!=錯誤！錯誤！、因為P(X0,yo)就是C上一點，則、f(xO, 3)-y錯誤！=1,MF2代入上式得-=f(4,3)錯誤！NF2=錯誤！錯誤！=錯誤！,即所求定值為 錯誤！=錯誤！=錯誤！、 變式訓(xùn)練1 xTy=0ClC2解析由題意知ei=,e2=里aa二eie2=f(ci, a )錯誤！=錯誤！=錯誤！、又/a2=b2+ c錯誤！ ,c錯誤！=a2+b2. C錯誤！=a2-b2,3-直線I與直線x=2得交點為N(2,3f(3,2)X0-3).3y

12、o錯誤！=錯誤!=1-（錯誤?。?,即1（錯誤!）4=錯誤！,解得錯誤！= 昔誤!,.錯誤！=錯誤！、 令錯誤！錯誤！=0,解得bxay=0, xr(2)y=0、例2(1)(2)r(2)軸長為b+m,f(a +m2+ b+m2-2、7 a+m)b+m b因為-丁 =f(m a-b ,a a+ m )，且a0, b 0,m0,a*b,a+ma所以當a b時，錯誤！0,即錯誤！錯誤！、又錯誤！ 0,錯誤！ 0,所以由不等式得性質(zhì)依次可得錯誤！2錯誤！2,1+錯誤！21 +錯誤！2,所以錯誤！ 錯誤！，即m abe2e1;同理，當ab時,-0，可推得e2b時,eie2、（2）如圖，設(shè)OF得中點為T,

13、由（錯誤！ +錯誤！）錯誤！=0可知AT丄OF,又A在以O(shè)F為直徑得圓上， A錯誤！,又A在直線y=bX上,aa = b , - e=r(2)、變式訓(xùn)練2解（1）因為e1e2=錯誤！，所以 錯誤！錯誤！=錯誤！,即ab=錯誤！a4,因此a2=2b2,從而F2(b,0),F4(pTb,0),于就是錯誤！ bb=F2F4=錯誤！1,所以b=1,a2=2、 故C1,C2得方程分別為 錯誤！ +y2=1,錯誤！y2=1、因AB不垂直于y軸,且過點Fi(-1,0),解析(1)由題意e1=r(f(a2+b2, a2)）=錯誤！;雙曲線C2得實半軸長為a+ m,虛半離心率e2=錯誤！、故可設(shè)直線A B得方程

14、為x=my-1、由錯誤！得(m2+2)y22my1=0、易知此方程得判別式大于 設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2),則yi,y2就是上述方程得兩個實根所以y1+y2=錯誤！ ,y1y2=錯誤！、因此X1+X2=m( y1+y2)-2= f(-4, m2+2),-2于就是AB得中點為M(;,錯誤!),m2+2m故直線PQ得斜率為一,PQ得方程為y=f(m ,2)x、由錯誤！得(2m2)x2=4,所以2-m20,且x2=錯誤！ ,y2=錯誤！， 從而P Q=2r(x2+y2)=2錯誤！、 設(shè)點A到直線PQ得距離為d ,則點B到直線PQ得距離也為d, 所以2d=錯誤！、 因為點A,B在直線mx+2

15、y=0得異側(cè)，所以(mxi+2y1)(mx2+2y2)0,于就是|mx1+2y1I+|mx2+2y2|=|mx1+2yimx2-2 y2|,m2+2 |y1-y2|從而2d =又因為|yi-y2I=錯誤!所以2d=錯誤！、1S= PQ 2d=錯誤！ =2錯誤！錯誤！、而02或k-2,則C (錯誤！,0).記A(XI,yi),B(x2, y2).由錯誤!得y1=錯誤!，同理，得y2=錯誤！、1由 SAOAB=21OCIy1-y2|,得錯誤! |錯誤！ I I錯誤！錯誤!I=8, 即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由錯誤!得(4-k2)x22kmxm216=0、所以=4 k2m2+4(4-

16、k2)(m2+16) =16(4k2-m216).又因為m2=4(k24),所以=0,即I與雙曲線E有且只有一個公共點.因此，存在總與1有且只有一個公共點得雙曲線E,且E得方程為 錯誤!-錯誤！=1、方法二 由(1)知,雙曲線E得方程為錯誤！一錯誤！=1、設(shè)直線I得方程為x=my+ t ,A(X1, y1), B (X2,y2).1依題意得ymf(1, 2)、由錯誤！得yi=錯誤！，同理，得y2=f(2t, 1+2m)、設(shè)直線I與X軸相交于點C,則C (t,0).由SAOAB=錯誤！ OC y1-y2|=8，得錯誤！It |錯誤！=8、所以t2=4|1-4m2|=4(14m2).由 錯誤!得(

17、4m2-1)y2+8m ty4(t2a2)=0、因為4m210,直線l與雙曲線E有且只有一個公共點當且僅當A=64m2t2-16（ 4m2l）（t2a2)=0,即4m2a2+t2a2=0,即4m2a?+4(1-4m2)-a2=0,即(14m2)(a2-4)=0,所以a2=4,因此，存在總與1有且只有一個公共點得雙曲線E,且E得方程為錯誤！錯誤！=1、變式訓(xùn)練3錯誤!解析 雙曲線f（x2,a2）錯誤！=l得漸近線方程為y=昔誤！x、由錯誤！得A（錯誤！，錯誤!）,由錯誤！得B（錯誤！，錯誤!）,所以AB得中點C得坐標為（錯誤！,錯誤?。?設(shè)直線I:X3 y+m=0(0),因為PA=PB,所以PC

18、丄I,所以kpC=3，化簡得a2=4b2在雙曲線中，c2=a2b2=5b2,c所以e=r=f（、r（5）,2）、?？碱}型精練1、錯誤!解析 由題意知a=錯誤!,b=1,c=錯誤！,F1（-錯誤!,0）,F2（錯誤!,0）,-錯誤！=（-錯誤！xo,-yo）,錯誤！=（錯誤！xo,-y0）.錯誤！錯誤！V0,（-錯誤！X0）（錯誤!-x0）+y錯誤!0,即X錯誤！3+y錯誤！ 0、點M（xo,yo）在雙曲線上，-錯誤！y錯誤! =1,即X錯誤！ =2+2 y錯誤！，-2+2y錯誤！3+y錯誤！ 0, -錯誤！Vyo0,b0)得漸近線方程為y= 昔誤！ x,設(shè)直線方程為y=錯誤！ (X-c )，與y=-錯誤！ x聯(lián)立求得M錯誤！，因為M在圓外，所以滿足錯誤！錯誤!0,可 得-錯誤! C2+錯誤!20，解得e=錯誤! 2、r(10)10、一2解析 設(shè)雙曲線得右焦點為F1,連結(jié)PFi、由錯誤！=錯誤!(錯誤！ +錯誤!)知，E就是FP得中點.又0就是F Fi得中點, OE/P F1,且O E=錯誤！ PF1,易知OE丄FP,.P F1丄F P ,二PF2+ PF錯誤！ 1=F F錯誤！,P Fi=a, PF=2a+P Fi