關(guān)于《不等式選講》(選修4-5)的教學(xué)思考

1、關(guān) 于不 等 式 選 講（選修4-5）的 教 學(xué) 思 考繆 選 民 江蘇省泰州市海陵區(qū)教育局教研室 225300不等式選講1是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了一元一次不等式（組）、高中必修5學(xué)習(xí)了一元二次不等式和基本不等式之后所接觸到的又一關(guān)于不等式的內(nèi)容，與前兩階段比較，不等式選講內(nèi)容系統(tǒng)、技能突出、應(yīng)用廣泛，落實(shí)了新課程所提出的“多次接觸、螺旋上升”的理念。但是，教者究竟應(yīng)“上升”哪些內(nèi)容和方法，才能既把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)又體現(xiàn)新課程的理念呢？筆者以為，在教學(xué)中要突出下列五個(gè)方面：兩個(gè)正數(shù)的和是正數(shù)；正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；兩個(gè)正數(shù)的積是正數(shù)。一、公理化思想。所謂公理化，就是找出已有數(shù)學(xué)知識(shí)

2、的內(nèi)部聯(lián)系，進(jìn)而確定原始概念和公理，并以此出發(fā)，演繹地構(gòu)造一個(gè)體系的過程。在教學(xué)中適度滲透公理化思想，既是課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也是促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展的需要。筆者曾經(jīng)聽過幾節(jié)高中階段（老人教版高二教材）有關(guān)不等式的起始課，教者無(wú)一例外地仿照課本將性質(zhì)定理講了一遍。課后一位老師還提出這樣一個(gè)問題：這么顯然的事實(shí)為什么要證？我想，這正是公理化思想的體現(xiàn)。下面來(lái)看不等式性質(zhì)是如何公理化的：定義 ； 公理 定理：（1） （2） （3）（4）； （5） （6）其中，定理（1）（6）（包括必修5中的基本不等式、比較法等）都可以根據(jù)上述定義、公理及所證得的定理像滾雪球般來(lái)演繹，這就是公理化方法。教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)這種體系

3、，并把證明每一個(gè)不等式的推理根據(jù)說(shuō)清楚，例如證明定理（4）：（已知）（定義），（已知）（公理）（變形）（定義）；（已知）（定義），（公理）（公理）（變形）（定義）（定理1）。二、估計(jì)意識(shí)。在現(xiàn)實(shí)世界中，描述某些事物有時(shí)只要知道其大致數(shù)目，這就需要估計(jì)。初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中則明確提出要發(fā)展學(xué)生的“數(shù)感”，這種數(shù)感的具體要求是：“能在具體情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系”、“能估計(jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性作出解釋”。2初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)上有這樣一個(gè)案例：估計(jì)與0.5哪個(gè)大？從不等式的角度來(lái)看就是放縮法。高中階段可以補(bǔ)充這樣的例子：估計(jì)的大小。首先能確定這個(gè)數(shù)是介于1和2之間的，它的一個(gè)上界是2，這是因?yàn)?/p>

4、=+=，但這只能說(shuō)是一個(gè)粗略的估計(jì)。如果要精確一些的話，就要多取幾項(xiàng)來(lái)估值，用到放縮的基本方法：=1.694；=1.601。顯然這個(gè)估計(jì)范圍（1.6011.694）要比上面的估計(jì)精確，教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)的是這種估值的思想和方法。三、具體的探索方法。探索能力是數(shù)學(xué)思維能力之一，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力也是發(fā)展學(xué)生智力的主要途徑。課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是記憶一些重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，還要培養(yǎng)學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐的能力,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程3。在不等式選講中，探索的主要方法有：合情推理、“湊等”、輪換等。1合情推理。數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展始于對(duì)具體問題或素材的觀察、合情推理、驗(yàn)證，從而揭

5、示事物的本質(zhì)。不等式的許多問題可以通過觀察、合情推理、證明這一模式進(jìn)行，即用“先猜后證”的方法來(lái)解決。例1已知，求證+。就要證的結(jié)論來(lái)看，我們可以作如下猜測(cè)，該題很可能是由而來(lái)的，如能證明此結(jié)論成立，再輪換地寫出其余不等式，將三式相加問題就解決了。經(jīng)過逆推，果真如此。這里，合情推理幫我們找到了證明的思路。2湊等技巧。有相當(dāng)一部分不等式，研究其等號(hào)成立的條件可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)不等式中的字母均相等時(shí)“=”成立，這為我們證明不等式提供了一條思路在證明時(shí)就沖著“=”進(jìn)行。例2已知，求證：。通過觀察，地位相等，時(shí)取“=”，此時(shí)，因此得到“湊等”的證法：，三式相加化簡(jiǎn)，即得要證的結(jié)論。教學(xué)中，學(xué)生如能明白這個(gè)“

6、”是怎么回事，那么“湊等”的目的就達(dá)到了。這種證法比直接用柯西不等式、平方平均不等式有探索和思考的價(jià)值。3輪換法。輪換法在不等式證明中起著重要的作用，有些不等式就是將基本不等式中的字母輪換后相加（乘）而得到的，如就是由輪換相加所得。課本習(xí)題中不難找到這樣的問題：已知為正數(shù)，求證：+。1用輪換的思想來(lái)考慮此問題就是能否證得？，由于這個(gè)不等式的左邊只有a、b，因此“？”只能與a、b有關(guān)，再聯(lián)系到要證明的不等式，如果能夠用輪換相加來(lái)證的話，那么就應(yīng)該是，而這正是課本上的例題。類似的例子很多，如：是正數(shù)，求證：+。要證這個(gè)不等式希望有成立，即。這里為什么猜測(cè)右式分子為4呢？因?yàn)檩啌Q相加后，得到的結(jié)果是

7、+，兩邊約分后才能得到要證明的不等式！四、數(shù)學(xué)史知識(shí)。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“課程基本理念”中指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀”4。鑒于目前高中教學(xué)的實(shí)際狀況，多數(shù)學(xué)生不可能選修數(shù)學(xué)史選講這一課程，因此對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育的任務(wù)主要落實(shí)在各單元的教學(xué)過程中。而不等式選講中，有幾個(gè)不等式就是直接以數(shù)學(xué)家的名字來(lái)命名的，如貝努利不等式、柯西不等式。在教學(xué)中適

8、當(dāng)插敘這些數(shù)學(xué)家的軼事、奮斗經(jīng)歷，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情將產(chǎn)生不可低估的作用。不等式選講編寫了關(guān)于柯西生平的簡(jiǎn)短閱讀材料，教師如能利用各種媒體再充實(shí)這種材料，“體現(xiàn)人文精神”也就落到實(shí)處了。五、不等式的應(yīng)用。數(shù)學(xué)的生命力來(lái)自它的廣泛應(yīng)用，新課程將數(shù)學(xué)應(yīng)用提到了一個(gè)新的高度。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高實(shí)踐能力”。這一次，不等式選講的編排不同于以前課本中的不等式，在內(nèi)容上突出了應(yīng)用，“排序不等式”進(jìn)入教材就是最好的說(shuō)明。談到應(yīng)用，課本上有一個(gè)很好的例子：甲、乙兩人同時(shí)同地出發(fā)，沿同一路線走到同一地點(diǎn)。甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走