利用對稱性簡化兩類曲面積分的計(jì)算畢業(yè)論文

1、 . . . 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）BACHELOR DISSERTATION 論文題目:利用對稱性簡化兩類曲面積分的計(jì)算16 / 20利用對稱性簡化兩類曲面積分的計(jì)算中文摘要曲面積分的計(jì)算是積分運(yùn)用中的一個難點(diǎn).在某些曲面積分的計(jì)算過程中,若能利用對稱性,則可以簡化曲面積分的計(jì)算過程.本文介紹了幾種常見的有關(guān)對稱性在兩類積分計(jì)算中的幾個重要結(jié)論,并通過實(shí)例討論了利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性簡化曲面積分的計(jì)算方法.另外,本文還給出了利用積分曲面關(guān)于變量的輪換對稱性和非對稱性轉(zhuǎn)化為對稱性簡化曲面積分的計(jì)算,使曲面積分的計(jì)算更加便捷.關(guān)鍵詞: 曲面積分; 積分區(qū)域; 奇偶性; 對稱性 Use

2、ofsymmetrytosimplifythecalculationofthetwotypesofsurface integralsABSTRACTSurface integration points used in the calculation is a difficult point. Certain points in the calculation process, if use of symmetry, you can simplify the surface integral calculation. This article describes some common poin

3、ts of symmetry in the calculation process and its application in several conclusions, and then through some examples using the integral area of the symmetry and the parity of the integrand to simplify surface integral calculated. In addition, the paper also gives the surface integral on the variable

4、 use of symmetry and non-symmetry transforming of symmetry simplifies the calculation of surface integrals is the surface integral of the calculation are more convenient.KEY WORD:Surface integrals; The integral region; Parity; Symmetry第一章引言1第二章預(yù)備知識2第三章利用對稱性簡化曲面積分的計(jì)算33.1利用對稱性簡化計(jì)算第一類曲面積分33.1.1第一類曲面積分的

5、定義33.1.2第一類曲面積分對稱性定理33.1.3第一類曲面積分對稱性定理的應(yīng)用43.2利用對稱性簡化計(jì)算第二類曲面積分73.2.1第二類曲面積分的定義73.2.2第二類曲面積分對稱性定理73.2.3第二類曲面積分對稱性定理的應(yīng)用8第四章通過變換利用對稱性計(jì)算曲面積分12第五章總結(jié)14參考文獻(xiàn)15致16第一章 引言在曲面積分的計(jì)算中,經(jīng)常會遇到有關(guān)對稱性問題,如果能根據(jù)具體問題的特點(diǎn),利用對稱性計(jì)算可以使過程大大簡化.我們對第一類曲面積分和第二類曲面積分分別加以討論,并舉例說明其在簡化曲面積分計(jì)算多種的應(yīng)用.曲面積分的對稱性在曲面積分的計(jì)算中是非常有意義的.對稱性定理在許多數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中有

6、著重要的作用,既可以利用曲面積分的對稱性證明一些重要的不等式、簡化曲面積分的計(jì)算,也可以解決一些幾何問題、概率問題,并且在物理學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用.本文主要是利用對稱性定理來簡化兩類曲面積分的計(jì)算,為計(jì)算某些類型的曲面積分提供一種簡單的計(jì)算方法.積分的對稱性包括重積分,曲線積分,曲面積分等的對稱性.在積分計(jì)算中,充分利用積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性,往往可以達(dá)到事半功倍的效果.下面將從兩類曲面積分對稱性相關(guān)的定理和結(jié)論,再結(jié)合相關(guān)的實(shí)例進(jìn)行具體的探討.本文討論了兩類曲面積分計(jì)算中的對稱性方法,并舉例說明其在簡化曲面積分計(jì)算中的應(yīng)用,以與相應(yīng)對稱區(qū)域上定理中的函數(shù)約定在該區(qū)域都連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)連

7、續(xù).第二章 預(yù)備知識為了使全文連貫,我們將在本章列出以下幾個定義和相關(guān)的性質(zhì).定義1 設(shè)平面區(qū)域?yàn)?若對均有,則稱關(guān)于直線對稱,點(diǎn)與是關(guān)于的對稱點(diǎn).若對均有,則關(guān)于直線對稱,與是關(guān)于的對稱（顯然當(dāng),時分別關(guān)于,軸對稱）.定義2 設(shè)平面區(qū)域?yàn)?若對均有,則稱關(guān)于對稱,點(diǎn)與是關(guān)于的對稱點(diǎn).若對均有,則稱關(guān)于直線對稱.注釋:空間區(qū)域關(guān)于平行于坐標(biāo)面的平面對稱;平面曲線關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱;空間曲面、空間曲線關(guān)于平行于坐標(biāo)面的平面對稱,也有以上類似的定義.定義3 設(shè)函數(shù)在空間曲面上有定義,若對均有,且,則稱關(guān)于為偶函數(shù);若對均有,則稱關(guān)于為奇函數(shù);類似可以定義函數(shù)關(guān)于,變量的奇偶性.第三章 利用

8、對稱性簡化曲面積分的計(jì)算3.1利用對稱性簡化計(jì)算第一類曲面積分3.1.1第一類曲面積分的定義定義417 設(shè)曲面為有界光滑（或分片光滑）曲面,函數(shù)在上有界.將曲面用一個光滑曲線網(wǎng)分成片小曲面,···, ,并記的面積為. 在每片上任取一點(diǎn),作和式. 如果當(dāng)所有小曲面的最大直徑趨于零時,這個和式的極限存在,且極限值與小曲面的分法和點(diǎn)的取法無關(guān),則稱此極限值為在曲面上的第一類曲面積分,記為,即,其中稱為被積函數(shù),稱為積分曲面.3.1.2第一類曲面積分對稱性定理定理15 設(shè)在分片光滑的曲面上連續(xù). 若關(guān)于面對稱,則其中為在面上方的部分.若關(guān)于平面（或平面）對稱,關(guān)于（或）為

9、奇函數(shù)或偶函數(shù)也有類似的結(jié)論.定理27 若積分曲面關(guān)于,具有輪換對稱性,則.3.1.3第一類曲面積分對稱性定理的應(yīng)用例1 計(jì)算曲面積分,其中為球面上的部分.解: 利用定理1知設(shè)=,則.例2 計(jì)算,為錐面被曲面所截下的部分.解: 因?yàn)殛P(guān)于面對稱,被積函數(shù)中與都是的奇函數(shù),由定理1.又因?yàn)?所以,原式.例3 計(jì)算曲面積分,其中:.解: 令:,.則,.關(guān)于原點(diǎn)對稱,且被積函數(shù)分別為關(guān)于的偶函數(shù),則根據(jù)定理1得,.例411 計(jì)算曲面積分,其中是球面.解:如果按照常規(guī)方法來解,計(jì)算量比較大,如果利用對稱函數(shù)的特性,非常簡捷.因?yàn)榍蛎骊P(guān)于,具有輪換對稱性,所以根據(jù)定理2得,.3.2利用對稱性簡化計(jì)算第二類

10、曲面積分3.2.1第二類曲面積分的定義定義517 設(shè)為有向光滑曲面,曲面上的每一點(diǎn)指定了單位法向量.如果是定義在上的向量值函數(shù),稱為在上的第二類曲面積分（如果右面的第一類曲面積分存在）.3.2.2第二類曲面積分對稱性定理利用對稱性計(jì)算第二類曲面積分同樣需要注意投影元素的符號.現(xiàn)以曲面積分為例來討論.當(dāng)曲面指定側(cè)上動點(diǎn)的法向量方向與軸正向成銳角（鈍角）時,有向曲面元在面上的有向投影為正（負(fù)）.一般地,有如下定理:定理35 設(shè)分片光滑的有向曲面關(guān)于平面對稱,在平面上方部分記為（方程為）,下方部分記為,又設(shè)在上連續(xù),則若關(guān)于平面（或平面）對稱,關(guān)于（或）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有類似的結(jié)論.定理47 若積分

11、曲面關(guān)于,具有輪換對稱性,則.3.2.3第二類曲面積分對稱性定理的應(yīng)用例5 計(jì)算,其中:的下側(cè).解: 是的偶函數(shù),關(guān)于面對稱,所以 .而是的偶函數(shù),關(guān)于面對稱,所以根據(jù)定理3得.因此,原式.例612 計(jì)算,式中為球面的外側(cè)位于的部分.解: 依題設(shè)條件分析知,該曲面積分滿足定理3中的結(jié)論,故有其中, .例7 計(jì)算,其中為平面,和所圍立體的表面外側(cè)（如圖1）.圖1 解:將曲面劃分成如圖所示的四片:,和.的方程為,.其法向量與軸和軸的夾角都是,與軸的夾角為,因此.同理,.而的方程可表為,.因此,.由定理4得,.因此,相加后得到.例8 計(jì)算,其中是球面的外側(cè).解: 因?yàn)榍蛎骊P(guān)于,具有輪換對稱性,所以由

12、定理4得先計(jì)算,為此應(yīng)分別考慮前半球面（記為）與后半球面（記為）上的曲面積分.:,它在面上的投影域?yàn)閳A域,則有,.對于在后半球面上的曲面積分,由于為后側(cè),故因此,.第四章 通過變換利用對稱性計(jì)算曲面積分對于某些特殊的非對稱性的曲面積分計(jì)算,可以用一些變換,如坐標(biāo)變換、平移變換等,將其轉(zhuǎn)變?yōu)閷ΨQ性問題進(jìn)行計(jì)算.例9 設(shè)與分別為與,又在、上連續(xù),求證.證明: 將證的二重積分表示即是的二重積分表示.球面的方程可寫成:,并分別記為與.它們在平面上的投影區(qū)域?yàn)?,對二重積分作平移變換:,可得,其中:,.將,換成,上述二重積分也是的二重積分表示,因此結(jié)論成立.根據(jù)例9中關(guān)于平移變換的結(jié)論可以計(jì)算某些曲面積

13、分.例10 求,其中（1）:;（2）:.解:（1）的方程可改寫成,是以為中心,R為半徑的球面.于是,. (2).第五章 總結(jié)本文運(yùn)用對稱性和積分學(xué)中的有關(guān)知識,在前人研究的基礎(chǔ)之上,對于利用對稱性簡化曲面積分中的計(jì)算進(jìn)行了探討,由此可見,上述關(guān)于曲面積分對稱性的定理對于在特殊情況下簡化曲面積分的計(jì)算是非常有效的,它尤對第二類曲面積分計(jì)算,可以避免曲面的側(cè)的干擾,所以在解題過程中注意積分區(qū)域是否有某種對稱性以與被積函數(shù)是否與之相匹配的奇、偶性,則可減少一些繁瑣的計(jì)算,提高解題效率.此外,為了利用對稱性,在有些計(jì)算中需要作平移變換.如例10中（1）可以令,則可得到.（2）中可以令,則可得到對于有些

14、積分計(jì)算可以根據(jù)具體情況做出適當(dāng)?shù)淖儞Q,再利用對稱性求解,從而可以簡化積分計(jì)算,但很遺憾的是本文沒有找出變換的一般規(guī)律,這是本文的一大不足之處.參考文獻(xiàn)1R.Livrea. Existence of three solutions for a quasilinear two point boundaryvalue problem.Arch.Math, 2002.2 H.Brezis. Analyse fonctionelle- Theorie et applications.Paris, 1983.3J.Dugundji andA.Granas. Fixed point theorey,War

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