波利亞怎樣解題表

1、 波利亞的怎樣解題表 1 喬治波利亞 喬治 波利亞（George PolyaGeorge Polya, 1887188719851985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、 面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律，亦譯為探索法 他在數(shù)學(xué)教育方面取得的成就和對(duì)世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他 CME（國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)）聘為名譽(yù)主席. 作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算和應(yīng)用數(shù)學(xué) 等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，留下了以 波利亞”命名的定理或術(shù)語； 他與其他數(shù)學(xué) 家合著的數(shù)學(xué)分析中的問題和定理、不等式、數(shù)學(xué)物理中的等周問題、復(fù)變 量等書堪稱經(jīng)典； 而以 200200多篇論

2、文構(gòu)成的四大卷文集， 在未來的許多年里，將是研究生 攻讀的內(nèi)容. 作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在怎樣解題 似真推理 （19541954年）、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（19621962 年）三部世界名著上，涉及 教學(xué)”、教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域.波利亞對(duì)數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要是通過 現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，也在解題講習(xí)班”中對(duì)教師現(xiàn)身說法.他的著作把傳統(tǒng) 的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識(shí)和新技能的學(xué)習(xí)過程， 他的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地 用于解決一切問題的 萬能方法”，而是希望通過對(duì)于解題過程的深入分析， 特別是由已有的 成功實(shí)踐，總結(jié)出一般的方法或模式， 使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作

3、用. 他所總結(jié) 的模式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與特殊化 方法、從后往前推、設(shè)立次目標(biāo)、歸納與類比、考慮相關(guān)輔助問題、對(duì)問題進(jìn)行變形等，都 在解題中行之有效.尤其有特色的是，他將上述的模式與方法設(shè)計(jì)在一張解題表中， 一系列的問句或建議表達(dá)出來， 使得更有啟發(fā)意義.著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士蘇黎世大學(xué)的 會(huì)議致詞中說過： 每個(gè)大學(xué)生、每個(gè)學(xué)者、特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的 書”（195195 年 2 2 月 2 2 日）. 2 怎樣解題表 波利亞是圍繞 怎樣解題”、怎樣學(xué)會(huì)解題”來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)法研究的，這首先表明其對(duì) 問題解決”重要性的突出強(qiáng)調(diào)，同時(shí)也

4、表明其對(duì) 問題解決”研究興趣集中在啟發(fā)法上.波利 亞在風(fēng)靡世界的怎樣解題（被譯成 1414 種文字）一書中給出的怎樣解題表”，正是一部啟 發(fā)法小詞典”. 2.1 怎樣解題”表的呈現(xiàn) 弄清問題數(shù)學(xué)教育家.在解題方 ）現(xiàn)代研究的先驅(qū).由于 9393 歲高齡時(shí)，還被I （19451945 年卜 數(shù)學(xué)與 解題理論”、解題 怎樣解題”表來實(shí) 并通過 未知是什么？已知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知，條 件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào). 第一，你必 須弄清問題 把條件的各個(gè)部分分開.你能否把它們寫下來擬定計(jì)劃 你以前見過它嗎？ 你是否見過

5、相同的問題而形式稍有不同 你是否知道與此有關(guān)的問題 ？ 爾是否知道一個(gè)可能用得上的定理 第二，找出 已知數(shù)與未 知數(shù)之間的 看著未知數(shù)，試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題. 這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題. 你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎 ？為了能利用 聯(lián)系.如果 它, 你是否應(yīng)該引入某些輔助元素 找不出直接 你能不能重新敘述這個(gè)問題 ？爾能不能用不同的方法重新敘述它 的聯(lián)系，你 可能不得不 回到定義去. 考慮輔助問 如果你不能解決所提出的問題， 可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題. 你能不能 想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題 ？一個(gè)更普遍的問題 個(gè)更

6、特殊的問題 個(gè) 題. 類比的問題？爾能否解決這個(gè)問題的一部分 ？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其 你應(yīng)該 余部分.這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度 ？它會(huì)怎樣變化？爾能不能從已知數(shù) 最終得出一 據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西 ？爾能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù) ? ?如果需 個(gè)求解的計(jì) 要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變, 據(jù)彼此更接近？ 以使新未知數(shù)和新數(shù) 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù) ？你是否利用了整個(gè)條件 ？你是否考慮了包 含在問題中的必要的概念 ？ 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 第三，實(shí)行你的計(jì)劃 實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟. 你能否清楚地看出這一步驟是正確的 ？你能否證明這一步驟是正 確的？ 第四

7、，驗(yàn)算所得到的 解. 你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證 ？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果 ？你能不 能一下子看出它來？ 你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題 3 波利亞的解題觀 對(duì)于波利亞的怎樣解題表及有關(guān)著作， 人們從不同的角度闡發(fā)了對(duì)波利亞解題思想的認(rèn) 識(shí)（見參考文獻(xiàn)），我們將其歸結(jié)為 5 5 個(gè)要點(diǎn). 3.1 怎樣解題表， 用的智力活動(dòng)”， 計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、 學(xué)系統(tǒng)既體現(xiàn)常識(shí)性，又體現(xiàn)由常識(shí)上升為理論 這四個(gè)階段首先是一個(gè)四步驟的宏觀解題程序， 為容易完成，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置，“我們所需要的只是耐心”； 其次，“弄清問題”是認(rèn)識(shí)問題、 并對(duì)問題進(jìn)行表征的過程， 應(yīng)成為成功解決問題

8、的一個(gè)必 要前提；與前兩者相比，“回顧”是最容易被忽視的階段， 波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié) 而固定下來，是一個(gè)有遠(yuǎn)見的做法，在整個(gè)解題表中“擬定計(jì)劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容. “擬定計(jì)劃”的過程是在“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”基礎(chǔ)上， 探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過 程，波利亞的建議是分兩步走： 第一，努力在已知與未知之間找出直接的聯(lián)系 （模式識(shí)別等）; 第二，如果找不出直接的聯(lián)系， 就對(duì)原來的問題做出某些必要的變更或修改， 引進(jìn)輔助問題， 為此，波利亞又進(jìn)一步建議：看著未知數(shù)，回到定義去，重新表述問題，考慮相關(guān)問題，分 解或重新組合，特殊化，一般化，類比等，積極誘發(fā)念頭，努力變化問題這實(shí)際上是闡述 和應(yīng)

9、用解題策略并進(jìn)行資源的提取與分配. 于是，這個(gè)系統(tǒng)就集解題程序、解題基礎(chǔ)、解題策略、解題方法等于一身，融理論與實(shí) 踐于一體. 3.2 啟發(fā)式的過程分析 （1 1） 還在當(dāng)學(xué)生的時(shí)候，波利亞就有一個(gè)問題一再使他感到困惑：“是的，這個(gè)解答好 像還行，它看起來是正確的，但怎樣才能想出這樣的解答呢 ？是的，這個(gè)實(shí)驗(yàn)好像還行，它 看起來是個(gè)事實(shí)，但別人是怎樣發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí) ？ 而且我自己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢 從解題論的觀點(diǎn)看，這實(shí)際上是既提出了“怎樣解題”又提出了 “怎樣學(xué)會(huì)解題”的問題， 波利亞說，這“終于導(dǎo)致他寫出本書” （指怎樣解題 波利亞認(rèn)為“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面”， “用歐幾里得方式提出來的數(shù)學(xué)

10、看來像是一門系統(tǒng)的 演繹科學(xué)；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué). 這兩個(gè)側(cè)面都像數(shù)學(xué) 本身一樣古老.但從某一點(diǎn)說來，第二個(gè)側(cè)面則是新的，因?yàn)橐郧皬膩砭蜎]有照本宣科 地把處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生， 或教師自己，或公眾.”他以數(shù)十年的時(shí)間 悉心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法，其“怎樣解題”的基本思想就可以概括為“知識(shí)+啟發(fā)法”. 在解題表中，波利亞給出了 “啟發(fā)法小詞典”， 讓讀者通過閱讀詞典來開闊思路、 指導(dǎo) 實(shí)踐，自己學(xué)會(huì)怎樣解題. 這些看法來源于波利亞對(duì)數(shù)學(xué)教育宗旨的認(rèn)識(shí)， 波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育應(yīng)“教會(huì)年輕人 去思考”，培養(yǎng)學(xué)生的“獨(dú)立性、能動(dòng)性和創(chuàng)新精神”； 他認(rèn)為一個(gè)人在學(xué)

11、校所受的教育應(yīng) 該受益終生，他贊成，良好的教育應(yīng)該“系統(tǒng)地給學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)事物的機(jī)會(huì)”， “應(yīng)該幫助 學(xué)生自己再發(fā)現(xiàn)所教的內(nèi)容”， “學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”； 他特別重視發(fā)展學(xué) 生的數(shù)學(xué)思維能力， 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要加強(qiáng)思維訓(xùn)練， 要發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力， 發(fā)展 技能、技巧、有益的思考方式和科學(xué)的思維習(xí)慣， 他反復(fù)指出，數(shù)學(xué)教育的目的不僅僅是傳 授知識(shí)，還要“發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力”. 教師要“教學(xué)生證明問題”， 也要“教他們猜 想問題” 波利亞提出“合情推理”的概念，號(hào)召：“讓我們教猜想吧 ！” （2 2） 在解題表的展開中，波利亞則通過剖析典型例題的思維過程來研究“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的

12、程序化的解題系統(tǒng) 就“怎樣解題”、 “教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題， 把“解題中典型有 按照正常人解決問題時(shí)思維的自然過程分成四個(gè)階段一一弄清問題、 擬定 回顧，從而描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓， 也組成了一個(gè)完整的解題教 （普遍性）的自覺努力. 其中“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”雖為主體工作， 但較 方法和規(guī)律” 波利亞不斷地提問、不斷地建議，“怎樣才能想出這樣的解答呢 ？ ” “我自 己怎樣才能想出或發(fā)現(xiàn)它們呢 ？”既驅(qū)使人們?nèi)シ治鼋忸}過程，又要求人們?nèi)タ偨Y(jié)發(fā)現(xiàn)的規(guī) 律.波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)序言中提出：“領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)，可能是讀者解出一道題 的時(shí)候，或是閱讀它的解法的時(shí)候，也可能是閱讀解法形成過程的時(shí)候”

13、. 波利亞書中的例題， 其實(shí)就是對(duì)典型例題進(jìn)行解題過程的分析， 就是暴露數(shù)學(xué)解題的思 維過程，也就是教人“怎樣學(xué)會(huì)解題”. 在例 1 1 中，數(shù)學(xué)操作與思維開展相結(jié)合的圖解或闡 釋，使我們既領(lǐng)會(huì)到了這樣的意圖，也見到了這樣的行動(dòng). 波利亞對(duì)解題過程淋漓盡致的剖析， 實(shí)質(zhì)上已接觸到心理層面，但沒有用到多少教育學(xué) 或思維學(xué)的相關(guān)名詞， 基本上都是其數(shù)學(xué)前沿研究中切身體驗(yàn)的自然流露， 數(shù)學(xué)功底和過程 體驗(yàn)發(fā)揮了重要作用. 這正是數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)教育的優(yōu)勢(shì)， 處處有數(shù)學(xué)的“真刀真槍”， 絕 非“紙上談兵”.波利亞說“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫是一個(gè)解題者的重要資本”， 在“知識(shí)”與“組織良好”之間，

14、波利亞更強(qiáng)調(diào)后者，他說“良好的組織使得所提供的知識(shí) 易于用上，這甚至可能比知識(shí)的廣泛更為重要.”用現(xiàn)在的話來說，波利亞在這里強(qiáng)調(diào)了“原 有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)”和“優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”對(duì)問題解決的基礎(chǔ)作用. 3.3 開放型的念頭誘發(fā). 波利亞解釋說：“我們表中的問題和建議并不直接提到念頭； 但實(shí)際上，所有的問題和 建議都與它有關(guān)（可以說解題表中的每一個(gè)問句，都是從認(rèn)知或元認(rèn)知的角度向讀者啟發(fā)解 題念頭.），弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備；擬訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后， 我們 實(shí)現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果， 我們?cè)噲D更好地利用它.”他強(qiáng)調(diào)指出：“老師為學(xué)生 所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助， 促使

15、他自己想出一個(gè)好念頭.”在怎樣解題 一書里，出現(xiàn)“念頭”這個(gè)詞不下四五十次. 念頭有什么用皴利亞說：“它會(huì)給你指出整個(gè)或部分解題途徑” “也許有些念頭會(huì) 把你引入歧途”，但這并不可怕，“在明顯失敗的嘗試和一度猶豫不決之后”會(huì)“突然閃出 一個(gè)好念頭”， 最糟糕的是沒有任何念頭， 還“笨頭呆腦地干等著某個(gè)念頭的降臨， 而 不會(huì)做任何事情去加速其來到.” 這里說的念頭不僅在字面上比“問題表征”更為淺白， 而且在內(nèi)涵上更為豐富， 其實(shí)質(zhì) 是開展積極活躍的思維活動(dòng)，產(chǎn)生念頭與找出解題途徑完全可以理解為同義語. 那么產(chǎn)生念 頭的基礎(chǔ)是什么呢皴利亞的回答是：“過去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”. （解題力量）“如果我

16、們 對(duì)該論題知識(shí)貧乏，是不容易產(chǎn)生好念頭的. 如果我們完全沒有知識(shí)， 則根本不可能產(chǎn)生好 念頭.” 波利亞一再提到“好念頭”，其實(shí)這就是直覺、頓悟或靈感，“想出一個(gè)好念頭是一種 靈感運(yùn)動(dòng)”，“想像力有了一個(gè)突然的跳躍，產(chǎn)生了一個(gè)好念頭，這是天才的一次閃 爍”，“是我們觀點(diǎn)上的重大突變， 我們看問題方式的一個(gè)驟然變動(dòng)， 在解題步驟方面的一 個(gè)剛剛露頭的有信心的預(yù)感”. 波利亞關(guān)于念頭的種種議論，正是開展積極思維活動(dòng)的激發(fā)與激活. 3.4 探索性的問題轉(zhuǎn)換 這里說的“問題轉(zhuǎn)換”，在怎樣解題一書中亦叫“變化問題”、“題目變更”，它 揭示了探索解題思路的數(shù)學(xué)途徑， 也體現(xiàn)了解題策略的實(shí)際運(yùn)用. 波利亞

17、強(qiáng)調(diào)：“解題的成 功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘， 為了找出哪個(gè)方面是正確的 方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面去試驗(yàn)，我們變更問題.” “變 化問題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容， 從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們有關(guān)的元素接觸的新可 能性.” “新問題展現(xiàn)了接觸我們以前知識(shí)的新可能性， 它使我們做出有用接觸的希望死而 復(fù)蘇通過變化問題，顯露它的某個(gè)新方面，新問題使我們的興趣油然而生”. 在“怎樣解題”表中，波利亞擬出了啟引我們不斷轉(zhuǎn)換問題的 3030 多個(gè)問句或建議：把 問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的問題，把原問題化歸為一個(gè)已解決的問題， 去考慮一個(gè)可能相關(guān)的問 題，

18、先解決一個(gè)更特殊的問題、 或更一般的問題、或類似的問題那些啟發(fā)新念頭的問句， 也往往與問題轉(zhuǎn)換有關(guān). “如果我們不用題目變更， 幾乎是不能有什么進(jìn)展的”一一這 就是波利亞的結(jié)論. 3.5 樸素的數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知觀念. 元認(rèn)知是對(duì)認(rèn)知的再認(rèn)知， 包括元認(rèn)知知識(shí)，元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控. 雖然元認(rèn)知概 念提出較晚，但元認(rèn)知思想早就存在，在波利亞的解題思想中存在著樸素的元認(rèn)知觀念. 波利亞解題表的大量問句或建議，都不是問別人，而是自己給自己提問題、提建議，這 是解題者的自我詰問、自我反思.問題中的一部分，其對(duì)象針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容， 屬于認(rèn)知 性的；另一部分則以解題者自身為對(duì)象， 屬于元認(rèn)知性的.比如，

19、“你以前見過它嗎 ？”“你 是否知道一個(gè)與此有關(guān)的問題 ？”“這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān),且早已解決的問題.你 能不能利用它 ？”等等，都不涉及問題的具體內(nèi)容，都是針對(duì)解題主體、對(duì)其解題思維活動(dòng) 的反思，都屬于元認(rèn)知提問，而不完全是認(rèn)知提問. 波利亞解題表中的“回顧”也并不完全是常規(guī)解題中的“檢驗(yàn)”， 主要是有分析地領(lǐng)會(huì) 所得的解法（參見例 1 1 的回顧），它包含著把“問題及其解法” （）（）作為對(duì)象進(jìn)行自覺反思 的元認(rèn)知意圖.至于解題表本身所給出的解題程序 （一種程序性知識(shí)）,所體現(xiàn)的解題策略（一 種策略性知識(shí)）及所進(jìn)行的元認(rèn)知提問，都屬于元認(rèn)知知識(shí).波利亞對(duì)具體范例的分析，基 本上是對(duì)

20、“問題及其解法”的再認(rèn)知，已反映出開發(fā)元認(rèn)知的樸素 意圖. 波利亞的另一些問句，如“你能不能重新敘述這個(gè)問題 ？你能不能用不同的方法重新敘 述它？”“你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接 近？ ”（接近度，“你能不能一下子看出它來 ？ ” 0 0 題感則屬于樸素的元認(rèn)知體驗(yàn). 至于解題表本身，則自始至終體現(xiàn)著元認(rèn)知調(diào)控. 綜上所述，“解題系統(tǒng)”是波利亞解題思想的整體框架， “分析解題過程”是波利亞解 題思想的思維實(shí)質(zhì)，“念頭誘發(fā)”是波利亞解題思想的外在表現(xiàn)， “問題轉(zhuǎn)換”是波利亞解 題思想的具體實(shí)現(xiàn)，樸素的元認(rèn)知觀念是波利亞解題思想的心理學(xué)基礎(chǔ).而這一切的背后

21、， 豐富的數(shù)學(xué)前沿研究經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)體驗(yàn)是波利亞解題思想的物質(zhì)基礎(chǔ)， 現(xiàn)代啟發(fā)法是波利亞解 題思想的靈魂，揭示“發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律”是波利亞解題思想的目標(biāo). 4 波利亞解題研究的發(fā)展 4.1 反思 數(shù)學(xué)上存在證明的方法與發(fā)現(xiàn)的方法， 在邏輯實(shí)證主義占主導(dǎo)地位的歷史時(shí)期， 關(guān)于數(shù) 學(xué)發(fā)現(xiàn)方法的研究一度陷于停頓，波利亞的貢獻(xiàn)就在于自覺承擔(dān)起復(fù)興數(shù)學(xué)啟發(fā)法的重任， 并提出合情推理，為數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代研究提供了必要基礎(chǔ). 2020 世紀(jì) 8080 年代初期，美國(guó)數(shù) 學(xué)教育界興起的“問題解決”研究是對(duì)波利亞現(xiàn)代啟發(fā)法的直接繼承， 曾經(jīng)有“對(duì)波利亞的 重新發(fā)現(xiàn)”、“數(shù)學(xué)啟發(fā)法幾乎成了問題解決的同義詞”等提

22、法. 但是，已有數(shù)學(xué)實(shí)踐卻 未能獲得預(yù)期的成功，盡管學(xué)生已經(jīng)具備了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)， 也已經(jīng)了解了相關(guān)的方法原則， 或者說已執(zhí)行了解題表的建議， 卻仍不能有效地解決問題， 這不能不引起數(shù)學(xué)教育界的反思. （1 1） 波利亞構(gòu)建的“四階段”解題系統(tǒng)具有開創(chuàng)性的意義，但局限于“四階段”對(duì)學(xué)會(huì) “數(shù)學(xué)地思維”而言是不是有點(diǎn)簡(jiǎn)單化了 謝數(shù)學(xué)問題解決全過程的探索可能比解題表所簡(jiǎn) 潔描述的復(fù)雜得多. （2 2） 數(shù)學(xué)啟發(fā)法的現(xiàn)代復(fù)興及其所取得的成功，無論怎樣評(píng)價(jià)都不算過分，但啟發(fā)法能 不能看成影響問題解決能力的惟一要素 ？ + +知發(fā)法”之外可能還有更多的因素需要重 視（如“元認(rèn)知調(diào)節(jié)”、“觀念”等 ），“

23、好念頭”的出現(xiàn)可能也需要從方法論的角度做出更 為自覺的分析. （3 3） 波利亞從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究數(shù)學(xué)問題解決并強(qiáng)調(diào)解題實(shí)踐是一個(gè)值得繼承的研究方向 （與 那些連數(shù)學(xué)題都沒有出現(xiàn)的解題研究形成鮮明對(duì)照， 也與那些對(duì)中學(xué)教材作業(yè)題都不那么過 關(guān)的研究者形成鮮明對(duì)照），但局限于“解題”、專注于技能技巧是不是狹窄了點(diǎn) ？至少“問題發(fā)現(xiàn)（提出）”、“實(shí)際應(yīng)用”都與解決問題有同樣的重要性. 4.2 發(fā)展 近十幾年來，通過反思和對(duì)解題實(shí)踐活動(dòng)的深入考察， 數(shù)學(xué)教育界已經(jīng)在“問題解決” 的全過程和“高級(jí)數(shù)學(xué)思維”的內(nèi)外部機(jī)制等研究方面取得了新的進(jìn)展， 中國(guó)式的“問題解 決”也初成特色，這些都構(gòu)成了對(duì)波利亞的超越

24、. （1） 美國(guó)學(xué)者舍費(fèi)爾德在名著數(shù)學(xué)解題一書中，提出了一個(gè)新的理論框架，描述 了復(fù)雜的智力活動(dòng)的四個(gè)不同性質(zhì)的方面. 認(rèn)識(shí)的資源即解題者所已掌握的事實(shí)和算法； 啟發(fā)法.即在困難的情況下借以取得進(jìn)展的“常識(shí)性的法則”； 調(diào)節(jié)它所涉及的是解題者運(yùn)用已有知識(shí)的有效性 （即現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中所說的元認(rèn) 知）； 信息系統(tǒng).即解題者對(duì)于學(xué)科的性質(zhì)和應(yīng)當(dāng)如何去從事工作的看法. （2） 中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視解題訓(xùn)練、中國(guó)的數(shù)學(xué)教師歷來重視解題研究， 2020 世 紀(jì) 8080 年代，隨著美國(guó)“問題解決” 口號(hào)傳入中國(guó)，波利亞的解題理論受到了重視也得到了 發(fā)展. 早在 2020 世紀(jì) 4040 年代，波利亞的怎樣解題就曾有過中譯本 （周佐嚴(yán)譯，中華書局出 版），到 6060 年代曾有人翻譯數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)但由于種種原因未能完成（見江澤涵關(guān)于波利 亞的怎樣解題和數(shù)學(xué)的發(fā)