雞兔同籠類問題中的各種解法分析小匯總

1、雞兔同籠類問題中的各種解法分析小匯總1.典型雞兔同籠問題詳解例1雞兔同籠是我國古代的著名趣題。大約在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載著“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”翻譯成通俗易懂的內(nèi)容如下：雞兔共有35個(gè)頭，94只腳，問雞兔各有多少只？經(jīng)梳理，對(duì)于這一類問題，總共有以下幾種理解 方法。（1）站隊(duì)法讓所有的雞和兔子都列隊(duì)站好，雞和兔子都聽哨子指揮。那么，吹一聲哨子讓所有動(dòng)物抬起一只腳，籠中站立的腳：94-35=59 （只）那么再吹一聲哨子，然后再抬起一只腳，這時(shí)候雞兩只腳都抬起來就一屁股坐地上了，只剩下用兩只腳站立的兔子，站立腳：59-35=24 （只）兔：24+2=

2、12 （只）；雞：35-12=23 （只）（2）松綁法由于兔子的腳比雞的腳多出了2個(gè)，因此把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，看作是一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，看作是一只腳。那么，兔子就成了 2只腳。則捆綁后雞腳和兔腳的總數(shù)：35X2=70 （只）比題中所說的94只要少：94-70=24 （只）?，F(xiàn)在，我們松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)就會(huì)增加2只，不斷地一個(gè)一個(gè)地松開繩子，總的腳數(shù)則不斷地增加 2, 2, 2, 2，一直繼續(xù)下去，直至增加24,因此兔子數(shù)：24+2=12 （只）從而雞數(shù)： 35-12=23 （只）（3）假設(shè)替換法實(shí)際上替代法的做題步驟跟上述松綁法相似，只不過是換種方式進(jìn)行理解

3、。假設(shè)籠子里全是雞，則應(yīng)有腳70只。而實(shí)際上多出的部分就是兔子替換了雞所形成。每一只兔子替代雞，則增加每只兔腳減去每只雞腳的數(shù)量。兔子數(shù)=（實(shí)際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)*雞兔總數(shù)）/ （每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）與前相似，假設(shè)籠子里全是兔，則應(yīng)有腳 120只。而實(shí)際上不足的部分就是雞替換了兔子所形成。2只。每一只雞替代兔子，則減少每只兔腳減去每只雞腳的數(shù)量，即雞數(shù)=（每只兔腳數(shù)*雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù)）/ （每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）將上述數(shù)值代入方法（1）可知，兔子數(shù)為12只，再求出雞數(shù)為 23只。將上述數(shù)值代入方法（2）可知，雞數(shù)為23只，再求出兔子數(shù)為 12只。由計(jì)算值可知，兩種替代方法得出的答案完全一

4、致，只是順序不同。由替代法的順序不同可知，求雞設(shè)兔，求兔設(shè)雞，可以根據(jù)題目問題進(jìn)行假設(shè)以減少計(jì)算步驟。（4）方程法隨著年級(jí)的增加，學(xué)生開始接觸方程思想，這個(gè)時(shí)候雞兔同籠問題運(yùn)用方程思想則變得十分簡(jiǎn)單。第一種是一元一次方程法。解：設(shè)兔有x只，則雞有（35-x）只4x+2 （35-x） =944x+70-2x=94x=12注：方程結(jié)果不帶單位從而計(jì)算出雞數(shù)為 35-12=23 （只）第二種是二元一次方程法。解：設(shè)雞有x只，兔有y只。則存在著二元一次方程組的關(guān)系式x+y=352x+4y=94解方程式可知兔子數(shù)為 y=12則可計(jì)算雞數(shù)為x=23以述四種方法就是這一典型雞兔同籠問題的四種不同理解和計(jì)算方

5、法，在沒有接觸方程思想之前， 用前三種方式進(jìn)行理解。在接觸方程思想之后，則可以用第四種方法進(jìn)行學(xué)習(xí)。2 .雞兔同籠問題的衍生（非方程思想）例2現(xiàn)有100千克的水裝了共 60個(gè)的礦泉水瓶子中。大礦泉水瓶一瓶裝3千克，小礦泉水瓶1瓶裝1千克，問大、小礦泉水瓶各多少個(gè)？大小瓶共裝的100千克水即為總水量，對(duì)應(yīng)上一例中雞兔總共擁有的74只腳即為總腳數(shù)。大礦泉水瓶1瓶裝3千克水對(duì)應(yīng)每只兔子所擁有的4只腳。小礦泉水瓶1瓶裝1千克水對(duì)應(yīng)每只雞所擁有的2只腳。水量總量100總數(shù)60多量3少量1對(duì)應(yīng)關(guān)系理清之后，按照例1中的方法即可求出，大礦泉水瓶子有20個(gè)，小礦泉水瓶子有40個(gè)（具 體解題過程不詳述）。例3聰

6、明昊參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共做 20道題，得70分，已知做對(duì)一道題得 5分，做錯(cuò)一道題扣1分。問聰明昊做對(duì)了幾道題？這一題依然與上述問題思路一致，只是少量變成了扣一分。在此提示，按照替代法進(jìn)行計(jì)算，先假設(shè)全部做對(duì)，則應(yīng)得分100分。而實(shí)際上卻少得了 100-70=30 （分）這30分的差距就是因?yàn)橐坏厘e(cuò)題替換了一道正確的。每一道題進(jìn)行替換就會(huì)帶來5+1=6 （分）的差值（注意一對(duì)一錯(cuò)，差值是兩者的和）。因此做錯(cuò)了 5道題，做對(duì)了 15道題。在這種情況下，小量不是增加而是減少或扣時(shí)，一般先假設(shè)大量進(jìn)行替換計(jì)算。例4現(xiàn)有100千克的水裝了共 60個(gè)的礦泉水瓶子中。大礦泉水瓶1瓶裝4千克，小礦泉水瓶 2瓶裝

7、1千克，問大、小礦泉水瓶各多少個(gè)？這道題需要認(rèn)真審題，小礦泉水瓶是2瓶裝1千克。當(dāng)瓶子的數(shù)目不全是單位 1時(shí)，思路可以如下。假如能運(yùn)用小數(shù)，則直接將 2瓶裝1千克轉(zhuǎn)化為1瓶裝千克，則變成與例 1中所述方式一樣。假如對(duì)小數(shù)不熟悉，則可以將 2瓶子視為一組。則全部瓶子有30組，大礦泉水瓶一組裝 8千克，小礦泉水瓶一組裝1千克，按照例1中所述方式, 可以求出大小礦泉水瓶各有的組數(shù)，用組數(shù)乘以2則可以求出瓶數(shù)。上述3個(gè)問題仍然是兩個(gè)因素的比較，因而只要將問題中的因素與雞兔同籠問題中的因素一一對(duì)應(yīng)即可計(jì)算出來。例5聰明昊完成工作后領(lǐng)得工資240元，包括2元、5元、10元三種人民幣共50張，其中2元與5元

8、的張數(shù)一樣多。那么 2元、5元、10元各有多少張？這一道問題相比前面的問題復(fù)雜一些，變成三個(gè)因素。但是通過審題我們發(fā)現(xiàn)， 他給出了一個(gè)條件那就是2元與5元的張數(shù)一樣多。10元進(jìn)行比較。因此，由于這兩種人民幣數(shù)量一樣多，可以將其當(dāng)作一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)算，與因此先假設(shè)全部是 10元的人民幣，則應(yīng)有工資： 50*10=500 （元）比實(shí)際多出：500-240=260 （元）這多出的260元就是因?yàn)橛?元與5元替換了 10元。由于拿一張5元替換10元時(shí)，必定要拿一張2元替換10元，因此依然可以將2張人民幣作為一組。每替換一組，工資減少10-5+10-2=13 （元）則由此可知，共替換的人民幣組數(shù)：260/

9、13=20 （組）則總共替換的人民幣張數(shù)：20*2=40 （個(gè)）因而計(jì)算得出10元人民幣的張數(shù)：50-40=10 （張）；2元和5元人民幣的張數(shù)分別為：40/2=20 （張）由此題可知，雖然變成了三個(gè)因素的關(guān)系，但是由于題中給出了其中兩個(gè)因素的相互關(guān)系， 因此可以將有相互關(guān)系的因素進(jìn)行捆綁，從而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)因素的計(jì)算，便與例 1相同。注：如果對(duì)小數(shù)比較熟悉，也可以將2和5元看成一張?jiān)M(jìn)行假設(shè)替換，需要替換40張，2元和5元各20張。小朋友可以自己思考。例6蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀?，F(xiàn)在這三種小蟲共 21只, 有140條腿和23對(duì)翅膀.每種小蟲各幾只？由上述題目可

10、知，總量分別包括了腿和翅膀兩種，其中蜘蛛1只有8腿，而單個(gè)蜻蜓和單個(gè)蟬的腿數(shù)相同，都為6條。因此可以按照題（4）的方式利用腿的關(guān)系求出蜘蛛的個(gè)數(shù)以及蜻蜓與蟬的個(gè)數(shù)和。由于翅膀只有蜻蜓和蟬擁有，再次利用例 1的思路，針對(duì)翅膀這一數(shù)量關(guān)系，可以分別計(jì)算出蜻蜓和蟬的個(gè)數(shù)。本題答案是蜘蛛7只，蜻蜓9只，蟬5只（具體過程此處不詳細(xì)列出）。關(guān)于雞兔同籠的第一大類型題就講到這兒，接下來進(jìn)入第二大類型題。3 .前文中結(jié)出的條件之一都是雞兔同籠中的總頭數(shù)，即“兩數(shù)之和”。如果把條件換成“兩數(shù)之 差”，又應(yīng)該怎樣去解呢？例7雞兔共有94只腳，其中雞數(shù)比兔子數(shù)多 11只，求問雞兔各有多少只？（1）去多法如果抓出11

11、只雞殺掉，則籠子里就剩下相同數(shù)量的雞和兔子。此時(shí)，籠子中雞和兔的腳總量為94- 11X2=72 （只）每一只雞和每一只兔子共有腳4+2=6 （只）這時(shí)候，將一只雞和一只兔子看做一組，一組共有6只腳。則抓出雞后，籠子里剩余的雞與兔的組數(shù)分另1J為72/6=12 （組）那么可知兔子有12只，再通過計(jì)算得出雞的數(shù)量為12+11=23 （只）（2）同增同減法假設(shè)籠子里有兔子1只，則有雞 12只，可以計(jì)算出1只兔子和12只雞共有腳的數(shù)量為：1X4+12X 2=28 （只）比實(shí)際的 94 只少：94-28=66 （只）因此還要增加兔子的數(shù)量。為了保持雞比兔子多11只，每增加1只兔子，就要增加1只雞8,因此

12、需要同時(shí)增加的腿數(shù)為 4+2=6 （只）因此增加66只腳則需要增加的雞和兔子的數(shù)量為66+6=11 （只）根據(jù)前文的假設(shè)條件可計(jì)算出兔子的數(shù)量為：1 + 11=12 （只）；雞的數(shù)量為：12+11=23 （只）例8古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字；七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字。一本詩選集中五言絕句比七言絕句多3首，詩集中共有數(shù)字 300個(gè)。問兩種類型的詩各多少首？這道題與例7完全一致，只不過七言絕句對(duì)應(yīng)兔，五言絕句對(duì)應(yīng)雞，多的13首詩對(duì)應(yīng)多的11只。因此，可以按照上述兩種思路進(jìn)行計(jì)算。如果去掉3首五言絕句，兩種類型的詩的數(shù)量就相等，此時(shí)去掉的字?jǐn)?shù)為（應(yīng)注意一道詩4句）：3X5X4=

13、60 （個(gè)）此時(shí)仍有字?jǐn)?shù)為：300-60=240 （個(gè)）1首五言和1首七言絕句的字?jǐn)?shù)和為：5X4+7X 4=48 （個(gè)）則去掉3首五言絕句后，仍有五言和七言絕句的數(shù)量為：240/48=5 （首）從而得出七言絕句有 5首，而計(jì)算出五言絕句共有： 5+3=8 （首）此外還可以按照例 7的方法2完成這道題，假設(shè)七言絕句有1道，則五言絕句有 4首，如此類推。此處不再說述。例9在例8的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改，假設(shè)在這一詩選集中五言絕句比七言絕句多13首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了 20個(gè)字。問兩種詩各多少首？（1）如果去掉13首五言絕句，兩種類型的詩的首數(shù)就相等。在相同數(shù)量下，七言絕句比五言絕句多出的字?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為（五言絕句

14、原本就差 20,再減少了 13首五 言絕句）：13X5X4+20=280 （個(gè)）每首七言絕句比每首五言絕句多出的字?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為：7X4 -5X4=8 （個(gè)）因此，七言絕句的數(shù)量為：280/8=35 （首）；則五言絕句有： 35+13=48 （首）（2）假設(shè)七言絕句是 1首，那么根據(jù)相差13首，五言絕句是14首。那么五言絕句的字?jǐn)?shù)為：20X 14=280 （個(gè)）；七言絕句的字?jǐn)?shù)為：28X1=28 （個(gè)）假設(shè)情況下，五言絕句的字?jǐn)?shù)反而多：280-28=252 （個(gè)）為實(shí)現(xiàn)題目中“五言絕句比七言絕句少20字”，需要增加詩的數(shù)量，其中每增加一首，七言絕句比五言絕句多增加字?jǐn)?shù)：252+20=272 （個(gè)）為了保持相差13首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句，即增加一首，七言比五言多增加字?jǐn)?shù)數(shù)量為：7X4 -5X4=8 （個(gè)）因此七言絕句和五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加：272+8=34 （首）五言