第1講.特殊的平行四邊形--基礎(chǔ)班

1、第1講特殊的平行四邊形菱形特殊的平行四邊形矩形正方形1菱形一、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.二、菱形的性質(zhì) 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì); 菱形的四條邊都相等; 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角; 菱形是軸對(duì)稱圖形，它有 2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線.三、菱形的面積計(jì)算 利用平行四邊形的面積公式.1 菱形面積=2?a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度） 四、菱形的判定:+ 一組鄰邊相等=菱形）; 菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形 四條邊都相等的四邊形是菱形.幾何語言： AB=BC=CD=DA 二四邊形ABCD是菱形;). 對(duì)角線互相垂直的

2、平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”幾何語言： AC丄BD，四邊形ABCD是平行四邊形二平行四邊形 ABCD是菱形【例題精選】1. （ 2020?濱?？h二模）如圖，在菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn)0.下列結(jié)論中不一定成立的是（C. AC丄 BDD . OA = OC【分析】利用菱形的性質(zhì)鄰邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分進(jìn)而分析即可.【解答】解：四邊形 ABCD是菱形, AB= AD , OA = OC, AC丄 BD ,無法得出AC= BD ,故選項(xiàng)B符合題意，選項(xiàng) A、C、D不符合題意,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3、2. （ 2020?亭湖區(qū)二模）在四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC、BD互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個(gè)條件可以是（A . / ABC = 90°B . AB = CDC. AC丄 BDD . AB / CD【分析】根據(jù)四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD互相平分，可得四邊形 ABCD是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判斷.【解答】解：因?yàn)樗倪呅?ABCD中，對(duì)角線AC、BD互相平分,所以四邊形ABCD是平行四邊形,因?yàn)锳C丄BD,所以平行四邊形ABCD是菱形.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形

4、和平行四邊形的判定.【隨堂練習(xí)】1. （ 2020?寧波模擬）如圖，四邊形 ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是（2.3.A . AB= CDB . AD = BCC. AC = BDD . AB = BC【解答】解：需要添加的條件是 AB = BC;理由如下:四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分,四邊形ABCD是平行四邊形,/ AB= BC,平行四邊形 ABCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）故選：D.（2020春?海安市期中）下列性質(zhì)中，菱形所具備而平行四邊形卻不一定具有的是（）A.對(duì)角線互相平分B .對(duì)角線相等C .鄰角相等D .鄰邊相等【分析】根據(jù)平行四邊形的性

5、質(zhì)：邊：平行四邊形的對(duì)邊相等.對(duì)角相等.對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；菱形的性質(zhì):角：平行四邊形的菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角進(jìn)行解答即可.【解答】解：菱形具備但平行四邊形不一定具有的是鄰邊相等,故選：D.（2020春？錫山區(qū)期中）菱形的對(duì)角線不具備的性質(zhì)是（A. 對(duì)角線互相平分B .對(duì)角線一定相等C .對(duì)角線一定垂直D .對(duì)角線平分一組對(duì)角【解答】解：菱形的性質(zhì)：四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分，是軸對(duì)稱圖形，并且 每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形的對(duì)角線不一定相等;故選：B.4.（2020?唐山一模）如圖四邊形

6、 ABCD是菱形，/ ACD = 30°，則/ BAD =（）A . 30B . 45C. 60D. 120【解答】解：四邊形 ABCD是菱形,/ BAD = / BCD , / BCD = 2/ ACD = 60/ BAD = 60故選：C.2矩形、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.二、矩形的性質(zhì) 平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有; 角：矩形的四個(gè)角都是直角; 邊：鄰邊垂直; 對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等;矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形它有2條對(duì)稱軸，分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形

7、斜邊上的中線等于斜邊的一半.三、矩形的判定: 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形; 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形; 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”【例題精選】1. （ 2019秋？南岸區(qū)期末）矩形不具備的性質(zhì)是（A .是軸對(duì)稱圖形C .對(duì)角線相等B .是中心對(duì)稱圖形D對(duì)角線互相垂直【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【解答】解：矩形不具備的性質(zhì)是對(duì)角線互相垂直,【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等.2. （ 2020?徐州二模）矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（A .對(duì)邊相等C.對(duì)角相等B .對(duì)角線相等

8、D .對(duì)角線互相平分【分析】矩形的對(duì)角線互相平分且相等，而平行四邊形的對(duì)角線互相平分，不一定相等,即可得出結(jié)論.【解答】解：矩形的對(duì)邊平行且相等、四個(gè)角都是直角、對(duì)角線互相平分且相等;平行四邊形的對(duì)邊平行且相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分，但對(duì)角線不一定相等.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)；矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性，熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【隨堂練習(xí)】1. （ 2020?十堰模擬）下列說法中，錯(cuò)誤的是（A .菱形的對(duì)角線互相垂直B .對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C .矩形的四個(gè)內(nèi)角都相等D .四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形【解答】解：A、.菱形的對(duì)

9、角線互相垂直,選項(xiàng)A不符合題意;B、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形,選項(xiàng)B符合題意;C、矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的四個(gè)內(nèi)角都相等,選項(xiàng)C不符合題意;D、四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是四個(gè)角都是直角,四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形,選項(xiàng)D不符合題意;2. （ 2020?普陀區(qū)二模）如圖，矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD交于點(diǎn)0 ,如果OB = 4,/AOB = 60°,那么矩形ABCD的面積等于（B . 16D. 16/3【解答】解：四邊形ABCD是矩形 / BAD = 90 ° , AO= COAC, BO = DO =2 BD, AC = BD = 2OB = 8,2 2

10、 OA= BO,/ AOB= 60 AOB是等邊三角形,AB= OB = 4, AD=也2-朋2=乂*_42 =血,矩形 ABCD 的面積=AB X AD = 4X= 1忒j;故選：D.3. （ 2020春？鹿城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形 ABCD中，AO = 5, CD = 6,則AD =（）6C. 7【解答】解：四邊形 ABCD是矩形，AO = 5,ADC = 90°, AC= 2AO = 10,在Rt ADC中，由勾股定理得：AD =4扎22 =d 1 22 = 8,故選：D.3正方形、正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.二、正方形的性質(zhì)正方形的

11、四條邊都相等，四個(gè)角都是直角;正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角; 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形, 兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形, 有四條對(duì)稱軸.三、正方形的判定方法: 先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等;先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角.還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.【例題精選】1. （ 2020春？沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）下列說法正確的是（A .四邊都相等的四邊形是正方形B 有一組鄰邊相等的平行四邊形是矩形C 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形D 對(duì)

12、角線相等的平行四邊形四邊形是菱形【分析】根據(jù)正方形、矩形、菱形的判定定理判斷即可.【解答】解：A、四邊都相等的四邊形是菱形，故不符合題意;B、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故不符合題意;C、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形；故符合題意;D、對(duì)角線相等的平行四邊形四邊形是矩形，故不符合題意.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形、 菱形、正方形的判定定理. 解題的關(guān)鍵熟練掌握各判定定理.2. （ 2020春？吳中區(qū)期中）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（A. 對(duì)角線互相平分B 對(duì)角線相等C .每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角D.對(duì)角線互相垂直【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的對(duì)角的性質(zhì)，再綜合考慮矩

13、形、菱形、正方形對(duì)角線的共同性質(zhì).【解答】解：因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線互相平分且相等,菱形的對(duì)角線互相平分且垂直且平分每一組對(duì)角,正方形的對(duì)角線具有矩形和菱形所有的性質(zhì),所有矩形、菱形和正方形的對(duì)角線都具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三者對(duì)角線的性質(zhì).【隨堂練習(xí)】1. （2020春？漢壽縣期中）在四邊形 ABCD中，/ A=/ B=/ C= 90°,若要使該四邊形是A . / D = 90°B . AB = CDC. AD = BCD . BC = CD【解答】解：/ A =/ B =/ C = 90°

14、;四邊形ABCD是矩形,當(dāng)BC = CD時(shí)，四邊形 ABCD是正方形,故選：D.2. （ 2020春？徐州期中）下列判斷正確的是（A 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形B 兩組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形C .對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形D .有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形【解答】解：A對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤;B、兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形，故原命題錯(cuò)誤;C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，正確;D、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故原命題錯(cuò)誤;故選：C.3. （ 2020春？下陸區(qū)校級(jí)期中）下列說法中，錯(cuò)誤的是（A 平行四邊形的對(duì)角線互相平分B 菱形的對(duì)角線互相垂

15、直平分C 矩形的對(duì)角線互相垂直D .正方形的對(duì)角線相等【解答】解：A平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故選項(xiàng)A不符合題意;B、菱形的對(duì)角線互相垂直平分，故選項(xiàng)B不符合題意;C、矩形的對(duì)角線相等且互相平分，故選項(xiàng)C符合題意;D、正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，故選項(xiàng)D不符合題意;故選：C.綜合練習(xí)1. （ 2020春？如東縣校級(jí)月考）如圖，菱形ABCD對(duì)角線 AC= 8cm, BD = 6cm,則菱形高DE長(zhǎng)為（）B. 10cmC. 4.8cmD. 9.6cm【解答】解：菱形ABCD 對(duì)角線 AC = 8cm, BD = 6cm, AC丄 BD,OA =貧C =護(hù) 8 = 4cm,OB =6 = 3

16、cm,根據(jù)勾股定理，AB=寸0 A? +0B2 = 5cm,菱形 ABCD 的面積=AC?BD = AB?DE ,即 Jlx 8X 6= 5DE ,2解得 DE = 4.8cm.故選：C.2,若周長(zhǎng)為8，則此菱形2. （2020春？西城區(qū)校級(jí)期中）在菱形 ABCD中，/ A: / B = 1 :中較短的那條對(duì)角線長(zhǎng)為（C. 1A . 2/3【解答】解：如圖:四邊形ABCD是菱形, AB/ CD , AD = AB = BC = CD , AC丄 BD ,菱形ABCD的周長(zhǎng)為8, AB= 2, AD / BC,/ DAB+ / ABC = 180°/ DAB : / ABC = 1:

17、2,/ DAB = 60 ABD是等邊三角形,BD = AB= 2,在 RtA OAB 中，/ OAB =丄/ DAB = 30 OB= 1, OAOB =庾, AC= 2OA = 3, > 2,較短的那條對(duì)角線長(zhǎng)為2,3. （ 2020春?西城區(qū)校級(jí)期中）在四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC, BD互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是菱形，則這個(gè)條件可以是（A . / ABC = 90°B . AB = BCC. AB = CDD . AB / CD【解答】解：在四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC, BD互相平分,四邊形ABCD是平行四邊形,當(dāng)/ ABC= 90時(shí)，平行四邊形

18、 ABCD是矩形.當(dāng)AB = BC時(shí),平行四邊形ABCD是菱形.當(dāng)AB = CD時(shí),平行四邊形ABCD還是平行四邊形.當(dāng) AB / CD 時(shí),平行四邊形ABCD還是平行四邊形.故選：B.4. （ 2020?靜安區(qū)二模）如圖,?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,那么下列條件中,能判斷？ABCD是菱形的為（£）A . AO= COB . AO= BOC.Z AOB = / BOCD . / BAD = / ABC【解答】解：選項(xiàng)A，由平行四邊形的性質(zhì)可知，對(duì)角線互相平分，故A不符合題意;選項(xiàng)B，由？ABCD中AO = BO可推得AC = BD，可以證明?ABCD為矩形，但不能判定?A

19、BCD為菱形，故B不符合題意;選項(xiàng) C,當(dāng)/ AOB = / BOC 時(shí)，由于/ AOB+ / BOC= 180°,故/ AOB = / BOC = 90°,而對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C符合題意;選項(xiàng)D,由平行四邊形的性質(zhì)可知，/BAD + / ABC = 180，故當(dāng)/ BAD = / ABC 時(shí),/ BAD = / ABC = 90°,從而可判定？ABCD為矩形，故 D不符合題意.綜上，只有選項(xiàng) C可以判定？ABCD是菱形.故選：C.5. （ 2020春？云夢(mèng)縣期中）菱形的周長(zhǎng)為52cm，它的一條對(duì)角線長(zhǎng)為 10cm，則此菱形的面積為（）2A . 120cm22B . 130cm2C . 210cm2D. 260cm【解答】解：如圖所示:菱形ABCD的周長(zhǎng)為52cm,AB= 13cm,AC= 5cm, OB = !BD,四邊形ABCD是菱形,AB= BC = CD = DA, AC丄 BD , OA =在Rt AOB中，根據(jù)勾股定理得： OB =寸應(yīng)哄-0八="1護(hù)-5?= 12（cm）,BD = 2OB = 24cm,菱形 ABCD 的面積=10X 24= 120 (