版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶(hù)提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、空間向量與立體幾何【知識(shí)要點(diǎn)】1 空間向量及其運(yùn)算:(1) 空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算: 空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算:平面向量加、減法的三角形法則和平行四邊 形法則拓廣到空間依然成立. 空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算的運(yùn)算律:加法交換律:a+ b= b+ a;加法結(jié)合律:(a+ b+ c) = a+ (b+ c);分配律:(+)a=a+a;(a+ b) =a+b.(2) 空間向量的基本定理: 共線(xiàn)(平行)向量定理:對(duì)空間兩個(gè)向量a, b(b0) , a/ b的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得a / b. 共面向量定理:如果兩個(gè)向量a, b不共線(xiàn),則向量c與向量a, b共面的充要條件是存在惟一一對(duì)實(shí)數(shù), ,使得c
2、= a+ b. 空間向量分解定理:如果三個(gè)向量a, b, c不共面,那么對(duì)空間任一向量p,存在惟一的有序?qū)崝?shù)組1,2,3,使得P= 怡+2b+3C.(3) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算: 空間向量的數(shù)量積的定義:a b= | a | | b | cos a, b; 空間向量的數(shù)量積的性質(zhì):a e= | a | cos v a, e>; a丄 b:= a b= 0;2| a| = a a; | a b| < | a | | b |. 空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:(a) b=(a b);交換律:a b = b a;分配律:(a+ b) c= a c + b c.(4) 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示:
3、空間向量的正交分解:建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz,分別沿x軸,y軸,z軸的正方向引單位向量i , j , k,則這三個(gè)互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底i , j , k,由空間向量分解定理,對(duì)于空間任一向量 a,存在惟一數(shù)組(ai, a2, a3),使a= aii + aj + a3k,那么有序數(shù)組(ai, a2, a3)就叫做空間向量 a的坐標(biāo),即a= (ai, a2, a3). 空間向量線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)表示:設(shè) a= (ai, a2, a3), b = (bi, b2, k),貝Ua+ b= (ai + bi, a2 + b2, & + b3) ; a- b= (ai
4、 bi, a2-b2, a3- b3);a= ( ai, a2, a3); a b= aibi+ a?b2+ a3b3. 空間向量平行和垂直的條件:a / b(b 0) = a= b= ai=bi, a2=b2, a3=b( R);a丄 b= a b= 0:= aibi+ a?b2+ a3b3= 0. 向量的夾角與向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式:設(shè) a= (ai, a2, a3), b = (bi, b2, k),貝U|a = a a 二.a; a; ' af ,| b= b. bi b2 b3;cos : a, b *=a bITb"|aQ +a2b2 +a3ba; a; a; b
5、2 b; b;在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A( ai,a;,as),B(bi,b;,ba),貝UA,B兩點(diǎn)間的距離是; ; ;1 AB= . (ai -bi)(a2' (a3 - b3)2.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用:(1) 直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量: 如圖,I為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn) A且平行于已知非零向量 a的直線(xiàn),對(duì)空間任意一點(diǎn)Q點(diǎn)P在直線(xiàn)I上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使得OP = 0A ta,其中向量a叫做直線(xiàn)的方向向量.由此可知,空間任意直線(xiàn)由空間一點(diǎn)及直線(xiàn)的方向向量惟一確定. 如果直線(xiàn)I丄平面,取直線(xiàn)I的方向向量a,則向量a叫做平面的法向量.由此可知,給定一點(diǎn)A及一個(gè)向量a,那么經(jīng)過(guò)點(diǎn) A
6、以向量a為法向量的平面惟一確定.(2) 用空間向量刻畫(huà)空間中平行與垂直的位置關(guān)系:設(shè)直線(xiàn)I , m的方向向量分別是 a, b,平面 ,的法向量分別是u, v,貝U I / a/ bu a= kb, k R; I丄侮a丄b= a b= 0; I /二 a丄 u:= a u= 0; I 丄二 a/ u:= a= ku, k R; 二 u / v = u= kv, k R; 丄 :=u丄v:=uv = 0.(3) 用空間向量解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角問(wèn)題: 異面直線(xiàn)所成的角:設(shè)a, b是兩條異面直線(xiàn),過(guò)空間任意一點(diǎn) O作直線(xiàn)a'/ a, b'/b,貝U a'與b'所夾
7、的銳角或直角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角.設(shè)異面直線(xiàn)a與b的方向向量分別是 V1, V;, a與b的夾角為,顯然二 (0,、,則2,I Vi V; I|cos: y, v2 I 1I Vi | v ;| 直線(xiàn)和平面所成的角:直線(xiàn)和平面所成的角是指直線(xiàn)與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的 角.設(shè)直線(xiàn)a的方向向量是u,平面的法向量是v,直線(xiàn)a與平面的夾角為,顯然n| u v |:=0,,則 |cos : u, v |二2 |u|v | 二面角及其度量:從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.記作l 在二面角的棱上任取一點(diǎn) 0,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作射線(xiàn)OAL l , OBL l ,則/ AOB叫做二
8、面角 一| 的平面角.利用向量求二面角的平面角有兩種方法:方法一:如圖,若AB CD分別是二面角一I 的兩個(gè)面內(nèi)與棱I垂直的異面直線(xiàn),則二面角 一I 的大小就是向量 AB與CD的夾角的大小.方法二:如圖,m, m分別是二面角的兩個(gè)半平面,的法向量,則m, m與該二面角的大小相等或互補(bǔ).(4) 根據(jù)題目特點(diǎn),同學(xué)們可以靈活選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法,從不同角度解決立 體幾何問(wèn)題.【復(fù)習(xí)要求】1. 了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分 解及其坐標(biāo)表示.2掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示;能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)與垂直
9、.4.理解直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量.5能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直、平行關(guān)系.6能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題. 【例題分析】例1 如圖,在長(zhǎng)方體 OAEOA1E1B中,OA= 3, OB= 4, O8 2,點(diǎn)P在棱AA上,且 AP= 2PA,點(diǎn)S在棱BB上,且BS= 2SB點(diǎn)Q R分別是OB, AE的中點(diǎn),求證:PQ/ RS【分析】 建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)法證明存在實(shí)數(shù)k,使得PQ二kRS.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則O0, 0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),0(0, 0,2),A(3,0,2),B(0,4,2),E(3,4, 0).2 24 A
10、l 2PA, APAAi(0,0,2) =(0,0,),3 334- P(3,0,)32同理可得:Q0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,)3PQ =(-3,2,勻=RS,3PQ/RS,又 R PQ PQ/ RS【評(píng)述】1、證明線(xiàn)線(xiàn)平行的步驟:(1) 證明兩向量共線(xiàn);(2) 證明其中一個(gè)向量所在直線(xiàn)上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線(xiàn)上即可.2、本體還可采用綜合法證明,連接PR QS證明PQR是平行四邊形即可,請(qǐng)完成這個(gè)證明.例2 已知正方體 ABCB Ai B C D中,M N E,F(xiàn)分別是棱 A D,AiBi, D C,BG的中點(diǎn),求證:平面AM/平面EFBD【分析】要證明面面平行, 可以
11、通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)證明,也可以證明這兩個(gè)平面的法向量平行.解法一:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 4,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0, 0),A(4,0,0),M2 , 0, 4) , N(4 , 2, 4) , B(4, 4, 0) , E(0 , 2, 4) ,F(2 , 4, 4).取 MN勺中點(diǎn) K, EF的中點(diǎn)G BD的中點(diǎn) Q 則 Q2, 2, 0) , K(3 ,1 , 4) , G1, 3,4).MN = (2 , 2, 0), EF = (2 , 2, 0), AK = ( 1, 1, 4), QG = ( 1, 1, 4), MN / EF ,AK 二 OG MN/EF, AK/OG
12、MN/ 平面 EFBD AK/ 平面 EFBD平面AM/平面EFBD解法二:設(shè)平面AMN勺法向量是a= (ai, a2, a0,平面EFBD勺法向量是b= (bi, b2, b3)由 a AM =0, a AN =0,得_2a1 十4玄 _0,取 33= 1,得 a=(2 , - 2, 1) 2a2 + 4a3 = 0,由 b DE =0, b BF = 0,2b2 +4b3 =0,得丿取 b3= 1,得 b= (2 , - 2, 1) -2b| +4b3 = 0,/ a / b,平面 AMN 平面 EFBD注:本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)綜合法加以證明,請(qǐng)?jiān)囈辉?AM和CN所例3 在
13、正方體 ABC- A1B1CD中,M, N是棱A1B1, BB的中點(diǎn),求異面直線(xiàn) 成角的余弦值.AM =(0,1,2), CN =(2,0,1),5A(2 , 0, 0),設(shè)AM和CN所成的角為貝y COST =AM CN| AM |CN |2異面直線(xiàn) AM和CN所成角的余弦值是 2 -5解法二:取AB的中點(diǎn)P, CC的中點(diǎn)Q連接BP,BQ PQ PC易證明:BP/ MA BQ/ NC / PBQ是異面直線(xiàn) AM和CN所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2,易知Bf =BQ = .*5,PQ fPC2 QC2 = J6,二 cosPB|Q =B1P2 BQ2 PQ22B,P B,Q2異面直線(xiàn) AM和C
14、N所成角的余弦值是 土P BQC【評(píng)述】 空間兩條直線(xiàn)所成的角是不超過(guò) 分子的數(shù)量積如果是負(fù)數(shù), 則應(yīng)取其絕對(duì)值, 角(銳角).90°的角,因此按向量的夾角公式計(jì)算時(shí), 使之成為正數(shù),這樣才能得到異面直線(xiàn)所成的例4如圖,正三棱柱 ABC- ABC的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為 J2a,求直線(xiàn)AC與平面ABEAi所成角的大小.【分析】利用正三棱柱的性質(zhì),適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).求角時(shí)有兩種思路:一是由定義找出線(xiàn)面角,再用向量方法計(jì)算;二是利用平面ABEA的法向量求 解.解法一:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0 , 0, 0) , B(0 , a, 0) , A (0,0,、
15、. 2a),f-P3a a la 廠(chǎng)亠Ci(, , 2a) 取 AB 的中點(diǎn) D,則 D(0, 2a),連接 AD, CD.2 2 2:/3a則 DC = (-,0,0), AB = (0, a,0), AA1 = (0,0,、2a),2DC 1 AB = 0, DC1 AA = 0,- DC丄平面 ABEA1, Z CAD是直線(xiàn) AC與平面ABEA1所或的角.AC占一子»2a),AD"|"a),AC1 AD5/3.cosGAD| AG | AD |2直線(xiàn)AG與平面ABBA所成角的大小是 30°.<3 a a 、(-*2a)解法二:如圖建立空間直角
16、坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,a,0),Ai(0,0,2a),Gi( 3a,a. 2a),從而 AB =(0,a,0), AA = (0,0,2 a), ACi 2 2設(shè)平面ABBA的法向量是a= (p, q, r),由 a AB =0,a AA =0,小 aq =0,小得l取 p= 1,得 a= (1 , 0, 0).J2ar =0,n設(shè)直線(xiàn)AC與平面ABBA所成的角為日月0,2sin j 彳 cos AC1, a | = - 30 .I ACi|a |2【評(píng)述】充分利用幾何體的特征建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,再利用向量的知識(shí)求解線(xiàn)面角;解法二給出了一般的方法,即先求平面的法向量與斜線(xiàn)的夾角,再
17、利用兩角互余轉(zhuǎn)換.例 5 如圖,三棱錐 P ABC中, PA!底面 ABC ACLBC PA= AC= 1, BC = . 2,求二面角A PB- C的平面角的余弦值.解法一:取PB的中點(diǎn)D,連接CD作AE!PB于E./ PA= AC= 1, PAL AC, PC= BC=2 , CDL PB/ EAL PB向量EA和DC夾角的大小就是二面角 A PB- C的大小.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,0,0),B(0, . 2,0),P(1,0,1),由D是PB的中點(diǎn),得D(;22J由PEEB_ AP2=AB211 ,得E是PD的中點(diǎn),從而3e(33)4 44弓 DCt,24
18、2 EA DC 3.cos : EA, DC 滬| EA | DC |3解法二:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則即二面角A- PB- C的平面角的余弦值是A(0 , 0,0),B( . 2,1,0),C(0,1, 0),P(0,0,1),AP =(0,0,1), AB = ( . 2,1,0), CB = C、2,0,0), CP 二(0,-1,1).設(shè)平面PAB的法向量是 a= (a1, a2, a3),平面PBC的法向量是b= (b1, b2, b3).由 a AP = 0, a AB 二 0,a2取 a = 1,=0,得 a 二(1,- .2,0).由 b CB=O, b CP=O得廣'
19、;2b) =0,取 b3= 1,得 b= (0 , 1, 1).廠(chǎng)匕2性=0,cos a, b =I a | b |面角A- PB- C為銳二面角,二面角A PB- C的平面角的余弦值是|_T |二T3 3【評(píng)述】1求二面角的大小,可以在兩個(gè)半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩個(gè)向量,轉(zhuǎn)化為 這兩個(gè)向量的夾角;應(yīng)注意兩個(gè)向量的始點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上.2、當(dāng)用法向量的方法求二面角時(shí),有時(shí)不易判斷兩個(gè)平面法向量的夾角是二面角的平 面角還是其補(bǔ)角,但我們可以借助觀(guān)察圖形而得到結(jié)論,這是因?yàn)槎娼鞘卿J二面角還是鈍二面角一般是明顯的.例 6 如圖,三棱錐 P ABC中, PAL底面 ABC PA= AB / ABC=
20、 60°,/ BCA= 90°, 點(diǎn) D, E 分別在棱 PB PC上,且 DE/ BC(I )求證:BC丄平面PAC(n )當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí),求 AD與平面PAC所成角的余弦值;(川)試問(wèn)在棱PC上是否存在點(diǎn) E,使得二面角 A- DE- P為直二面角?若存在,求出PE: EC的值;若不存在,說(shuō)明理由.解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA= a,由已知可得 A(0 , 0, 0),B1a23a,0),C(0232 2 2a,0), P(0,0,a). - 1(I 廠(chǎng).AP =(0,0,a), BC =(a,0,0),2 Ap bc=0, BCL AP 又/ BC= 90&
21、#176;,. BCL AC BC丄平面PAC(n ) V D為PB的中點(diǎn),DE/ BC E為PC的中點(diǎn).1V31<31、- D( a,匸 a-a), E(0,q aa)4 4242由(I )知,BC丄平面PAC DEL平面PAC/ DAE是直線(xiàn)AD與平面PAC所成的角.一 1. 31 一31、AD = ( a, a, a),AE =(0, a, a),44242/AD AEvJ14cos 匕 DAE =|AD|AE| 4即直線(xiàn)AD與平面PAC所成角的余弦值是 -4-4(川)由(n )知,DEL平面 PAC 二 DEI AE DEL PE, / AEP是二面角 A- DE- P的平面角.
22、/ PAL底面 ABC - PAL AC / PAC= 90°.在棱PC上存在一點(diǎn) E,使得 AE! PC2PEPA24這時(shí),/ AEP= 90°,且=-PA=-ECAC23故存在點(diǎn)E使得二面角 A- DE- P是直二面角,此時(shí) PE: EC= 4 : 3. 注:本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)綜合法加以證明,請(qǐng)?jiān)囈辉?練習(xí)1-3、選擇題:1.在正方體 ABCDAi B CD中,E是BB的中點(diǎn),則二面角 E AD- D的平面角的正切值是()2.3.4.(A) .2(B)2(D) 2、2正方體ABC A1B1CD中,直線(xiàn)AD與平面AACG所成角的大小是() (A)30 &
23、#176;(B)45 °(C)60 °(D)90已知三棱柱 ABC- ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等, 心,則AB與底面ABC所成角的正弦值等于()A在底面ABC內(nèi)的射影ABC的中(C)<3如圖,AB與 a> b,Cl= l , A, B所成的角分別是 和:,AB在 則下列結(jié)論正確的是,A,B到I的距離分別是a和b,內(nèi)的射影分別是m和n,若> :,m> nv , mx n(A)(C)二、填空題:5.在正方體ABCABCD中,EF與GH所成角的大小是(E, F, G H分別為AA,ABmx nBB, BiC的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)6 已知正四棱柱的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為
24、.6 ,且對(duì)角線(xiàn)與底面所成角的余弦值為-,則該正四3棱柱的體積等于7.如圖,正四棱柱 ABCD- ABGD中,AA= 2AB則異面直線(xiàn) AB與AD所成角的余弦值為&四棱錐P ABCD勺底面是直角梯形,/BAD= 90 ° , AD/ BC AB = BC = 1 AD , PAL2底面ABCD PD與底面ABCD所成的角是30°.設(shè)AE與CD所成的角為,則cos三、解答題:9.如圖,正四棱柱 ABC ABCD中,AA= 2AB= 4,點(diǎn)E在CC上,且 CE= 3ECAB(I )證明:AQ丄平面BED(n )求二面角 A DE- B平面角的余弦值._n10.如圖,在四
25、棱錐 O-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,/ABC二,OAL底面4ABCD OA= 2, M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).O(I )證明:直線(xiàn)MN/平面OCD(n )求異面直線(xiàn)AB與MD所成角的大小.,CA= CB / BAP= 4511.如圖,已知直二面角一PQ-, A PQ B, C直線(xiàn)CA和平面所成的角為30°Q(I )證明:BC± PQ(n )求二面角B- AC- P平面角的余弦值.習(xí)題1、選擇題:1.關(guān)于空間兩條直線(xiàn) a、b和平面,下卜列命題止確的是 ()(A)若 a / b, b 二,則a/(B)若 a/,b-,貝U a / b(C)若 a/, b/,
26、貝U a / b(D)若a丄,b丄,貝U a/b2.正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2 3,底面邊長(zhǎng)為2,則該棱錐的體積為()(A)8(B) 83(C)6(D)23已知正三棱柱 ABC- ABC的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等,則直線(xiàn)AB與側(cè)面ACCA所成角的正弦值等于()(D)乎cm),可得這個(gè)幾何<6<10<24.(A) (B) 4-(C) T已知某個(gè)幾何體的三視圖如下,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:體的體積是()5.A 40003(A) cm33(C)2000cm若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形,的菱形,則該棱柱的體積等于()(B) 80003(B) cm33(D)4000cm另外兩個(gè)側(cè)面都是
27、有一個(gè)內(nèi)角為60°(A) 、 2(B) 2.2(C) 3 2(D) 4 2、填空題:6已知正方體的內(nèi)切球的體積是4j3n,則這個(gè)正方體的體積是 7.若正四棱柱 ABCB AiBiCiD的底面邊長(zhǎng)為1, AB與底面ABC成60°角,則直線(xiàn)AB和BC 所成角的余弦值是 .&若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長(zhǎng)均為J3,則其外接球的表面積是 .9 連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為球的弦半徑為4的球的兩條弦 AB CD的長(zhǎng)度分別等于2j7、4j3,每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng),則兩弦中點(diǎn)之間距離的最大值為.10已知AABC1等腰直角三角形, AB= AC= a, AD是斜邊BC上的高
28、,以AD為折痕使/ BDC 成直角在折起后形成的三棱錐A- BCD中,有如下三個(gè)結(jié)論: 直線(xiàn)ADL平面BCD 側(cè)面ABC是等邊三角形;三棱錐A- BCD勺體積是 a3.24其中正確結(jié)論的序號(hào)是(寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào))三、解答題:11.如圖,正三棱柱 ABC- ABC中,D是BC的中點(diǎn),AB= AA.(I )求證:AD丄BD;(n )求證:AQ/平面ABD(川)求二面角B- AB D平面角的余弦值.12.如圖,三棱錐 P ABC中, PAI AB PA! AC ABL AC P心 AC= 2, AB= 1 , M 為 PC 的中占八、(I )求證:平面 PCBL平面MAB(n )求三棱錐P-
29、ABC的表面積.13.如圖,在直三棱柱 ABC-ABC 中,/ ABC= 90°, AB= BC= AA = 2, M N分別是 AC、BC的中點(diǎn).(I )求證:BC丄平面ABC;(n )求證:MIN/平面 AABB;(川)求三棱錐M- BCBi的體積.14在四棱錐 S- ABCD,底面 ABC為矩形,SDL底面 ABCD AD=12 , DC= SD= 2點(diǎn) M在側(cè)棱 SC上,/ ABM= 60°.(I )證明:M是側(cè)棱SC的中點(diǎn);(n )求二面角S- AM- B的平面角的余弦值.練習(xí)1-3、選擇題:1. B 2. A 3. B 4、填空題:5. 60°6. 2
30、7三、解答題:9以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線(xiàn)DA為x軸的正半軸,建立如圖所示直角坐標(biāo)系D- xyz .DE =(0,2,1),DB =(2,2,0),AC =(-2,2,-4),DA =(2,0,4).(I ) T AC DB =0, AC DE =0, / AQ丄 BD AQ丄 DE又 DBA DE= D,. AQ丄平面 DBE(n )設(shè)向量n= (x, y, z)是平面DAE的法向量,貝U n _ DE,n _ DA,."2y + z = 0, 2x 4z 二 0.令 y= i,得 n= (4 , 1, - 2) cos(n, A,C)n ACI n |A,C|普J(rèn)二面角Ai- DE-
31、B平面角的余弦值為1410作API CD于點(diǎn)P.如圖,分別以AB AP, AO所在直線(xiàn)為x, y , z軸建立坐標(biāo)系.4 ' 42叮 2:?'2' 2(1) MN =(1-牙,壬,一1),0卩=(0,2,2),od22)4242 丘則 A(0, 0 , 0) , B(1 , 0 , 0) , P(0, 2 ,0), D( 2 , 2 ,0,2) , M(0 , 0 ,-/ 221), n(1-¥,¥,0)設(shè)平面OC的法向量為n= (x , y , z),則n OP = 0, n OD二0,2oc取 z =2,二 0.得 n= (0,4, , 2).-
32、2z=0,、2 .2 ox 2 y _2z/ MN n = 0, MN/平面 OCD(n )設(shè)AB與MD所成的角為AB =(1,0,0), MD =(2,2,、.| AB MD |丁,丁,-1),. COST22| AB |MD |n即直線(xiàn)AB與MD所成角的大小為 一311. ( I )證明:在平面 內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作COL PQ于點(diǎn)O,連結(jié)OB丄, n = PQ COL.又 CA= CB - OA= OB/ BAO= 45°,./ ABO= 45°,/ AOB= 90°,二 BCL PQ 又 COLPQ PQL平面 OBC: PQL BC(n )由(I )知,OCL O
33、A OCL OB OAL OB故以O(shè)為原點(diǎn),分別以直線(xiàn) OB OA OC x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).r肇=。,得n AC =0,易知n2= (1 , 0 , 0)是平面的一個(gè)法向量.COL, / CAO! CA和平面所成的角,則/ CA©= 30°不妨設(shè) AC= 2,則 AO = 3 , CO= 1.在 Rt OAB中/ AB=Z BAO= 45 ° , BO = AO =、; 3. 0(0,0,0),B( . 3,0,0), A(0, . 3,0),C(0,0,1).AB =(3,-、.3,0), AC = (0,- .3,1).設(shè)n1 = (
34、x, y, z)是平面ABC的一個(gè)法向量,取 x= 1,得 n (1,1,、3).J3x - J3y = 0,I廠(chǎng) J3y + z = 0,設(shè)二面角B AC- P的平面角為COSTn-i n 251.、6.三、11.即二面角B- AC P平面角的余弦值是-5習(xí)題1選擇題:D 2. B 3. A 4. B 5. B填空題:324 37.8. 99. 510.、4解答題:(I )證明:T AB( ABC是正三棱柱, BB丄平面ABC平面BBCC丄平面 ABC正 ABC中, ADL BD.D是BC的中點(diǎn), ADL BC - ADL平面BBCC,(n)解:連接AB,/ AB= AA, E是AB的中點(diǎn), DEU 平面 ABD,四邊形AABB是正方形,又D是BC的中點(diǎn), DE/ AQ. AC広平面ABD AQ/平面ABD.(川)解:建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB= AA= 1,小V31小八則 D(0,0,0),代0,無(wú),0), B1(-2,0,1)設(shè)n1 = (p, q, r)是平面ABD的
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶(hù)所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶(hù)上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶(hù)上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶(hù)因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年煤礦作業(yè)員工工作協(xié)議版B版
- 2024土建工程居間合作合同規(guī)范文本3篇
- 電子制造工藝流程優(yōu)化考核試卷
- 2024展覽場(chǎng)地租賃協(xié)議包含展品展示及現(xiàn)場(chǎng)布置服務(wù)3篇
- 玻璃儀器在光學(xué)儀器維護(hù)與修理中的應(yīng)用考核試卷
- 環(huán)保技術(shù)模擬實(shí)驗(yàn)與操作技能考核試卷
- 潮流計(jì)算課程設(shè)計(jì)論文
- 2024年職業(yè)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)教師教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控聘用合同2篇
- 電阻器尺寸與功率關(guān)系研究考核試卷
- 2024年網(wǎng)絡(luò)科技公司技術(shù)服務(wù)合同
- 2024HW藍(lán)紅攻防網(wǎng)絡(luò)安全防御體系
- 4-4環(huán)網(wǎng)柜倒閘操作票填寫(xiě)與執(zhí)行
- 農(nóng)村污水處理設(shè)施運(yùn)維方案服務(wù)承諾及質(zhì)量保證
- 2024年中國(guó)人民保險(xiǎn)人保投資控股有限公司招聘筆試參考題庫(kù)含答案解析
- (高清版)DZT 0211-2020 礦產(chǎn)地質(zhì)勘查規(guī)范 重晶石、毒重石、螢石、硼
- 人身侵權(quán)案例課件
- 初中生無(wú)神論專(zhuān)題教育課件
- 湖北省武漢市部分名校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)摸底聯(lián)考物理試題(解析版)
- 摩托車(chē)的穩(wěn)定性與操縱性評(píng)估
- (完整word版)經(jīng)皮胃穿腹腔引流術(shù)知情同意書(shū)
- 徐州市2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末地理試卷(含答案解析)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論