《誤差理論與大數(shù)據(jù)處理》費業(yè)泰-課后問題詳解全

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理練習題第一章緒論1-7用二等標準活塞壓力計測量某壓力得100.2Pa，該壓力用更準確的辦法測得為100.5Pa ,問二等標準活塞壓力計測量值的誤差為多少？【解】在實際檢定中，常把高一等級精度的儀器所測得的量值當作實際值。故二等標準活 塞壓力計測量值的絕對誤差=測得值一實際值=100.2 100.5 =- 0.3 ( Pa)。相對誤差=03 100%0.3%100.52 21-9使用凱特擺時，g由公式g=4 n ( h1+h2) /T給定。今測出長度(h1+h2)為(1.04230 ±0.00005 ) m振動時間丁為(2.0480 ± 0.0005 ) s

2、。試求g及其最大相對誤差。如果(h+)2測出為(1.04220 ± 0.0005 ) m為了使g的誤差能小于0.001m/s , T的測量必須精確到多少？【解】測得(h1+h2)的平均值為1.04230 (m), T的平均值為2.0480 (s)。4 2由g亍(h h2), 得:g 怎 1.04230 9.81053m/s2)當(h)有微小變化t有T變化時，令g的變化量為:4 2T7尋5(h1h2)Th2)罕h2)gh2廠(hhTg的最大相對誤差為:4 A h 2 TTh4 20.000051.04230T2(h h2)2 ( 0.0005) 2.04804 2 h 2 TTh 41

3、00%如果(h g)測出為(1.04220 ± 0.00050.001也即g ；2 (h h2)4 222.04800.0005求得:1-10.示值誤差【解】T2h0.054%)m,為使 gh2)0.0010.0005 口 1.04222.0480T1.01778 T 0.00106的誤差能小于0.001m/s 2，即:0.001T 0.00055( s)(即引用誤差為 2.5%)的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn) 50V刻度點的檢定2.5級2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？引用誤差=示值誤差/測量圍上限。所以該電壓表的引用誤差為:rm叢2 2%Um 100由于：2%<2.5%

4、所以該電壓表合格。1- 13多級彈導火箭的射程為 10000km時，其射擊偏離預定點不超過0.1km，優(yōu)秀射手能在距離50m遠處準確地射中直徑為 2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高？解：多級火箭的相對誤差為：010.00001 0.001%10000射手的相對誤差為：1cm 0.01m 0.0002 0.002%50m50m多級火箭的射擊精度高。附加1 - 1測得某三角塊的三個角度之和為180°00' 02” ,試求測量的絕對誤差和相對誤差解：絕對誤差等于：180o00 02 180o 2相對誤差等于：2 2 2o=0.00000308641 0.000031%180o 1

5、80 60 60648000第二章誤差的基本性質(zhì)與處理，兩者物理意義和實際用途有何x2-2.試述單次測量的標準差和算術平均值的標準差 不同?【解】單次測量的標準差表征同一被測量n次測量的測量值分散性的參數(shù)，可作為測量列中單次測量不可靠性的評定標準。算術平均值的標準差是表征同一被測量各個獨立列算術平均值分散性的參數(shù)，可x作為算術平均值不可靠性的評定標準在n次測量的等精度測量列中，算術平均值的標準差為單次測量標準差的1二，當測i n量次數(shù)n愈大時，算術平均值愈接近被測量的真值，測量精度也愈高。2-3.試分別求出服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在, 邁 中的概率?！窘狻浚?）誤差服從正態(tài)分布

6、時_ 1P(2)亍(222)d2e (2 2)d引入新變量t: tt ,經(jīng)變換上式成為:P（ V）廠 0t2?dt(t)2 0.41950.8484%（2 ）誤差服從反正弦分布時因反正弦分布的標準差為:J? ，所以區(qū)間, 42a, a ,故:L1 a1P( 72 )-(3)誤差服從均勻分布時因其標準差為:，所以區(qū)間2322a2 2* 08282%2-4.測量某物體重量共8次，236.39，236.48，236.47，236.40，求其算術平均值及其標準差。測得數(shù)據(jù)(單位為為 236.45，236.37，236.51，236.34，【解】選參考值Xq 236.00計算差值x X 236.00%和

7、殘差比等列于表中。或依算術平均值計算公式,n=8，直接求得:- Xi8 i 1236.43(g)計算標準差：用貝塞爾公式計算:0.02518 10.06(g)序 號XiA A- iV?1236.450. 45+0. 020. 0004236.370. 37-0 060, 00363236.510. 51+0. 08D. 00644236,340* 34-0 09山 00815236.390. 39-0. 040. 00166236.4S0. 48+0. 050. 0025*7236. 470. 47+0. 040,0016823& 400. 40-0. 030, 0009工=心 + A

8、.ro = 236.43-i »心-T© =.g - 0-438 J-L乙=-0 03Jl8r； -0,02510.022-6 測量某電路電流共 5次，測得數(shù)據(jù)(單位為mA)為168.41 , 168.54 , 168.59 , 168.40 ,168.50。試求算術平均值及其標準差、或然誤差和平均誤差。解：Iii 15168.49(mA0.085(Ii0.0850.04i 15I 0.080.05 R 0.67450.02x(Ii-0.0850.06 T 0.79790.03x2 7在立式測長儀上測量某校對量具,重復測量5次，測得數(shù)據(jù)（單位為mm為20.0015,20.0

9、016 , 20.0018 , 20.0015 , 20.0011。若測量值服從正態(tài)分布，試以99%的置信概率確定測量結(jié)果。解：求算術平均值nlix i 120.0015mmn用貝塞爾公式計算:42.55 10 mmnVi用別捷爾斯公式計算:1.253 厶 1 Jn(n 1)1.2530.0008V5 42.24 10 4mm求測量列單次測量的標準差求算術平均值的標準差2.55 1054- = 1.14 10 4 mm2.24 10 4=0.00014L x|imx20.0015 5.24 10 mm做法2 :現(xiàn)自由度為：v= n 1 = 4;a= 1 0.99 = 0.01 ,查t分布表有：

10、t=4.60單次測量的極限誤差：limxt4.602.55 104 1.173 103 1.17 103mm算術平均值的極限誤差：lim xt x4.60 1.14 104 5.24 104mm求單次測量的極限誤差和算術平均值的極限誤差做法1 :因n = 5較小，算術平均值的極限誤差應按t分布處理。寫出最后測量結(jié)果因假設測量值服從正態(tài)分布，并且置信概率P=2(t)=99%，則(t)=0.495 ，查正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t 2.6單次測量的極限誤差：limxt2.60 2.55 1046.63 1040.00066算術平均值的極限誤差：limxt x2.60 1.14 1042.964 1

11、040.0003寫出最后測量結(jié)果L x limx 20.0015 0.0003 mm2- 10用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差=0.001mm,若要求測量的允許極限誤差為土 0.0015mm,而置信概率 P為0.95時，應測量多少次？解：根據(jù)極限誤差的意義，有t x t0.0015、；'n根據(jù)題目給定得已知條件，有皿1.5n0.001查教材附錄表3有若 n = 5, v= 4,a= 0.05，有 t = 2.78 ,t 2.78.n 52.782.2361.24若 n = 4, v= 3 ,a= 0.05，有 t = 3.18 ,即要達題意要求，必須至少測量t3.183.18

12、1.59'一 n425次。2-11已知某儀器測量的標準差為0.5卩若在該儀器上，對某一軸徑測量一次，測得值為26.2025mm,試寫出測量結(jié)果。若重復測量10次，測得值(單位為 mr)為26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025， 26.2026，26.2022，試寫出測量結(jié)果。若手頭無該儀器測量的標準差值的資料，試由 中10次重復測量的測量值，寫出上述、的測量結(jié)果。解： 單次測量的極限誤差以3b計算：limx 33 0.51.5( m) 0.0015mm所以測量結(jié)果可表示為：26.2025 ±

13、; 0.0015 (mm)10重復測量10次，計算其算術平均值為：xXi 26.2025(mm)i 10.0005-4取與相同的置信度，算術平均值的標準差一 =1.58 10 mmJ0_-4-4-4limX3 x 3 1.58 104.74 105 10 mm則測量結(jié)果為：X 3 x 26.2025 0.0005(mm) 若無該儀器測量的標準差資料，則依10次重復測量數(shù)據(jù)計算標準差和表示測量結(jié)果。選參考值xq 26.202計算差值 X x 26.202 x0和殘差vi等列于表中。序號XiA .Yi3<7126.20250. 000500226.20280. 0008+0.00039X10

14、326.20280. 0008K). 00039X10-*420 20250. 000500526.20260. 0006旳 00011X 10'8626.20220* 0002-0.0003gxKT720.20250. 0003-0. 00024X10-5826.20250. 000500926.20260. 0006+O. 00011X1O-*1026.20220.0002-o. 00039X10x = Xq 4- A,ro = 26.20251 mA.vo - V = 0.0005 10臺SVr=0v/ = 42xl0-s用貝塞爾公式計算:nv2i 1n 142 10 82.2

15、10 4mm10 1算術平均值的標準差:2.2 10 410=0.00007 mm取與相同的置信度,則測量結(jié)果為:此時的測量結(jié)果為26.2025 3 0.00022 26.2025 的測量結(jié)果為0.0006626.2025 0.0007(mm)；26.2025 3 0.00007 26.20250.0002126.2025 0.0002 (mm).2-13測量某角度共兩次，測得值為a1=24° 13' 36”，a 2=24° 13' 24”，其標準差分別為63.1”， 2=13.8 ”，試求加權算術平均值及其標準差?！窘狻恳阎鹘M測量的標準差，可確定各組的權

16、。1111112 : 2 2 - 219044:961123.113.89.61190.44P1 : P2取:19044P2 961選取2413'36''，可由公式直接計算加權算術平均值和標準差:Pi ii 1o mPii 124 13'354'24 13'36''19044 0 961 (12'')19044 961加權算術平均值的標準差的計算，先求兩測量結(jié)果的殘余誤差:v1 0.6''v211.4''m2PiVxii 1m(m 1)Pii 1算術平均值的標準差為:6.6'

17、'19044 0.62 961 ( 11.4)2 V (2 1)(19044 961)2-15.試證明n個相等精度測得值的平均值的權為n乘以任一個測量值的權。【證明】因為等精度測量，可設n個測得值的標準差均為，且其算術平均值的標準差為:又設各測量值的權相等，即: 口 P2PP0。n個相等精度測得值的平均值的權為PX，則：n個相等精度測得值的平均值的權Px與各測得值的權P（i 1,2.n）1 1 n 1的比為 Px : Pi2 : 2:n :1xiPx np2-17對某量進行10次測量，測得數(shù)據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5， 14.6，14.9，14.8，15.1，

18、15.0，試判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：先計算算術平均值： x 14.96。各測量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為：v10.26v20.04v30.24v40.16v50.54v60.36v70.06v80.16v90.14v100.04 根據(jù)殘余誤差觀察法：計算出的殘余誤差符號正負個數(shù)相同，且無顯著變化規(guī)律，因此可判斷該測量列無變化的系統(tǒng)誤差存在。 采用不同公式計算標準差比較法。按貝塞爾公式:n2Vii 11°6240.26310 1用別捷爾斯法計算:nVi1.253i -Jn(n 1)1 2532-0.26410 9令：丄竺410.2631.004因為：20.6670.004,故無根

19、據(jù)懷疑測量列存在系統(tǒng)誤差。 （馬利科夫準則）按殘余誤差校核法：前 5個殘余誤差和與后 5個殘余誤差的差值 為5Vii 110Vj0.4 ( 0.4) 0.8j 6兩部分之差顯著不為 0，則有理由認為測量列中含有系統(tǒng)誤差。n 1uViVi 1i 1阿卑-赫梅特準則0.260.040.040.240.240.160.160.540.540.360.360.060.060.160.160.140.14 0.00.30560.3、孑7 2,9 0.263 0.21u n 1 2 0.21所以測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差（為什么會得出互為矛盾的結(jié)論？問題出在本題給出的數(shù)據(jù)存在粗大誤差-這就提醒我們在判斷是

20、否有系統(tǒng)誤差前，應先剔除粗大誤差，然后再進行系統(tǒng)誤差判斷。）2-18、對某一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后4次是和另一個標準線圈比較得到的，測得結(jié)果如下（單位為mH：50.82，50.83，50.87，50.89 ；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81試判斷前4次和后6次測量中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻?將兩組數(shù)據(jù)混合排列，用秩和檢驗法有:n1 4,n2 6,T 5.5 7 9 10 31.5:T 14,T30,T T所以有根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差2-19等精度測得某一電壓10次，測得結(jié)果（單位為 V）為25.94，25.97，25.98，

21、26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。測量完畢后，發(fā)現(xiàn)測量裝置有接 觸松動現(xiàn)象，為判明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新做了10次等精度測量，測得結(jié)果（單位為V）為 25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90 ,25.93 , 26.04 , 25.94 , 26.02。試用t檢驗法（取a =0.05 ）判斷兩組測量值之間是否有 系統(tǒng)誤差。1Xx 26.001y10s：1(xi X)20.0015510【解】計算兩組測量結(jié)果的算術平均值:1y 25.9711021_ 2s：(yi y)2 0.002151

22、0(26.00125.971)10 10(10 10 2)(10 10)(10 0.00155 10 0.00215)1.48由 V =10+10-2=18 及取 a =0.05，查 t 分布表，得 t 2.1因t 1.48 t2.1，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。2-20.對某量進行了 12次測量，測得數(shù)據(jù)為 20.06 , 20.07 , 20.06 , 20.08 , 20.10 , 20.12 ,20.11 , 20.14 , 20.18 , 20.18 , 20.21 , 20.19，試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統(tǒng)誤12【解】先計算算術平均值：x Xi 20.125

23、。各測量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為:i 1V 0.065 v 0.055 V30.015 V8 0.015 v9 0.055V0 0.055% 0.085址 0.0650.065 V40.045 V50.025 V60.005 根據(jù)殘余誤差觀察法： 計算出的殘余誤差有規(guī)律地遞增，在測量開始與結(jié)束時誤差符號相反，故可判斷該測量列存在線性系統(tǒng)誤差。 （馬利科夫準則）按殘余誤差校核法：前 6個殘余誤差和與后 6個殘余誤差的差值為612ViVi 0.26 0.260.52i=1i=7兩部分之差顯著不為 0，則有理由認為測量列中含有線性系統(tǒng)誤差。 采用不同公式計算標準差比較法。按貝塞爾公式:0.032112

24、10.054用別捷爾斯法計算:1.253丄Jn(n 1)0 551.2530.06J12 110.060.0541 0.110.60312 10.11，故無根據(jù)懷疑測量列存在系統(tǒng)誤差。 阿卑-赫梅特準則因為:1ViVi 110.02211 0.054 0.01u 、n 1 2，所以測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差（又出現(xiàn)互為矛盾的結(jié)論，如何解釋呢？）2-21對某量進行兩組測量，測得數(shù)據(jù)如下:x0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57y0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.59

25、1.601.601.841.95試用秩和檢驗法判斷兩組測量值之間是否有系統(tǒng)誤差。 解：按照秩和檢驗法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表:T123456789101112131415xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30yi0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930xi1.341.391.411.57yi1.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174因n, n2

26、 15 10,秩和t近似服從正態(tài)分布，N（n 1（" 2 1 Jn，n2（nn2 1）n1 (n1 n21)由 a (12)232.5 ；2(n1n2(n1 n2(：121)24.11 求出：T a小ct2.43選取概率2 （t）0.95，即（t）0.475，查教材附表1有t1.96。由于11，因此，可以認為兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。選取置信概率99%（顯著度0.01），即取(t)0.495，由附錄表1查得:t2.60由于t 2.43 t 2.60，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。2- 22 對某量進行 15 次測量，測得數(shù)據(jù)為28.53，28.52，28.50，29.52，28.53

27、，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若這些測得值已消 除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準則、格羅布斯準則和狄克松準則分別判別該測量列中是否含有 粗大誤差的測量值?！窘狻繉⒂嘘P計算數(shù)據(jù)：平均值、殘差Vi等列于表中:庁號Xt片j片V；叩F."f123. 53-0. 040.030" 000928. 52-0. 050+ 00250.020. 0004328, 50070,004900429. 520,950.9025528. 53-0. 040.00160.030. 0009S28. 53-0. 040

28、.00160.030” 0009728. 50-0.070. 004900828. 49-0. 080.0064010. 0001929. 40-0. 080.0064-010” 00011028.51HX 060.00360.016 00011128, 53-0 040.00160.030. 00091228. 52-0.050. 00250.020. 00041328. 49-0. 080.0064010. 00011428. 40-0. 170+ 0289-0. 16 011528. 50TX 070.009007=： 28.5715Y 片= 0.01J-9VvJr = 0.9S03&#

29、163;片-0.04»：=D*O14BM直接求得15個數(shù)據(jù)的算術平均值及其標準差:1 1515 i i Xi28.57用萊以特準則判別粗大誤差因 v 0.95 30.795,故第4個測量數(shù)據(jù)含測量誤差，應當剔除。再對剩余的14個測得值重新計算，得:1 1414 i 128.500.014814 10.03373 '3 0.03370.1011由表知第14個測得值的殘余誤差:V'(14)0.1730.1011，故也含粗大誤差，應剔除。再重復驗算，剩下的 13個測得值已不包含粗大誤差。 用格羅布斯準則判別已經(jīng)計算出15個測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征量：x 28.57,0.265。將

30、測得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有：x 28.40,X x28.57 28.4 0.17x(15)29.52, x(15)x 29.52 28.57 0.95悴先判別打國是杏含有粗人誤差：ga,. = 29,52-28.57 =酮 <70,265查表 2-13 得：g/15. 0.05) = 2.41則；g(IJ) = 3.585 >g(15. 0.05) 241故第4個測得數(shù)據(jù)包含和大誤差，應當剔除.再對剩下的1斗個測得值計算.劌斷是否含有粗大課差。已知：7 = 28.50. cr =0.05428.50 28.400.03-1OU4.0.05 - 2.3 7Sfiy = 2-夕

31、目 a 宮©£14-O.O5> = 2.27故第14個測掃教抓也©含*H人逞建.丿匹出剔除q 再心豆椅騎*上L七各測I符怕不再也含料I人愎找“ 用狄克松淮則判別將測得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列.有：X= 28=40 (2)- = p(3)= 28,49', 耳U)二 X。曲=2853, (15) = 29-52判斷最小值工與最大值珀習是否包含粗人誤差。因n=1以統(tǒng)計量冷和血"計算29.2-28 4928.40- 28.4928.40- 28.53=0.692査表 2斗得心g 0.05) = 0.525 t 因;rH =1.04 >(1

32、5, 0.05)和 rn =0.692> r0(15, 0.05) 故S：和習(即衍測的第4和第Z個測吊值血含甜大誤差.應于別除匸再晅復檢驗剩余的13個測得債，己不再血含粗大誤墨口2.18,4x2.90，其權分別為 5:1:1 ,2-26對某被測量x進行間接測量得：2x 1.44,3x試求x的測量結(jié)果及其標準差?【解】x.1.440.72,x22.180.727,x32.9040.725,選取 P15, P21,P31可由公式直接計算加權算術平均值和標準差:x 0.7250 1 0.007 1 0.0050.7225 1 1加權算術平均值的標準差的計算，先求殘余誤差：*X1 x0.002

33、, v% 0.005, Vx3 0.003算術平均值的標準差為:2Pivxii 15 0.00221 0.0052 1 0.00320.002(3 1)(5 1 1)limx 3 x 3 0.0020.006x 0.722 0.0062-28測量圓盤的直徑 D (72.003 0.052)mm,按公式計算圓盤面積 S D2/4，由 于選取 的有效數(shù)字位數(shù)不同，將對面積 S計算帶來系統(tǒng)誤差，為保證 S的計算精度與直 徑測量精度相同，試確定的有效數(shù)字位數(shù)？【解】測得D的平均值為72.003mm(m 1)i 1PiD242.048021.0423029.81053(m/s )當D有微小變化 D有變化

34、時，S的變化量為:fD2衛(wèi)D D2 40.0523.1416 72.0032(0.052)72.003240.055.881372.003240.00450.004取4位有效數(shù)字第三章誤差的合成與分配3-2為求長方體體積 V,直接測量其各邊長為：a 161.6mm,b 44.5mm,c 11.2mm,0.8mm, b【解】立方體體積:已知測量的系統(tǒng)誤差為a 1.2mm, b0.8mm, c 0.5mm，測量的極限誤差為0.5mm, c0.5mm，試求立方體的體積及其體積的極限誤差V abc，若不考慮測得值的系統(tǒng)誤差，則計算體積為：V。abc 161.6 44.5 11.2 80541.44(m

35、m3)體積V勺系統(tǒng)誤差為:(nmi5)考慮測量系統(tǒng)誤差后的立方體體積:又直接測量值存在極限誤差，則間接測量體積存在的極限誤差為：V = VQ - AF = 80541.44 - 2745.744 = 77795.696 豊 77795.70 (nun3)P = 士J+(賦+("$)=±7(44.5 x 11 2 x (±0.8)2 + l6l.6xllt2x(±0.5)3 + 161.6 x 44.5 x (±0.5)2二 土J398/7” + 904 96 + 359工卅=3729.1 (imnJ)故測量結(jié)果為：VlimV 77795.70

36、3729.1(mm3)3 3長方體的邊長分別為a 1 ,a 2, a 3測量時：標準差均為b；標準差各為b 2、b 3。試求體積的標準差。解：長方體的體積計算公式為：V a1 a2 a3體積的標準差應為:21V 2()2a2a3)2現(xiàn)可求出:Va1Va2 a3 ；a2Va1 a3;a3a1 a 2若:則有:V)2 2( V)2 2( V)2 2)1()2()3 a1a?V 2 V 2 V 2 ()2 ()2 ()2a1 a?若:(a2a3)2(aa3)2 (a®?)2則有:(a2a3)1(a1a3)2(a1a2)33-4 測量某電路的電流I 22.5mA ,電壓U 12.6V ,測量

37、的標準差分別為I 0.5mA, u 0.1V，求所耗功率 P UI及其標準差【解】若不考慮測得值的誤差,則計算所耗功率為:UI12.6 22.510 30.2835W322.5 10P U 12.6I38.55 10 (W)若電壓、電流的測量結(jié)果相互獨立，則所耗功率標準差為36.69 500625 10 36.69 10 3(W)3-6已知x與y的相關系數(shù)xy 1，試求u x2 ay的方差U【解】屬于函數(shù)隨機誤差合成問題。=(2x)2 cr d'b： - 2 x 2.v x <7 x (l)csQj = (2xcrx - trv)23-e如圖丸所示聞孜碌法測屋扎的直徑D.其翎傑直

38、軽分別為久，爲，測曲更離分別為爲.試童抽測扎徑D舄各直整測量昱的函裁羌蠱0=住”心#損其溟筮儒遞系裁.【坤；由幾訶關乘爲求植劇孔脛D產(chǎn)押-嗎山+詁+=細 +血）十網(wǎng)T耳-廂石-場+為） £各直揍測墾屋的糕豊傳遞幣數(shù)如下:&D諛D1（/| -心 +2/（ =2/冠一亍ja +陌鳳）鳳一爲+臥）S3-63D _ 1 £二饑+ 2H| -2鳳 _ aD臥 T兩誦一鳳花 麗一疽3-12 按公式V=n r2h求圓柱體體積，若已知 r約為2cm, h約為20cm,要使體積的相對 誤差等于1%,試問r和h測量時誤差應為多少？解：若不考慮測量誤差，圓柱體積為V r2 h 3.14

39、22 20 251.2cm3根據(jù)題意，體積測量的相對誤差為1%,即測定體積的相對誤差為：-1%V即 V 1%251.2 1%2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差，可以求出 測定r的誤差應為：1r 2 V / r2.5110.007 cm1.41 2 hr測定h的誤差應為:2.511h 2 V/ h1.41 r20.142cm3-10假定從支點到重心的長度為 L的單擺 振動周期為T ,重力加速度可由公式T 2 g給 出。若要求測量9的相對標準差才0.1%，試問按等作用原則分配誤差時，測量 L和T的相對標準差應該是多少?解：由重力加速度公式，T 2 L得，T24 2LT2因為，T28 2LT3因為測量項

40、目有兩個，所以 用原理分配誤差，得1_9 Tn _928 2L 2 8 2L 2482T 19 g 111 90.1t 2怎 g(n2g9199T2 TTn42L T92,2 29按等作I 99T1 9l綜上所述，測量L和T的相對標準差分別是。.”會聖。呼36%如072%第四章測量不確定度評定與表示測量不確定度的步驟可歸納為1）分析測量不確定度的來源，列出對測量結(jié)果影響顯著的不確定度分量。2） 評定標注不確定度分量，并給出其數(shù)值Ui和自由度Vi。3） 分析所有不確定度分量的相關性，確定各相關系數(shù)p ij。4） 求測量結(jié)果的合成標準不確定度，則將合成標準不確定度Uc及自由度V .5） 若需要給出

41、展伸不確定度，則將合成標準不確定度Uc乘以包含因子k，得展伸不確定 度 U=kUc。6） 給出不確定度的最后報告，以規(guī)定的方式報告被測量的估計值y及合成標準不確定度或展伸不確定度U,并說明獲得它們的細節(jié)。 根據(jù)以上測量不確定度計算步驟。4 1 某圓球的半徑為r,若重復10次測量得r ±c r =（3.132 ± 0.005）cm，試求該圓球 最大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99%?！窘狻壳髨A球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D 2 r0.0052其標準不確定度應為：u J -D2廠了J4 3.1415921 r=0.031

42、4cm確定包含因子。查 t分布表to.99 （ 9）= 3.25，及K= 3.25故圓球的最大截面的圓周的測量不確定度為：U= Ku= 3.25 X 0.0314 = 0.102求圓球的體積的測量不確定度43圓球體積為：Vr33其標準不確定度應為：2 rr22 r2J6 3.141592 3.1324 0.0052 0.616確定包含因子。查 t分布表t0.0i （ 9）= 3.25，及K= 3.25 最后確定的圓球的體積的測量不確定度為U= Ku= 3.25 X 0.616 = 2.0024-3測量某電路電阻R兩端的電壓U,由公式| UR算出電路電流|。若測得U U （16.50I的標準不確

43、定度?！窘狻縄 U /R0.05)V、RI 丄U RR (4.260.02)IU-RR2,相關系數(shù)UR0.36，試求電流【解】（1）測量誤差由B類評定，根據(jù)且2V量程測量誤差4-6某數(shù)字電壓表的說明書指出，該表在校準后的兩年，其2V量程的測量誤差不超過土（14 X 10-6讀數(shù)+1X 10-6 X量程）V，相對標準差為20%，若按均勻分布，求1V測量時電壓表的標準不確定度；設在該表校準一年后，對標稱值為1V的電壓進行16次重復測量，得觀測值的平均值為 0.92857V，并由此算得單次測量的標準差為0.000036V，若以平均值作為測量的估計值，試分析影響測量結(jié)果不確定度的主要來源，分別求出不確

44、定度分量，說 明評定方法的類別，求測量結(jié)果的合成標準不確定度及其自由度。根據(jù)相對標準差為 20%112.5, V服從均勻分布，2（）2uUx14 10 6 1 10 6 2 16 10 61.6 10 59.24 101.6 10（14 106讀數(shù) 1 10 6量程），所以在區(qū)間（x-a,x+a ）中一年后，對標稱值為 1V的電壓進行16次重復測量X 0.92857V x 0.000036V(2) 不確定度評定影響測量結(jié)果不確定度的主要來源:A 16次重復測量誤差B電壓表的示值誤差C電壓表的穩(wěn)定度A測量重復誤差引起的不確定度V 0.92857V0.000036VV0.000009/.16Ux1

45、屬于A類評定 自由度：電壓重復性引起的標準不確定度uxV 9 10 6 9 VB標準電壓表的示值誤差引起的標準不確定度1=16-1=15示值誤差按均勻分布計算，屬于 B類評定614 101 c cc xc 6七+由Ux 8.08 10自由度:x.322(-)2u11=12.5 2 (20%)C穩(wěn)定度引起的標準不確定度 ux3電壓表穩(wěn)定度按均勻分布，屬B類評定Ux31 豊 2 8.0810 6自由度:3 = 12.5合成標準不確定度2 x12 2Ux2 Ux3(9 106)2 (8.08 106)2 (1.15 106)228.010 628.0 V4自由度:28.0 10 628.0 VUc4

46、44Ux1Ux2 Ux34-9用漏電測量儀直接測量正常使用中微波爐的泄漏電流，5次測量的平均值為 0.320mA,平均值的標準差為 0.001mA;已知漏電測量儀的示值誤差圍為5%,按均勻分布，取相對標準差為 10% ;測量時環(huán)境溫度和濕度的影響圍為2% ,按三角分布，其相對標準差為99% )。25%;試給出泄漏電流測量的不確定度報告（置信概率為【解】（1）不確定度評定對泄漏電流測量不確定度影響顯著的因素有：A泄漏電流測量重復性引起的不確定度比B示值誤差引起的不確定度u2C環(huán)境溫度與濕度引起的不確定度求5、吐、U3 A測量重復誤差引起的不確定度Ui0.001mA 1 AV示值誤差（均勻分布）5

47、 mA 9.24 AU2 x 22(12 (10%)250環(huán)境溫度（三角分布）2.61 AU3 x 2 °.3202% 2.61 10 3mA6 、6（2）不確定度合成因不確定度各個分量相互獨立，即ij 0，合成的不確定度為:uc.U12 U22 U321 9.242 2.612 9.65 V 0.00965mA4自由度：c 廠弋r 57.1U1U2U3123根據(jù)“三分之一準則”，對標準不確定度進行修約得uc 0.010mA10 A（3）展伸不確定度 取置信概率 P 99%， =57，查 t 分布表，得 t0.99(57) 2.68 ，泄漏電流測量的展伸不確定度為U kuc 2.68

48、 9.65 25.862 0.025862mA 根據(jù)“三分之一準則” ，對展伸不確定度進行修約得 U 0.026mA 26 A(4) 不確定度報告1)用合成標準不確定度評定泄漏電流，則測量結(jié)果為：I 0.320mAuc 10 A 57.12)用展伸不確定度評定泄漏電流，則測量結(jié)果為：57I (0.320mA 0.026)mA P 0.99第五章最小二乘法原理參數(shù)最小二乘法估計矩陣形式的簡單推導及回顧： 由誤差方程V L AXT且要求V V最小，則：VTV (L AX )T(L AX) (lt xtat)(l AX) ltl ltax xtatl xtatax令其等于f( X),要f( X)最小，需其對應偏導為0：所以：f( X)ltadXlta xtata理論基礎：lta (atax)t xtata 0atl ataxX (ATA) 1atlf(X)= dXf(X)軟(X)g(X)円(X