中考專題分類討論題頁

1、中考專題-分類討論題類型之一 直線型中的分類討論直線型中的分類討論問題主要是對線段、三角形等問題的討論，特別是等腰三角形問題和三角形高的問題尤為重要.例1（·沈陽市）若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為（ ）A50°B80°C65°或50°D50°或80°【解析】由于已知角未指明是頂角還是底角，所以要分類討論：（1）當50°角是頂角時，則（180°50°）÷2=65°，所以另兩角是65°、65°；（2）當50°

2、;角是底角時，則180°50°×2=80°，所以頂角為80°。故頂角可能是50°或80°.答案：D.同步測試：1.(烏魯木齊)某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為（ ）A9cmB12cm C15cmD12cm或15cm2. （·江西?。┤鐖D，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B處，點A落在點A處，(1)求證：BE=BF；(2)設AE=a，AB=b, BF=c,試猜想a、b、c之間有何等量關系，并給予證明.類型之二 圓中的分類討論 圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，在解決圓的有

3、關問題時，特別是無圖的情況下，有時會以偏蓋全、造成漏解，其主要原因是對問題思考不周、思維定勢、忽視了分類討論等例2.（湖北羅田）在RtABC中，C900，AC3，BC4.若以C點為圓心， r為半徑 所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是_ _【解析】圓與斜邊AB只有一個公共點有兩種情況,1、圓與AB相切，此時r2.4；2、圓與線段相交，點A在圓的內部，點B在圓的外部或在圓上，此時3r4?！敬鸢浮?3r4或r2.4同步測試：3.（上海市）在ABC中，AB=AC=5，如果圓O的半徑為，且經過點B、C，那么線段AO的長等于 4.（威海市）如圖，點A，B在直線MN上，AB11厘米，A，B的

4、半徑均為1厘米A以每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，B的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時間t（秒）之間的關系式為r1+t（t0） （1）試寫出點A，B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數(shù)表達式； （2）問點A出發(fā)后多少秒兩圓相切？ 類型之三 方程、函數(shù)中的分類討論方程、函數(shù)的分類討論主要是通過變量之間的關系建立函數(shù)關系式，然后根據(jù)實際情況進行分類討論或在有實際意義的情況下的討論，在討論問題的時候要注意特殊點的情況.例3.（·上海市）已知AB=2，AD=4，DAB=90°，ADBC（如圖）E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點（1）設B

5、E=x，ABM的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）如果以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，求線段BE的長；（3）聯(lián)結BD，交線段AM于點N，如果以A、N、D為頂點的三角形與BME相似，求線段BE的長【解析】建立函數(shù)關系實質就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示。要求線段的長，可假設線段的長，找到等量關系，列出方程求解。題中遇到“如果以為頂點的三角形與相似”，一定要注意分類討論?！敬鸢浮浚?）取中點，聯(lián)結，為的中點，又，得；（2）由已知得以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，即解得，即線段的長為；（3）由已知，以為頂點的三角形與相似，又易證得由此可知

6、，另一對對應角相等有兩種情況：；當時，易得得；當時，又，即，得解得，（舍去）即線段BE的長為2綜上所述，所求線段BE的長為8或2 同步測試：5.（·福州市)如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系已知OA3，OC2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處（1）直接寫出點E、F的坐標；（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在，求出周長的最小

7、值；如果不存在，請說明理由同步測試答案：1.【解析】在沒有明確腰長和底邊長的情況下,要分兩種情況進行討論,當腰長是3cm，底邊長是6cm時，由于3+3不能大于6所以組不成三角形；當腰長是6cm，地邊長是3cm時能組成三角形【答案】D2.【解析】由折疊圖形的軸對稱性可知，從而可求得BE=BF；第(2)小題要注意分類討論.【答案】（1）證：由題意得，在矩形ABCD中，（2）答：三者關系不唯一，有兩種可能情況：（）三者存在的關系是證：連結BE，則由（1）知，在中，（）三者存在的關系是證：連結BE，則由（1）知，在中，3.【解析】本題考察了等腰三角形的性質、垂徑定理以及分類討論思想。由AB=AC=5，

8、可得BC邊上的高AD為4，圓O經過點B、C則O必在直線AD上，若O在BC上方，則AO=3，若O在BC下方，則AO=5?！敬鸢浮?或54.【解析】在兩圓相切的時候，可能是外切，也可能是內切，所以需要對兩圓相切進行討論.【答案】解：（1）當0t5.5時，函數(shù)表達式為d11-2t； 當t5.5時，函數(shù)表達式為d2t -11 （2）兩圓相切可分為如下四種情況： 當兩圓第一次外切，由題意，可得112t11t，t3； 當兩圓第一次內切，由題意，可得112t1t1，t； 當兩圓第二次內切，由題意，可得2t111t1，t11； 當兩圓第二次外切，由題意，可得2t111t1，t13 所以，點A出發(fā)后3秒、秒、1

9、1秒、13秒兩圓相切 5.【解析】解決翻折類問題，首先應注意翻折前后的兩個圖形是全等圖，找出相等的邊和角其次要注意對應點的連線被對稱軸（折痕）垂直平分結合這兩個性質來解決在運用分類討論的方法解決問題時，關鍵在于正確的分類，因而應有一定的分類標準，如E為頂點、P為頂點、F為頂點在分析題意時，也應注意一些關鍵的點或線段，借助這些關鍵點和線段來準確分類這樣才能做到不重不漏解決和最短之類的問題，常構建水泵站模型解決【答案】（1）；（2）在中，設點的坐標為，其中，頂點，設拋物線解析式為如圖，當時，解得（舍去）；解得拋物線的解析式為如圖，當時，解得（舍去）當時，這種情況不存在綜上所述，符合條件的拋物線解析

10、式是（3）存在點，使得四邊形的周長最小如圖，作點關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點，連接，分別與軸、軸交于點，則點就是所求點，又，此時四邊形的周長最小值是、專題精講： 在數(shù)學中，我們常常需要根據(jù)研究對象性質的差異，分各種不同情況予以考查這種分類思考的方法是一種重要的數(shù)學思想方法，同時也是一種解題策略 分類是按照數(shù)學對象的相同點和差異點，將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領會其實質，對于加深基礎知識的理解提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的正確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏 分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐

11、級進行、典型例題剖析【例1】（南充，11分）如圖321，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別是直線AB和雙曲線直線AB與雙曲線的一個交點為點C，CDx軸于點D，OD2OB4OA4求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式解：由已知OD2OB4OA4，得A（0，1），B（2，0），D（4，0）設一次函數(shù)解析式為ykxb 點A，B在一次函數(shù)圖象上， 即則一次函數(shù)解析式是 點C在一次函數(shù)圖象上，當時，即C（4，1） 設反比例函數(shù)解析式為 點C在反比例函數(shù)圖象上，則，m4故反比例函數(shù)解析式是：點撥：解決本題的關鍵是確定A、B、C、D的坐標?！纠?】（武漢實驗，12分）如圖322所示，如圖，在平面直角坐標系中，點O1的坐

12、標為（4，0），以點O1為圓心，8為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，過點A作直線l與x軸負方向相交成60°角。以點O2（13，5）為圓心的圓與x軸相切于點D. （1）求直線l的解析式；（2）將O2以每秒1個單位的速度沿x軸向左平移，同時直線l沿x軸向右平移，當O2第一次與O2相切時，直線l也恰好與O2第一次相切，求直線l平移的速度；（3）將O2沿x軸向右平移，在平移的過程中與x軸相切于點E，EG為O2的直徑，過點A作O2的切線，切O2于另一點F，連結A O2、FG，那么FG·A O2的值是否會發(fā)生變化？如果不變，說明理由并求其值；如果變化，求其變化范圍。 解（1）直線l經過點

13、A（12，0），與y軸交于點（0，），設解析式為ykxb，則b，k，所以直線l的解析式為. （2）可求得O2第一次與O1相切時，向左平移了5秒（5個單位）如圖所示。在5秒內直線l平移的距離計算：81230，所以直線l平移的速度為每秒（6）個單位。（3）提示：證明RtEFGRtAE O2于是可得：所以FG·A O2，即其值不變。點撥：因為O2不斷移動的同時，直線l也在進行著移動，而圓與圓的位置關系有：相離(外離，內含)，相交、相切(外切、內切，直線和圓的位置關系有：相交、相切、相離，所以這樣以來，我們在分析過程中不能忽略所有的可能情況【例3】（衢州，14分）如圖，在矩形ABCD中，AB

14、=3，BC=2，點A的坐標為(1，0)，以CD為直徑，在矩形ABCD內作半圓，點M為圓心設過A、B兩點拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，頂點為點N(1)求過A、C兩點直線的解析式；(2)當點N在半圓M內時，求a的取值范圍；(3)過點A作M的切線交BC于點F，E為切點，當以點A、F,B為頂點的三角形與以C、N、M為頂點的三角形相似時，求點N的坐標解：(1)過點A、c直線的解析式為y=x(2)拋物線y=ax25x+4a頂點N的坐標為(，a)由拋物線、半圓的軸對稱可知，拋物線的頂點在過點M且與CD垂直的直線上，又點N在半圓內，a 2，解這個不等式，得a(3)設EF=x，則CF=x，BF=2x在R

15、tABF中，由勾股定理得x= ，BF= 【例4】（杭州，8分）在平面直角坐標系內,已知點A(2,1),O為坐標原點.請你在坐標軸上確定點P,使得AOP成為等腰三角形.在給出的坐標系中把所有這樣的點P都找出來,畫上實心點,并在旁邊標上P1,P2,Pk,(有k個就標到PK為止,不必寫出畫法) 解：以A為圓心，OA為半徑作圓交坐標軸得和；以O為圓心，OA為半徑作圓交坐標軸得，和；作OA的垂直平分線交坐標軸得和。點撥：應分三種情況：OA=OP時；OP=P時；OA=PA時，再找出這三種情況中所有符合條件的P點、同步跟蹤配套試題（60分 45分鐘）一、選擇題（每題 3分，共 15分）1若等腰三角形的一個內

16、角為50則其他兩個內角為（ ） A500 ，80o B650， 650 C500 ，650 D500，800或 650，6502若 A5或1 B5或1; C5或1 D5或13等腰三角形的一邊長為3cm，周長是13cm，那么這個等腰三角形的腰長是（ ） A5cm B.3cm C5cm或3cm D不確定4若O的弦 AB所對的圓心角AOB=60°，則弦 AB所對的圓周角的度數(shù)為（ ） A300 B、600 C1500 D300或 15005一次函數(shù)y=kx+b，當3xl時，對應的y值為ly9， 則kb值為（ ）A14 B6 C4或21 D.6或14二、填空題（每題3分，共15分）6已知_.

17、 7已知O的半徑為5cm，AB、CD是O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，ABCD，則AB與CD之間的距離為_.8矩形一個角的平分線分矩形一邊為1cm和3 cm兩部分，則這個矩形的面積為_.9已知O1和O2相切于點P，半徑分別為1cm和3cm則O1和O2的圓心距為_.10 若a、b在互為倒數(shù)，b、c互為相反數(shù)，m的絕對值為 1，則的值是_.三、解答題（每題10分，共30分）11 已知 y=kx3與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 24，求其函數(shù)解析式12 解關于x的方程13 已知：如圖328所示，直線切O于點C，AD為O的任意一條直徑，點B在直線上，且BAC=CA D(A D與AB不在一條直線

18、上)，試判斷四邊形ABCO為怎樣的特殊四邊形？、同步跟蹤鞏固試題（10分 60分鐘） 一、選擇題（每題4分，共20分）1已知等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個三角形的周長是（ ） A16 B16或 17 C.17 D17或 182已知的值為（ ） 3若值為（） A2 B2 C2或2 D2或2或04若直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是5，則b的值為（ ） 5在同一坐標系中，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點的個數(shù)是（ ） A0個或2個 Bl個 C2個 D3個二、填空題（每題4分，共24分）6已知點P（2，0），若x軸上的點Q到點P的距離等于2，則點Q的坐標為_7已知兩圓內切，一個圓的半徑是3

19、，圓心距是2，那么另一個圓的半徑是_8等腰三角形的一個內角為70°，則其預角為_9要把一張面值為10元的人民幣換成零錢，現(xiàn)有足夠的面值為2元、1元的人民幣，那么有_種換法10 已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分為9和12兩部分，則腰長為，底邊長為_11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，則以矩形的一邊所在直線為軸旋轉一周所得到的圓柱的表面積為_.三、解答題（56分）12（8分）化簡.13（9分）拋物線 與y軸交點到原點的距離為3，且過點（1，5）,求這個函數(shù)的解析式14（13分）已知關于 x的方程. 當k為何值時，此方程有實數(shù)根； 若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足，求k的值15(

20、13分)拋物線經過點A (1，0) 求b的值； 設P為此拋物線的頂點，B（a，0）（a1）為拋物線上的一點，Q是坐標平面內的點如果以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，試求線段PQ的長16（13分）已知矩形的長大于寬的2倍，周長為12，從它的一個頂點，作一條射線，將矩形分成一個三角形和一個梯形，且這條射線與矩形一邊所成的角的正切值等于，設梯形的面積為S，梯形中較短的底的長為x，試寫出梯形面積S關于x的函數(shù)關系式，并指出自變量x的取值范圍 yxDNMQBCOPEA例一（2009年長春）如圖，直線分別與軸、軸交于兩點，直線與交于點，與過點且平行于軸的直線交于點點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度

21、沿軸向左運動過點作軸的垂線，分別交直線于兩點，以為邊向右作正方形，設正方形與重疊部分（陰影部分）的面積為（平方單位）點的運動時間為（秒）（1）求點的坐標（1分）（2）當時，求與之間的函數(shù)關系式（4分）（3）求（2）中的最大值（2分）（4）當時，直接寫出點在正方形內部時的取值范圍（3分）【參考公式：二次函數(shù)圖象的頂點坐標為】分析：第二問求時與之間的函數(shù)關系式中正確合理分類是本題的關鍵所在。分界點應為正方形的邊MN在直線AD上。解：（1）由題意，得解得C（3,）. （2）根據(jù)題意，得AE=t，OE=8-t.點Q的縱坐標為(8-t)，點P的縱坐標為t，PQ= (8-t)-t=10-2t.當MN在AD

22、上時，10-2t=t，t=. 當0<t時，S=t(10-2t)，即S=-2t2+10t.當t<5時，S=(10-2t)2，即S=4t2-40t+100. （3）當0<t時，S=-2（t-）2+，t=時，S最大值=.當t<5時，S=4(t-5)2，t<5時，S隨t的增大而減小，t=時，S最大值=.>，S的最大值為. （4）4<t<或t>6. 例二（2009年臺州市）如圖，已知直線交坐標軸于兩點，以線段為邊向上作正方形，過點的拋物線與直線另一個交點為（1）請直接寫出點的坐標； （2）求拋物線的解析式；（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下

23、滑，直至頂點落在軸上時停止設正方形落在軸下方部分的面積為，求關于滑行時間的函數(shù)關系式，并寫出相應自變量的取值范圍；OABCDEyx（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間的拋物線弧所掃過的面積備用圖分析:本題考查與二次函數(shù)有關的面積問題，而且是學生較為頭痛的動點動形問題, 在滑行過程中，需正確分析滑行全過程中各個頂點所處的特殊位置，找到分界點?！敬鸢浮浚?）； （2）設拋物線為，拋物線過，圖1 解得 （3）當點A運動到點F時，當時，如圖1， ， 圖2； 當點運動到軸上時，當時，如圖2， ， ； 當點運動到軸上時，圖3當時，如圖3， 圖4 = （解法不

24、同的按踩分點給分）（4）, = = 類型二 與幾何有關的分類討論例三 (2009年上海市)在直角坐標平面內，為原點，點的坐標為（1，0），點的坐標為（0，4），直線軸（如圖7所示）點與點關于原點對稱，直線（為常數(shù)）經過點，且與直線CM相交于點D，聯(lián)結OD（1）求的值和點D的坐標；（2）設點P在軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的與外切，求的半徑CMOxy1234圖7A1BD分析：若POD是等腰三角形則有三種分類情形?！敬鸢浮浚?）點B與點（1，0）關于原點對稱，B（1，0）直線（為常數(shù)）經過點B（1，0）b=1在直線中令y=4，得x=3D（3，4）（2）若POD是等腰三角形，有三種可能：i）若OP=OD=，則（5，0）ii）若DO=DP，則點P和點O關于直線x=3對稱，得（6，0）iii）若OP=DP，設此時P（m，0），則由勾股定理易得，解得，得（，0）