函數(shù)模型及其應(yīng)用(梁金山)

1、生活中的數(shù)學(xué)-函數(shù)模型及其應(yīng)用(2個(gè)課時(shí))一【課標(biāo)要求】1利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義；2收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。二【命題走向】函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢(shì)。高考中重視對(duì)環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的的綜合性應(yīng)用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考察力度，從而使高考考題

2、顯得新穎、生動(dòng)和靈活。函數(shù)類(lèi)應(yīng)用題，是考察的重點(diǎn)，因而要認(rèn)真準(zhǔn)備應(yīng)用題型、探索型和綜合題型，加大訓(xùn)練力度，重視關(guān)于函數(shù)的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)和方法尋求規(guī)律找出解題策略。（1）題型多以大題出現(xiàn)，以實(shí)際問(wèn)題為背景，通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，解釋問(wèn)題；（2）題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過(guò)它們的性質(zhì)（單調(diào)性、極值和最值等）來(lái)解釋生活現(xiàn)象，主要涉計(jì)經(jīng)濟(jì)、環(huán)保、能源、健康等社會(huì)現(xiàn)象三【要點(diǎn)精講】1解決實(shí)際問(wèn)題的解題過(guò)程（1）對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象概括：研究實(shí)際問(wèn)題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的主、被動(dòng)關(guān)系，并用x、y分別表示問(wèn)題中的變量；（2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)

3、內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式；（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)正確選擇函數(shù)知識(shí)求得函數(shù)模型的解，并還原為實(shí)際問(wèn)題的解.這些步驟用框圖表示：實(shí)際問(wèn)題函數(shù)模型實(shí)際問(wèn)題的解函數(shù)模型的解抽象概括還原說(shuō)明運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)2解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過(guò)分析、畫(huà)圖、列表、歸類(lèi)等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題的目標(biāo)表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型的能力：

4、主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲担?jì)算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用四【典例解析】題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型例（1）(2009山東卷理)（本小題滿分12分）兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為

5、k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說(shuō)明理由。A B C x 解法一:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.解法二: （1）同上.（2）設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)

6、上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).設(shè)0<m1<m2<160,則 ,因?yàn)?<m1<m2<160,所以4>4×240×2409 m1m2<9×160×160所以,所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m1<m2<400,則因?yàn)?600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160所以,所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù)

7、.所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.【命題立意】:本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問(wèn)題.（2）某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬(wàn)公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進(jìn)行了連續(xù)5年的觀測(cè)，并將每年年底的觀測(cè)結(jié)果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進(jìn)行預(yù)測(cè)：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f(wàn)公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹(shù)造林等措施，每年改造0.6萬(wàn)公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠

8、面積減少到90萬(wàn)公頃？觀測(cè)時(shí)間1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬(wàn)公頃）0.20000.40000.60010.79991.0001 解析：（1）由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關(guān)系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，所以y=0.2x（xN）。因?yàn)樵猩衬娣e為95萬(wàn)公頃，則到2010年底沙漠面積大約為95+0.5×15=98（萬(wàn)公頃）。（2）設(shè)從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬(wàn)公頃，由題意得95+0.

9、2x0.6(x5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬(wàn)公頃。點(diǎn)評(píng)：初中我們學(xué)習(xí)過(guò)的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，我們要牢固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應(yīng)用好例2(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬(wàn)元。 （）試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)

10、橋墩才能使最??？解 （）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 當(dāng)0<<64時(shí)<0， 在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，>0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時(shí)，故需新建9個(gè)橋墩才能使最小題型2：二次函數(shù)型例3一輛中型客車(chē)的營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x（xN）的變化關(guān)系如表所示，則客車(chē)的運(yùn)輸年數(shù)為（）時(shí)該客車(chē)的年平均利潤(rùn)最大（A）4 （B）5 （C）6 （D）7x年468（萬(wàn)元）7117解析：表中已給出了二次函數(shù)模型，由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點(diǎn)（4，7），（6，11），（8，7），則。解得a

11、=1，b=12，c=-25，即。而取“=”的條件為，即x=5，故選（B）。點(diǎn)評(píng)：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中最重要的一個(gè)模型，解決此類(lèi)問(wèn)題要充分利用二次函數(shù)的結(jié)論和性質(zhì)，解決好實(shí)際問(wèn)題。例4（2009福州八中）某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x2-10x3（單位：萬(wàn)元），成本函數(shù)為C(x)=460x+5000（單位：萬(wàn)元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x)。（）求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；（提示：利潤(rùn)=產(chǎn)值成本）（）問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？（）求邊際利潤(rùn)函

12、數(shù)MP(x)單調(diào)遞減時(shí)x的取值范圍，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？解（）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000,(xN*,且1x20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275，(xN*,且1x19) （）. 當(dāng)0x12時(shí)0,當(dāng)x12時(shí)，0. x=12，P（x）有最大值. 即年造船量安排12 艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大 （）MP（x）=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305, 所以，當(dāng)x1時(shí)，MP（x）單調(diào)遞減，x的取值范圍為1,19，且xN* 是減函數(shù)的實(shí)際意義：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤(rùn)在減少

13、例5（2008湖南理21）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)（I）證明：；（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍。解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn), 所以有三個(gè)互異的實(shí)根. 設(shè)則 當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù); 當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù); 當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù); 所以函數(shù)在時(shí)取極大值,在時(shí)取極小值. 當(dāng)或時(shí),最多只有兩個(gè)不同實(shí)根. 因?yàn)橛腥齻€(gè)不同實(shí)根, 所以且. 即,且,解得且故. （II）由（I）的證明可知，當(dāng)時(shí), 有三個(gè)極值點(diǎn). 不妨設(shè)為（），則 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是, 若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則, 或, 若,則.由（I）知，,于是 若,則且.由（I）知， 又當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，. 因此, 當(dāng)時(shí)，所以且即

14、故或反之, 當(dāng)或時(shí)，總可找到使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上所述, 的取值范圍是.題型3：分段函數(shù)型例6（2009福建?。皟?yōu)化重組,分流增效”x不超過(guò)原有員工1時(shí),留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤(rùn)(1-)萬(wàn)元；當(dāng)待崗員工人數(shù)x解 設(shè)重組后,該企業(yè)年利潤(rùn)為y萬(wàn)元.2000×1%=20,當(dāng)0<x20且xN時(shí),y=(2000-x)(3.5+1-)-0.5x=-5(x+)+9000.81. x2000×5%x100,當(dāng)20<x100且xN時(shí),y=(2000-x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595x+8919. 當(dāng)0<x20時(shí),有y=-5(x+)+90

15、00.81-5×2+9000.81=8820.81,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=18時(shí)取等號(hào),此時(shí)y取得最大值. 當(dāng)20<x100時(shí),函數(shù)y=-4.9595x+8919為減函數(shù),所以y<-4.9595×20+8919=8819.81. 綜上所述x=18時(shí),y有最大值8820.81萬(wàn)元.即要使企業(yè)年利潤(rùn)最大,應(yīng)安排18名員工待崗. 例7（2008廣東，17）（本小題滿分12分）某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每

16、平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用）【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則 , 令 得 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，因此 當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值；答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問(wèn)題.考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.題型4：三角函數(shù)型例8某港口水的深度y(m)是時(shí)間t（0t24，單位：h）的函數(shù)，記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據(jù)： t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010

17、.17.010.0 經(jīng)長(zhǎng)期觀察，y=f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asint+b的圖象。（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f(t)的近似表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5m或5m以上時(shí)認(rèn)為是安全的（船舶?？繒r(shí)，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請(qǐng)問(wèn)，它最多能在港內(nèi)停留多少時(shí)間（忽進(jìn)出港所需的時(shí)間）？解析：題中直接給出了具體的數(shù)學(xué)模型，因此可直接采用表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行解答（1）由表中數(shù)據(jù)易得，周期T=12，b=10，所以。（2）由題意，該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5（m），所以，

18、化為，應(yīng)有，解得12k+1t12k+5 （kZ）。在同一天內(nèi)取k=0或1，所以1t5或13t17，所以該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，最晚在下午17時(shí)出港，在港口內(nèi)最多停留16個(gè)小時(shí)。點(diǎn)評(píng)：三角型函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題要以三角函數(shù)的性質(zhì)為先，通過(guò)其單調(diào)性、周期性等性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。特別是與物理知識(shí)中的電壓、電流、簡(jiǎn)諧振動(dòng)等知識(shí)結(jié)合到到一塊來(lái)出題，為此我們要對(duì)這些物理模型做到深入了解題型5：不等式型例9（2009年上海卷理）有時(shí)可用函數(shù)描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)。（1）證明 當(dāng)時(shí)，掌握程度的增加量總是下降；（2）根據(jù)經(jīng)

19、驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科。證明 （1）當(dāng)而當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，且>0.3分故單調(diào)遞減 當(dāng)，掌握程度的增長(zhǎng)量總是下降.6分（2）由題意可知0.1+15ln=0.85.9分整理得解得.13分由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.14分 例10（2008湖北，文、理19）（本不題滿分12分） 如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為18000cm2,四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸（單位：cm），能使矩形廣告面積最小

20、？解法1：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，則ab=9000.廣告的高為a+20，寬為2b+25，其中a0，b0.廣告的面積S(a+20)(2b+25)2ab+40b+25a+50018500+25a+40b18500+2=18500+當(dāng)且僅當(dāng)25a40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)b=,代入式得a=120，從而b=75.即當(dāng)a=120，b=75時(shí),S取得最小值24500.故廣告的高為140 cm,寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為x cm，y cm，則每欄的高和寬分別為x20，其中x20，y25兩欄面積之和為2(x20),由此得y=廣告的面積S=xy=x()x,整

21、理得S=因?yàn)閤200，所以S2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有(x20)214400(x20)，解得x=140，代入y=+25,得y175，即當(dāng)x=140，y175時(shí)，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。以及函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式證明的基本方法。題型6：指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)例11有一個(gè)湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合用，表示某一時(shí)刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱(chēng)其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)），表示湖水污染初始質(zhì)

22、量分?jǐn)?shù)。（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；（2）分析時(shí)，湖水的污染程度如何。解析： （1）設(shè)，因?yàn)闉槌?shù)，即，則；（2）設(shè)，=因?yàn)椋?。污染越?lái)越嚴(yán)重。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問(wèn)題。我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問(wèn)題。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來(lái)越嚴(yán)重”還是“污染越來(lái)越輕”例12現(xiàn)有某種細(xì)胞100個(gè)，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次，即由1個(gè)細(xì)胞分裂成2個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過(guò)個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：）.解析：現(xiàn)有細(xì)胞100個(gè)，先考慮經(jīng)過(guò)1、2、3、4個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù)， 1小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；2小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；3小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；4小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；可見(jiàn)，細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為： ，由，得