《1.3.2輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法》導(dǎo)學(xué)案

1、1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的含義，了解其執(zhí)行過程，并會(huì)求最大公約數(shù)2掌握秦九韶算法的計(jì)算過程，了解它提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)，并會(huì)求多項(xiàng)式的值3進(jìn)一步體會(huì)算法的基本思想學(xué)習(xí)重點(diǎn)】算法步驟及程序框圖和算法程序課前預(yù)習(xí)案知識(shí)鏈接】136與60的最大公約數(shù)是多少？你是如何得到的？2.觀察下列等式 8 251 = 6 105X 1 + 2 146，那么8 251與6 105這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)和 6 105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？知識(shí)梳理】1 .輾轉(zhuǎn)相除法( 1 )輾轉(zhuǎn)相除法. 算法步驟： 程序框圖如圖所示. 程序：2、更相減損術(shù)問題：設(shè)兩個(gè)正

2、整數(shù) m>n(m>n),若m n = k,則m與n的最大公約數(shù)和n與k的最大公約數(shù)相等,反復(fù)利用這個(gè)原理,可求得98與63的最大公約數(shù)是多少？算法分析：3秦九韶算法多項(xiàng)式的(1)概念：求多項(xiàng)式f(x) = anxn + anixn 1 + aix+ a。的值時(shí)，常用秦九韶算法，這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少,是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法,其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求 值,共進(jìn)行 _次乘法運(yùn)算和 _次加法運(yùn)算其過程是：( 2) 算法步驟：( 3) 程序框圖如圖所示( 4) 程序：1、2、A. 順序結(jié)構(gòu)B. 條件結(jié)構(gòu)C. 循環(huán)結(jié)構(gòu)D .以上都有自主小測用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，第一步是設(shè)計(jì)程

3、序框圖，用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，所選用的結(jié)構(gòu)是3. 用更相減損術(shù)可求得 78與 36的最大公約數(shù)是()A. 24B. 18C. 12課上導(dǎo)學(xué)案教師點(diǎn)撥:更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的區(qū)別與聯(lián)系如表所示.輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)區(qū)別 以除法為主. 兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)運(yùn)算次數(shù)較少. 相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果. 以減法為主. 兩個(gè)整數(shù)的差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù) 較多. 相減，差與減數(shù)相等得結(jié)果. 相減前要做是否都是偶數(shù)的判斷.聯(lián)系 都是求最大公約數(shù)的方法. 二者的實(shí)質(zhì)都是遞歸的過程. 二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn) .例題講解【例題1】(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求8251與6105的最大公約數(shù);(2)用更相減損術(shù)求98與63的最

4、大公約數(shù).輾轉(zhuǎn)相除法的操作是較大的數(shù)分析：本題是關(guān)于輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)的直接應(yīng)用.除以較小的數(shù)；更相減損術(shù)的操作是以大數(shù)減小數(shù).反思： (1) 利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)時(shí)經(jīng)常會(huì)取錯(cuò)最后一個(gè)余數(shù)因?yàn)檩氜D(zhuǎn)相除法有有限個(gè)除法式子，而最后一個(gè)余數(shù)在倒數(shù)第二個(gè)式子的最后( 2)利用更相減損術(shù)求解最大公約數(shù)時(shí)，最大公約數(shù)是直到差等于減數(shù)時(shí)的那個(gè)差，或是該差與約簡的數(shù)的乘積【例題2】 用秦九韶算法求多項(xiàng)式f( X) = X5 + x4+ X3+ X2 + X+1當(dāng)x= 5時(shí)的值.當(dāng)堂檢測】1用秦九韶算法計(jì)算f(x) = 3x6+4x5+ 5x4+ 6x3 + 7x 36勿r 恥，故36與60的最大公約

5、數(shù)為3| 915 52 X 2 X 3= 12.2、【提示】8 251的最大約數(shù)是2 146的約數(shù)，同樣6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251+ 8x +1當(dāng)x = 0.4時(shí)的值，需要進(jìn)行乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算的次數(shù)分別為()A. 6, 6C. 6, 5D. 6, 122.利用輾轉(zhuǎn)相除法求3 869與6 497的最大公約數(shù)時(shí)，第二步是 .3 .用秦九韶算法求多項(xiàng)式 f(x) = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1在x=- 2時(shí)的值為4. 用輾轉(zhuǎn)相除法求242與154的最大公約數(shù).【問題與收獲】【知識(shí)鏈接】1、【提示】 先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的

6、商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來即為最大公約數(shù).由于的約數(shù)，故 8 251與 6 105的最大公約數(shù)也是 6 105與2 146的最大公約數(shù)自主小測答案： 1、 用2約簡 由于294和84都是偶數(shù),先用 2約簡.2、3. D 先用 2約簡得 39, 18；然后輾轉(zhuǎn)相減得 39 18 = 21, 21 - 18= 3, 18- 3= 15, 153= 12, 12 3= 9, 9 3 = 6, 6 3 = 3.所以所求的最大公約數(shù)為3X 2= 6.當(dāng)堂檢測答案：1. A 改寫多項(xiàng)式 f(x) = ( 3x+ 4)x + 5)x + 6)x + 7)x + 8)x + 1,則需進(jìn)行 6次乘法和 6次加法運(yùn)算.2. 3 869= 2 628X 1 + 1 241 第一步：6 497= 3 869X 1 + 2 628,第二步：3 869 = 2 628 X 1+ 1 241.3. 1 改寫多項(xiàng)式為 f(x) = ( X+ 5)x + 10)x + 10)x + 5)x + 1,當(dāng) x= 2 時(shí),v0= 1 ； v1= 1 X ( 2) + 5= 3；v2=3X(2)+10=4；v3= 4X ( 2)+ 10= 2；v4= 2X( 2)+5=1；v5=