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1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)經(jīng)典學(xué)案專(zhuān)題 附詳解歸納推理與類(lèi)比推理、基礎(chǔ)知識(shí):(一)歸納推理:1、歸納推理:由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的 推理,稱(chēng)為歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納),簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體, 由個(gè)別到一般的推理2、處理歸納推理的常見(jiàn)思路:(1)利用已知條件,多列出(或計(jì)算出)幾個(gè)例子,以便于尋找規(guī)律(2)在尋找規(guī)律的過(guò)程中,要注意觀察哪些地方是不變的(形成通式的結(jié)構(gòu)),哪些地方是變化的(找到變量),如何變化(變量變化的規(guī) 律)(3)由具體例子可將猜想的規(guī)律推廣到一般情形,看是否符合題意 3、常見(jiàn)的歸納推理類(lèi)型:(1 )
2、函數(shù)的迭代:設(shè)f是DtD的函數(shù),對(duì)任意xD,記f Hx ) = X, f C Xx )= f(X ) f f kx )= f f(X )1" I f ©r X ) = f f(n Xx ,貝y稱(chēng)函 數(shù))為f(x )的門(mén)次迭代;對(duì)于一些特殊的函數(shù)解析式,其f(臥X )通 常具備某些特征(特征與n)有關(guān)。在處理此類(lèi)問(wèn)題時(shí),要注意觀察解 析式中項(xiàng)的次數(shù),式子結(jié)構(gòu)以及系數(shù)的特點(diǎn),以便于從具體例子中尋 找到規(guī)律,得到f(n)(x )的通式(2)周期性:若尋找的規(guī)律呈現(xiàn)周期性,則可利用函數(shù)周期性(或數(shù)列周期性)的特點(diǎn)求出某項(xiàng)或分組(按周期分組)進(jìn)行求和。(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式(求和公式)
3、:從數(shù)列所給的條件中,很難利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行變形推導(dǎo),從而可以考慮利用條件先求出幾項(xiàng),然后找 到規(guī)律,猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式(求和公式)(4)數(shù)陣:由實(shí)數(shù)排成一定形狀的陣型(如三角形,矩形等),來(lái)確 定數(shù)陣的規(guī)律及求某項(xiàng)。對(duì)于數(shù)陣首先要明確“行”與“列”的概念。橫向?yàn)椤靶小保v向?yàn)椤傲小?,在?xiàng)的表示上通常用二維角標(biāo) aij進(jìn)行表示,其中i代表行,j代表列。例如:a34表示第3行第4列。在題目中經(jīng) 常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于某個(gè)數(shù)的位置問(wèn)題,解決的方法通常為先抓住選取數(shù)的 特點(diǎn),確定所求數(shù)的序號(hào),再根據(jù)每行元素個(gè)數(shù)的特點(diǎn)(數(shù)列的通項(xiàng)), 求出前n行共含有的項(xiàng)的個(gè)數(shù),從而確定該數(shù)位于第幾行,然后再根據(jù) 數(shù)之間的規(guī)律確
4、定是該行的第幾個(gè),即列。(二)類(lèi)比推理:1、類(lèi)比推理:由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征,推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理,稱(chēng)為類(lèi)比推理(簡(jiǎn) 稱(chēng)類(lèi)比)2、常見(jiàn)的類(lèi)比類(lèi)型及處理方法:(1)運(yùn)算的類(lèi)比:通常是運(yùn)算級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng): 加法乘法, 數(shù)乘(系數(shù)與項(xiàng)的乘法)指數(shù)幕 減法除法(2)運(yùn)算律的類(lèi)比:在數(shù)學(xué)中的其它領(lǐng)域,如果滿(mǎn)足加法,乘法的交換律,以及乘法的分配律,則代數(shù)表達(dá)式部分運(yùn)算公式可推廣到該領(lǐng)域中。例如 在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,滿(mǎn)足交換律與分配律,則:代數(shù)中的平方差公式:a2-b2 =(a + b)(a-b),和差完全平方公式:(a ±b)= a2 ±2a
5、b +b2均可推廣到向量數(shù)量積中:),斗 彳2 彳2 彳4 牡(a ±b ) =a ±2a b +b在復(fù)數(shù)的運(yùn)算中,滿(mǎn)足交換律與分配律,則實(shí)數(shù)中的運(yùn)算公式可推 廣到復(fù)數(shù)中(甚至是二項(xiàng)式定理)(3) 等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比:等差數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著一,二 級(jí)運(yùn)算(加減,數(shù)乘),等比數(shù)列的性質(zhì)通常伴隨著二,三級(jí)運(yùn)算(乘 除,乘方)。所以在某些性質(zhì)中體現(xiàn)出運(yùn)算上的類(lèi)比。例如:設(shè) 屛為等差數(shù)列,公差為d ; bj為等比數(shù)列,公比為q,則遞推公式:忙q-12 -通項(xiàng)公式:雙項(xiàng)性質(zhì):an =ai +(n -1 )d bn = bi d,m+n=p +q 二 am+an=ap+aq m
6、 + n = p +qu tmbn = bpbq等間隔取項(xiàng),在數(shù)列匕,bn沖等間隔的取項(xiàng): 則aki 2,川akm,|)|成等差數(shù)列bki,bk2|bkm川 成等比數(shù)列(4) 維度的類(lèi)比:平面幾何(二維)的結(jié)論與立體幾何(三維)的結(jié) 論進(jìn)行類(lèi)比,當(dāng)維度升高時(shí),涉及的要素也將維度升高,例如: 位置關(guān)系:平面中的線的關(guān)系空間中的面的關(guān)系,線所成的角線 面角或二面角, 度量:線段長(zhǎng)度圖形的面積,圖形面積幾何體體積,點(diǎn)到線的距離點(diǎn)到平面距離 衍生圖形:內(nèi)切圓內(nèi)切球,外接圓外接球,面對(duì)角線體對(duì)角(5)平面坐標(biāo)與空間坐標(biāo)的類(lèi)比:平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)(x,y)空間直 角坐標(biāo)系坐標(biāo)(x,y,z),在有些坐標(biāo)運(yùn)算
7、的問(wèn)題中,只需加上豎坐標(biāo)的運(yùn) 算即可完成推廣,例如: 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式: 平面:設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2 ),則AB中點(diǎn)m 迸產(chǎn),答里空間:設(shè) A(xi,yi,Zi )B(X2,y2,Z2 ),則 AB 中點(diǎn) M; X2, yi ; y2, Zi ;z2兩點(diǎn)間距離公式:平面:設(shè) A(Xi,yi ),B(X2,y2 ),則 |AB空間:設(shè) A(Xi,yi,Zi )B(X2,y2,Z2 ),貝HAB/ 2 2= V(xi - X2)中(yi - y2)/ 2 2 2 =V(xi X2)中(yi y2) +(zi Z2)3、同一個(gè)命題,不同的角度類(lèi)比得到的結(jié)論可能不同,通常類(lèi)比只是提供一個(gè)
8、思路與方向,猜想出一個(gè)命題后通過(guò)證明才能保證其正確。在有關(guān)類(lèi)比的題目中通常選擇正確的命題作為類(lèi)比的結(jié)論 二、典型例題:已 知 f(x) = W efi(X)= f '(X ) f2(X )= fi(xd|, fn4t(X)= fn(X)fi ( )=x eX , ( 2 f = e",)3斟*照此X規(guī)律,貝y f20i5(i) =D.AcX. 20i4A. -20i5B. 20i5C. e2014e思路:由定義可知:fn(X )即為fn二(X )的導(dǎo)函數(shù),通過(guò)所給例子的結(jié)果可以推斷出 fn(X)=(1,從而 f2015(X) =e2015 X r匚r A 2014 ,所以 f
9、2015(1) =e答案:C例2:蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師,單個(gè)蜂巢可以近似的看作是一個(gè)正六邊形,如圖為一組蜂巢的截面圖,其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢,第二個(gè)圖有7 °個(gè)蜂巢,第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢,按此規(guī)律,第六幅圖的蜂巢總數(shù)為(A. 61B. 90 C. 91 D. 127思路:從所給圖中可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)圖可以視為在前一個(gè)圖的基礎(chǔ)上, 外面 圍上一個(gè)正六邊形,且這個(gè)正六邊形的每條邊有 n個(gè)小正方形,設(shè)第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)為f(n ),則可知f(n )比f(wàn) (n-1)多的蜂巢數(shù)即為外圍的 蜂巢數(shù)。即6n-6 (每條邊n個(gè),其中頂點(diǎn)被計(jì)算了兩次,所以要減6), 所以有f(n )-f(n-
10、1) = 6(n-1),聯(lián)想到數(shù)列中用到的累加法,從而由 f(n)-f(1) = 6x( n-1)+( n-2 )+川+1 = Bn2-3n,且 f(1)=1 貝 U f (n ) = 3n2 -3n +1。代入 n =6可得 f (6 ) = 3 ”62 -3 6+1 = 91答案:C例3 :將正整數(shù)排成數(shù)陣(如圖所示),則數(shù)表中的數(shù)字2014出現(xiàn)在A.第44行第78列B.78列第45行第'23561() I I47 K 耳12 13 14 15 |<>C.第44行第77列D.第45行第77列思路:從數(shù)陣中可發(fā)現(xiàn)每一行的末尾均為一個(gè)完全平方數(shù),即第k行最 后一個(gè)數(shù)為k2,
11、所以考慮離2014較近的完全平方數(shù):442 =1936,452 =2025,所以2014位于第45行,因?yàn)?936是第44行的最后一個(gè)數(shù),所以2014為第45行中第(2014 1936)=78個(gè)數(shù),即位于第45 行第78列 答案:Ba b C ”,若把該結(jié)論推廣到空間,則結(jié)論為:“在三棱錐例4 :已知結(jié)論:“在L ABC中,各邊和它所對(duì)角的正弦比相等,即 sinA si nB sinCA-BCD中,側(cè)棱AB與平面ACD,平面BCD所成的角為 gP,則有A.BC ADAD BCsin a sin PB.- nsi na si nPC.SlbCDSACDS ACD S BCDsin a sin P
12、D.sin n3思路:本題為維度推廣題,平面中的線段所成的夾角推廣為線面角, 所以可將正弦定理的邊長(zhǎng)(一維度量)類(lèi)比推廣為面積(二維度量) 正弦定理中為角所對(duì)的邊長(zhǎng),則在三棱錐中推廣為線面角所對(duì)的側(cè)面 面積,即a所對(duì)的側(cè)面為平面BCD , P所對(duì)的側(cè)面為平面ACD,所以猜 測(cè) 注=逸,再考慮證明其正確性。證明過(guò)程如下:sina sin P證明:分別過(guò)B,A作平面ACD,平面BCD的垂線,垂足分別為 E,F 由線面角的定義可知:NBAE =a,NABF = P1 1 ./. Vb acd =,S|acd "BE = S acd "AB "Sinet -3 L3 -1
13、1同理:二 Vaacd =3 Sbcd IE = 3 bcd AB sin P3311二-Slacd AB sina =- “S bcd AB sin P = Sacd sina = S bcd sin P 33二注得證sin a sin P答案:C 例5:三角形的面積S=1(a+b+c)r,其中a,b,c為其邊長(zhǎng),r為內(nèi)切圓 半徑,利用類(lèi)比法可以得出四面體的體積為(A. V+S2+S3 + 3 )(其中Si +S2 + S3+S4分別為四個(gè)面的面積,r2為內(nèi)切球的半徑)B. V=S'h( S為底面面積,h為四面體的高)3C. V =1(S, +S2 +S3 +S4 ”r (其中Si
14、+S2 +S3 +S4分別為四個(gè)面的面積,r為3內(nèi)切球的半徑)1D. V =-(ab + bc+ac)、h ( a,b,c為底面邊長(zhǎng),h為四面體的高)3思路:本題為維度題,在三角形中,面積依靠?jī)?nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)求解。則在四面體中,內(nèi)切圓類(lèi)比成內(nèi)切球,邊長(zhǎng)類(lèi)比為面積。所以四面體 的體積與內(nèi)切球半徑與各面面積相關(guān),即在 A, C中挑選??紤]在三角形中,可通過(guò)連接內(nèi)心與各頂點(diǎn),將三角形分割為三個(gè)小三角形,底邊為各邊邊長(zhǎng),咼均為半徑r ,所以面積S=1(a+b + c)T ,其中系數(shù)-來(lái)2 2源于三角形面積公式。進(jìn)而類(lèi)比到四面體中,可通過(guò)連接內(nèi)切球的球 心與各頂點(diǎn),將四面體分割為 4個(gè)小四面體,以各面為
15、底面,內(nèi)切球 半徑為高。從而心(心+5+$4円。系數(shù)2來(lái)源于棱錐體積公式答案:C 例6:若數(shù)列aj是等比數(shù)列,且an aO ,則數(shù)列0=曲&川£n(n迂W)也 是等比數(shù)列.若數(shù)列%是等差數(shù)列,可類(lèi)比得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè) 性質(zhì)為(B. h/g+iiz是等差數(shù)A. 0嚴(yán)2川an是等差數(shù)列nC. bn =妬利"0?是等差數(shù)列D. bn =廠川藥是等差數(shù)思路:考慮在等比數(shù)列中,很多性質(zhì)為應(yīng)用二三級(jí)運(yùn)算(乘除法,乘方開(kāi)方),至打等差數(shù)列中,很多性質(zhì)可類(lèi)比為一二級(jí)運(yùn)算(加減,數(shù)乘)。在本題中所給等比數(shù)列用到了乘法與開(kāi)方,所以可聯(lián)想到類(lèi)比等差數(shù)列,乘法運(yùn)算對(duì)應(yīng)類(lèi)比為加法,開(kāi)方運(yùn)
16、算對(duì)應(yīng)類(lèi)比為除法。所以 該性質(zhì)為:若數(shù)列a,是等差數(shù)列,則d=ai+比+川+an是等差數(shù)列。這個(gè)命題是正確的,證明如下:證明:設(shè)等差數(shù)列l(wèi)aj的公差為d,貝Jbn十弋 /宀2 Eg +時(shí)aWliZnn +1nn(ai +a2 +tH+an +an4t )-(n +1 丫 g +a2+可)n( n +1)nan十但1 +a2 + HI+an ) (an-g )+(an -a1)+l|+(an41-an)n(n +1 )n(n +1)Tn 為等差數(shù)列二 an+ -ai =(n +1 -i )d,(i =1,2,|H,n )n(n +1)n (n +1)-侃為公差是2的等差數(shù)列n(n +1)n(n+
17、1)2n d+( n- 1)d+)| + d d(1+2+H)十 n) d2d答案:B 例7:對(duì)于大于1的自然數(shù)m的三次幕可用奇數(shù)進(jìn)行一下方式的“分裂”:2= 5 + , 33 =7 +9 +11 , 43 =13 + 15+17 +19 ,,仿此,若 m3 的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是61,則m的值是(A. 6B. 7C. 8D. 9 思路:觀察這幾個(gè)等式不難發(fā)現(xiàn)以下特征:(1)n3可分解為n個(gè)連續(xù)奇 數(shù)的和,(2)從23開(kāi)始這些奇數(shù)是按3,5,7,9川 順次排列的。所以在第n 個(gè)數(shù)時(shí),所用的奇數(shù)的總數(shù)為2+3+川+=5+2"-1)個(gè)。從3開(kāi)始算起,61是第罟十30個(gè)奇數(shù)。當(dāng)n=7,可知
18、所用的奇數(shù)總數(shù)為27個(gè),當(dāng)n =8,可知所用的奇數(shù)總數(shù)為35個(gè)。所以m =8答案:C例&從1開(kāi)始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng),使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi),則1234%67S9W金1415詢(xún)1720A232427282932333435托373940這九個(gè)數(shù)的和可以為(A. 2097 B. 2112C. 2012 D. 2090思路:當(dāng)三角形在移動(dòng)時(shí),觀察其規(guī)律,內(nèi)部的數(shù)如果設(shè)第一行的數(shù)為,則第二行的數(shù)為a+7,a+8,a+9,其和為3(a+8),第三行的數(shù) 為a+ 14,a +15,a+16,a+17,a+18,其和為5(a + 16),所以這
19、九個(gè)數(shù)的和為S=a+3(a+8)+5(a+16)= 9a+104,代入到各個(gè)選項(xiàng)中看能否算出a即可。通過(guò)計(jì)算可得:9a +104 = 2012時(shí),a = 212符合題意答案:C例9 :某種游戲中,黑,白兩個(gè)“電子狗”從棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD - ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā),沿棱向前爬行,每爬完一條棱稱(chēng)為“爬完一段”,黑“電子狗”爬行的路線是AA,t ADiT i 11 ,白“電子狗”爬 行的路線是ABt BB ) H,它們都遵循如下規(guī)則:所爬行的第i+2段與第i段所在直線必須是異面直線(其中 飛屮),設(shè)黑“電子狗”爬完優(yōu)白“電子狗”爬完優(yōu)質(zhì)試題段后各自停止在正方體的某個(gè) 頂點(diǎn)處,這時(shí)黑、白“電子狗”質(zhì)試題段,2間的距離是a_"tBi思路:首先根據(jù)題目中所給規(guī)則,觀察“電子狗”所走路徑的規(guī)律。會(huì)發(fā)現(xiàn)黑“電子狗”所走的路線為 AAt ADjT DQt GCt CBt ba,然后周而復(fù)始,以6為周期;白“電子狗”
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