常微分方程試題及答案B

1、課程名稱: 2008至2009學(xué)年常微分方程第2學(xué)期）考試時(shí)間:120分鐘課程代碼:7106740試卷總分:100 分一、選擇題（每小題2分共10分）微分方程 y In+ (x - In y)dy = 0 是(（A）可分離變量方程（B線性方程（C）全微分方程（D）貝努利方程2、方程x（y-l） + y（x-i）dy = 0的所有常數(shù)解是（(A)y = hx = l(B)y = 1 (C)x = l(D) x = ,y =方程空=低二亍+ 2 （）奇解.dv（A）有三個(gè)（B）無(wú)（C）有一個(gè)一階線性非齊次微分方程組的任兩個(gè)非零解之差（A）不是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程組的解（B）（C）是其對(duì)應(yīng)齊次微分方程

2、組的解（D耳階線性齊次微分方程的任意” +1個(gè)解必（A）可組成一個(gè)基本解組（C）朗斯基行列式恒不為0二、填空題（每空2分 共10分3、4、5、（D）有兩個(gè)是非齊次微分方程組的解 是非齊次微分方程組的通解CB）線性相關(guān)（D）線性無(wú)關(guān)1、X 時(shí)，方程Mx.y）dx+N（x-y）dy=0稱為恰當(dāng)方程，或稱全微分方程.2、求字才（戈,刃滿足俠旺）=兒的解等價(jià)于求積分方程的連續(xù)解。3、若（“勺勺為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是.的特解.4、微分方程y + 2y + 2y = 07cos犬，它有形如 5、函數(shù)組R疋7,，的伏朗斯基行列式為三、計(jì)算題（每小題8分共40分）1、求方程4x-

3、y-dx + 2xy-)dy = 0的通解。2、求微分方程g的解.ax x + y3、解方程s (2;v+2y l)cZ+(x+y 2)c/y = 04、求方程（3? +護(hù)_1 = 0的奇解（ix5.(X + 2y)dx - xdy = 0四、（10分）求下列高階微分方程的通解5、求下列微分方程組的通解-4-1014-8 -2）一、選擇題4. C 5.B1. B 2. B 3. B二、填空題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：-警1=警2 2、yp+m，Moydx如3、wXi(X2(fJ兀衛(wèi))工04 Z（AcosZ + BsinZ） （人8為常數(shù)）5.-e2e-4K三-計(jì)算題 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：_解：塑： =更=6心

4、dydx積分因子“(y) = e（2分）cM dNdy dx-M兩邊同乘以(y)后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：4?yTdx+2yr(xb-l)dy = 0 2 4 2 = M=4x2y3兩邊積分得:u=-xy- +p（y（4分）dx3aI J=2xy- +-1=02p = 0消去p得/ = ! HPy = 1所以方程的通解為y = sm(x + c),所以y = l是方程的奇解5、解：方程化為空=1+2上dxX令y = xu.則 = ti + xf代入上式，得dxdxdw -X = 1 +“dLv分量變量，積分，通解為H =Cx 原方程通解為y = Cx -X四、求下列高階微分方程的通解(10分)解 /

5、t-2/l + 3 = O,齊次方程的通解為x=R (q cos姻+ 5 sin 75z)2 = -1 /不是特征根，故取x = (Acosr + BsinzK54代入方程比較系數(shù)得A=, B=-414154于是 X =(costsin414110分通解為 X二” (Cj cos V2z + c, sin 運(yùn)f)+右(5cosf-4sinF)eT六、求下列微分方程組的通解(每小題10分 共20分) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本大題共2小題，每小題10分，總計(jì)20分(1)(1)解：dct(AE-A)=2-1-4-2A-3=，-41-5 = 01分所以.人=-1, 人=5設(shè)人=-1對(duì)應(yīng)的特征向量為片III-2-4-2-4V| =0 可得片=Z01一1丿/同理取卩2 =12丿r 5f20丿10分3 兄1 0 )(2)解：1|A-Z| =-41 兄10、4-8 -2-2 )所以，e(f)二入=3 = 1，0-t=(幾一1). (/1 +2) = 0 , 1分o人=一2, ill (4 + E) w=0得特征向量“10= 03、4j= = 1, ill (A-E)勺=0,得特征向量坷0 =-7