余弦定理知識(shí)講解_基礎(chǔ)

1、余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法；2 .熟記余弦定理及其變形形式，會(huì)用余弦定理解決兩類基本解三角形問(wèn)題；3 .通過(guò)三角函數(shù)，余弦定理，向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系，理解事件之間的聯(lián)系與辨證統(tǒng)一的關(guān)系 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、學(xué)過(guò)的三角形知識(shí)1. ABC 中(1) 一般約定：ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、(2) A B C 1800;(3)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，即 B C b c;等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，即 B C b c；(4)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即a c b, a c b.2. Rt ABC 中， C 90°,(1) B

2、A 90°,222(2) a b c.一 ab(3) sin A - , sin B - , sinC 1； cc“bacosA一,cosB一, cosC 0cc要點(diǎn)詮釋：初中討論的三角形的邊角關(guān)系是解三角形的基本依據(jù) 要點(diǎn)二、余弦定理及其證明 三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即:a2 b2 c2 2bccosAb2 a2 c2 2ac cosBc2 a2 b2 2abcosC余弦定理的推導(dǎo)已知： ABC中，BC a, AC b及角C ,求角C的對(duì)應(yīng)邊c.證明：方法一：向量法(1)銳角 ABC中(如圖)，uuur uuu uuir. AC

3、 CB AB ,uuu uuuuuur uuu uuur uuuAB AB (AC CB)(AC CB)uuur 2 uuu uuur uuu2AC 2CB AC CBuuur 2 uuur uuuruur 2| AC | 2|CB | | AC |cos( C) |CB |b2 2ba cosC a222. 2即：c a b 2abcosC(*)同理可得:,2222,22b a c 2accosB, a b c 2bccos A要點(diǎn)詮釋:(1)推導(dǎo)(*)中,uuur uuuAC與CB的夾角應(yīng)通過(guò)平移后得到，即向量的起點(diǎn)應(yīng)重合，因此ujur uuuAC與CB的夾角應(yīng)為C ,而不是C.(2)鈍角

4、三角形情況與銳角三角形相同。(3)對(duì)于直角三角形中 C 時(shí)，cosC 0, c2 a2 b2,也滿足余弦定理。 2方法二：解析幾何方法 一一利用兩點(diǎn)間距離公式這里我們只討論銳角三角形的情形，對(duì)于直角三角形和鈍角三角形的情形的討論相同。如圖所示建立坐標(biāo)系.則點(diǎn) A(0,0) , B(c,0) , C(bcosA,bsin A)由B、C兩點(diǎn)間的距離可知，| BC | J(bcosA c)2 (bsinA 0)2即 ab2 c2 2bccosA整理得到 a2 b2 c2 2bccosA.余弦定理的變形公式:22a b ccosA 2bc2 a 一，cosB2ac,cosC2ab要點(diǎn)三、利用余弦定理解

5、三角形1 .利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問(wèn)題:已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角;已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角。要點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一2.解斜三角形的基本問(wèn)題:已知條件解法解的情況一邊和兩角（例如 a,B,C）1,利用 A+B+C=180 ,求 A2.應(yīng)用正弦定理求 b,c唯一解兩邊和夾角（例如 a,b,C）1 .應(yīng)用余弦定理求邊 c2 .應(yīng)用正弦定理求 a,b中較短的邊所對(duì)的角（該角一定是銳角）3 .利用 A+B+C=180 ,求第三個(gè)角.唯一解三邊（例如 a,b,c）法一 :1、應(yīng)用余弦定理先求任意兩個(gè)角2.用A

6、+B+C=180 ,求第三個(gè)角法一 :1、應(yīng)用余弦te理求 a,b,c中取k邊所對(duì)的角2、應(yīng)用正弦定理求余下兩個(gè)角中的任個(gè)（該角一定是銳角）3、利用 A+B+C=180 ,求第三個(gè)角唯一解兩邊及其中一 邊的對(duì)角（例 如 a,b,A）此類問(wèn)題首先要討論解的情況1.應(yīng)用正弦定理，求另一邊的對(duì)角（即角B）2、利用 A+B+C=180 ,求第三個(gè)角3、應(yīng)用正弦或余弦定理求第三邊兩解、一解或無(wú)解要點(diǎn)詮釋：對(duì)于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時(shí)要注意對(duì)解的 討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來(lái)對(duì)解進(jìn)行討論。此外，有的時(shí)候還要對(duì)邊角關(guān)系（例如，大邊

7、對(duì)大角）進(jìn)行討論從而舍掉不合理的解。要點(diǎn)三、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀余弦定理、正弦定理與三角形中的三角變換結(jié)合在一起，運(yùn)用三角函數(shù)的變換公式進(jìn)行三角函數(shù)式的 變形轉(zhuǎn)化，在三角形中，解決有關(guān)含有邊角關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，可以運(yùn)用余弦定理完成邊角互化，通過(guò)變形轉(zhuǎn) 化成三角形三邊之間的關(guān)系，判斷三角形的形狀 判斷三角形形狀有兩條思考路線：其一是化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三個(gè)角之間的關(guān)系式;其二是化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系式，兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理.【典型例題】類型一：余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用：例1. (2016春 鹽城校級(jí)期中)已知 ABC中，如果sin A:s

8、inB:sinC 5:6:8 ,那么此三角形最 大角的余弦值是?！舅悸伏c(diǎn)撥】首先依據(jù)大邊對(duì)大角確定要求的角，然后用余弦定理求解【解析】Q sin A:sinB:sinC 5:6:8 ,由正弦定理可知 a:b:c 5:6:8,令a 5,b 6,c 8 ,所以邊c對(duì)應(yīng)的角最大a2 b2 c225 36 641cosC 一2ab 2 5 620【總結(jié)升華】1. ABC中，若知道三邊的長(zhǎng)度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2 .用余弦定理時(shí)，要注意公式中的邊角位置關(guān)系舉一反三：【變式11(2015廣東)設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.若a=2, c 2J3 , co

9、s ,2且 b v c,則 b=()A. 33B. 2C. 272D. 32 22232【答案】由余弦定理得：a=b+c 2bccosA,所以22 b2 2M 2 b 28 二，即b 6b+8=0,2解得：b=2或b=4,因?yàn)閎vc,所以b=2。故選：B.【變式2】在 ABC中，角A,B,C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,若a:b:c J6:2:(J3 1),求ABC的各角的大小.【答案】設(shè)a T6k,b2k,c V31k, k 06',3124.2根據(jù)余弦定理得：cosB _,2 3 1 、62 0o B 180°, B 45°同理可得A 60o； C 180o

10、A B 75o【高清課堂：余弦定理376695題一】【變式3】在ABC中，若2,2a b2c bc,則角A等于A.一3B.2C.3D.【答案】 bbc , cos A.222b c a2bc類型二：余弦定理的綜合應(yīng)用例2. （2015 陜西高考）ABC的內(nèi)角 ir ,=、A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量 m (a,J3b)rn (cos A,sin B)平行.(I)求 A;(II)若a 77,b 2求 ABC的面積.【答案】（I） A ；（II） 32ir r【思路點(diǎn)撥】（I）先利用m/n可得asinBJ3bcosA 0 ,再利用正弦定理可得 tan A的值，進(jìn)而可得A的值；（II）由

11、余弦定理可得 c的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式可得ABC的面積.irr_【解析】(I)因?yàn)閙/ n ,所以asin B J3bcosA 0由正弦定理，得 sin Asin B J3sinBcosA 0 ,又 sin B由于0所以A（II）解法一：由余弦定理，得a2 b2 c2 2bccosA 而 a J7,b 2 A 3得 7 4 c2 2c,即 c2 2c 3 0故 ABC面積為1bcsinA 正 22解法二：由正弦定理，得 -sin 32sin B從而sin B二17又由a b知A B ,所以cosB故 sinC sin(A B) sin(B )sin B cos- cosBsin 3.2

12、1143.32【變式1】（2016 北京高考文）在4ABC中,a= 3 c,貝U = c【答案】由正弦定理知snAsinC.2 sin sin C - 一3 、31 丁一,則C 一,所以26【變式2】在 ABC中，已知角A, B,C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，若a 2 , b 2衣，c 而 J2,求角A和sinC【答案】根據(jù)余弦定理可得:222a b c acosA 2bc一884上34 112 22,6 、22 , , 1所以ABC面積為1absinC2oo 0 A 180 ,A 30o【總結(jié)升華】本題考查平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)。csin A、，

13、6 ,2 sin30o.由正弦定理得：sinCa24類型三：判斷三角形的形狀例3.在4ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 試判斷該三角形的形狀.【思路點(diǎn)撥】本題可以用正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)成單一的邊的關(guān)系，然后判斷【解析】由正弦定理及余弦定理，得222sin A a 八 a b c-,cosC ,sin B b2ab所以2,22a a b c222 ，整理得，b2 c2b2ab因?yàn)閎 0,c 0,所以b c ,因此ABC為等腰三角形【總結(jié)升華】已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進(jìn)行 三角恒等變換求出三個(gè)角之間的關(guān)系式；其二化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式。舉一反三：【變式1】在 ABC中，若2cos Bsin A=sin C,則4 A