余弦定理知識講解_基礎

1、余弦定理【學習目標】1 .掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法；2 .熟記余弦定理及其變形形式，會用余弦定理解決兩類基本解三角形問題；3 .通過三角函數(shù)，余弦定理，向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系，理解事件之間的聯(lián)系與辨證統(tǒng)一的關系 【要點梳理】要點一、學過的三角形知識1. ABC 中(1) 一般約定：ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、(2) A B C 1800;(3)大邊對大角，大角對大邊，即 B C b c;等邊對等角，等角對等邊，即 B C b c；(4)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即a c b, a c b.2. Rt ABC 中， C 90°,(1) B

2、A 90°,222(2) a b c.一 ab(3) sin A - , sin B - , sinC 1； cc“bacosA一,cosB一, cosC 0cc要點詮釋：初中討論的三角形的邊角關系是解三角形的基本依據(jù) 要點二、余弦定理及其證明 三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即:a2 b2 c2 2bccosAb2 a2 c2 2ac cosBc2 a2 b2 2abcosC余弦定理的推導已知： ABC中，BC a, AC b及角C ,求角C的對應邊c.證明：方法一：向量法(1)銳角 ABC中(如圖)，uuur uuu uuir. AC

3、 CB AB ,uuu uuuuuur uuu uuur uuuAB AB (AC CB)(AC CB)uuur 2 uuu uuur uuu2AC 2CB AC CBuuur 2 uuur uuuruur 2| AC | 2|CB | | AC |cos( C) |CB |b2 2ba cosC a222. 2即：c a b 2abcosC(*)同理可得:,2222,22b a c 2accosB, a b c 2bccos A要點詮釋:(1)推導(*)中,uuur uuuAC與CB的夾角應通過平移后得到，即向量的起點應重合，因此ujur uuuAC與CB的夾角應為C ,而不是C.(2)鈍角

4、三角形情況與銳角三角形相同。(3)對于直角三角形中 C 時，cosC 0, c2 a2 b2,也滿足余弦定理。 2方法二：解析幾何方法 一一利用兩點間距離公式這里我們只討論銳角三角形的情形，對于直角三角形和鈍角三角形的情形的討論相同。如圖所示建立坐標系.則點 A(0,0) , B(c,0) , C(bcosA,bsin A)由B、C兩點間的距離可知，| BC | J(bcosA c)2 (bsinA 0)2即 ab2 c2 2bccosA整理得到 a2 b2 c2 2bccosA.余弦定理的變形公式:22a b ccosA 2bc2 a 一，cosB2ac,cosC2ab要點三、利用余弦定理解

5、三角形1 .利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題:已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角;已知三角形的三條邊，求其三個角。要點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一2.解斜三角形的基本問題:已知條件解法解的情況一邊和兩角（例如 a,B,C）1,利用 A+B+C=180 ,求 A2.應用正弦定理求 b,c唯一解兩邊和夾角（例如 a,b,C）1 .應用余弦定理求邊 c2 .應用正弦定理求 a,b中較短的邊所對的角（該角一定是銳角）3 .利用 A+B+C=180 ,求第三個角.唯一解三邊（例如 a,b,c）法一 :1、應用余弦定理先求任意兩個角2.用A

6、+B+C=180 ,求第三個角法一 :1、應用余弦te理求 a,b,c中取k邊所對的角2、應用正弦定理求余下兩個角中的任個（該角一定是銳角）3、利用 A+B+C=180 ,求第三個角唯一解兩邊及其中一 邊的對角（例 如 a,b,A）此類問題首先要討論解的情況1.應用正弦定理，求另一邊的對角（即角B）2、利用 A+B+C=180 ,求第三個角3、應用正弦或余弦定理求第三邊兩解、一解或無解要點詮釋：對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時要注意對解的 討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對解進行討論。此外，有的時候還要對邊角關系（例如，大邊

7、對大角）進行討論從而舍掉不合理的解。要點三、利用正、余弦定理判斷三角形的形狀余弦定理、正弦定理與三角形中的三角變換結合在一起，運用三角函數(shù)的變換公式進行三角函數(shù)式的 變形轉化，在三角形中，解決有關含有邊角關系的問題時，可以運用余弦定理完成邊角互化，通過變形轉 化成三角形三邊之間的關系，判斷三角形的形狀 判斷三角形形狀有兩條思考路線：其一是化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關系式;其二是化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關系式，兩種轉化主要應用正弦定理和余弦定理.【典型例題】類型一：余弦定理的簡單應用：例1. (2016春 鹽城校級期中)已知 ABC中，如果sin A:s

8、inB:sinC 5:6:8 ,那么此三角形最 大角的余弦值是。【思路點撥】首先依據(jù)大邊對大角確定要求的角，然后用余弦定理求解【解析】Q sin A:sinB:sinC 5:6:8 ,由正弦定理可知 a:b:c 5:6:8,令a 5,b 6,c 8 ,所以邊c對應的角最大a2 b2 c225 36 641cosC 一2ab 2 5 620【總結升華】1. ABC中，若知道三邊的長度或三邊的關系式，求角的大小，一般用余弦定理；2 .用余弦定理時，要注意公式中的邊角位置關系舉一反三：【變式11(2015廣東)設 ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.若a=2, c 2J3 , co

9、s ,2且 b v c,則 b=()A. 33B. 2C. 272D. 32 22232【答案】由余弦定理得：a=b+c 2bccosA,所以22 b2 2M 2 b 28 二，即b 6b+8=0,2解得：b=2或b=4,因為bvc,所以b=2。故選：B.【變式2】在 ABC中，角A,B,C所對的三邊長分別為 a,b,c,若a:b:c J6:2:(J3 1),求ABC的各角的大小.【答案】設a T6k,b2k,c V31k, k 06',3124.2根據(jù)余弦定理得：cosB _,2 3 1 、62 0o B 180°, B 45°同理可得A 60o； C 180o

10、A B 75o【高清課堂：余弦定理376695題一】【變式3】在ABC中，若2,2a b2c bc,則角A等于A.一3B.2C.3D.【答案】 bbc , cos A.222b c a2bc類型二：余弦定理的綜合應用例2. （2015 陜西高考）ABC的內(nèi)角 ir ,=、A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量 m (a,J3b)rn (cos A,sin B)平行.(I)求 A;(II)若a 77,b 2求 ABC的面積.【答案】（I） A ；（II） 32ir r【思路點撥】（I）先利用m/n可得asinBJ3bcosA 0 ,再利用正弦定理可得 tan A的值，進而可得A的值；（II）由

11、余弦定理可得 c的值，進而利用三角形的面積公式可得ABC的面積.irr_【解析】(I)因為m/ n ,所以asin B J3bcosA 0由正弦定理，得 sin Asin B J3sinBcosA 0 ,又 sin B由于0所以A（II）解法一：由余弦定理，得a2 b2 c2 2bccosA 而 a J7,b 2 A 3得 7 4 c2 2c,即 c2 2c 3 0故 ABC面積為1bcsinA 正 22解法二：由正弦定理，得 -sin 32sin B從而sin B二17又由a b知A B ,所以cosB故 sinC sin(A B) sin(B )sin B cos- cosBsin 3.2

12、1143.32【變式1】（2016 北京高考文）在4ABC中,a= 3 c,貝U = c【答案】由正弦定理知snAsinC.2 sin sin C - 一3 、31 丁一,則C 一,所以26【變式2】在 ABC中，已知角A, B,C所對的三邊長分別為a,b,c，若a 2 , b 2衣，c 而 J2,求角A和sinC【答案】根據(jù)余弦定理可得:222a b c acosA 2bc一884上34 112 22,6 、22 , , 1所以ABC面積為1absinC2oo 0 A 180 ,A 30o【總結升華】本題考查平行向量的坐標運算、正弦定理、余弦定理與三角形的面積公式等基礎知識。csin A、，

13、6 ,2 sin30o.由正弦定理得：sinCa24類型三：判斷三角形的形狀例3.在4ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 試判斷該三角形的形狀.【思路點撥】本題可以用正弦定理、余弦定理化簡成單一的邊的關系，然后判斷【解析】由正弦定理及余弦定理，得222sin A a 八 a b c-,cosC ,sin B b2ab所以2,22a a b c222 ，整理得，b2 c2b2ab因為b 0,c 0,所以b c ,因此ABC為等腰三角形【總結升華】已知三角形中的邊角關系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進行 三角恒等變換求出三個角之間的關系式；其二化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關系式。舉一反三：【變式1】在 ABC中，若2cos Bsin A=sin C,則4 A