四邊形證明題及綜合題

1、1、已知：如圖，在正方形(1)求證：BE = DF ;(2)聯(lián)結(jié)AC交EF于點(diǎn)四邊形證明題及綜合題ABCD中，點(diǎn) E、F分別在邊 BC和CD上，/ BAE = /DAF.O,延長(zhǎng) OC至點(diǎn)M,使OM = OA,聯(lián)結(jié)EM、FM.求證：四邊形 AEMF是菱形.圖)E、2、如圖8,已知梯形 ABCD中，AD / BC ,1邊 BC 上，且 bf -(AD BC) .(1)求證：四邊形 AEFG是平行四邊形；(2)聯(lián)結(jié)af，若AG平分 FAD, 求證：四邊形AEFG是矩形.3、如圖，在等腰梯形 ABCD 中，/ C=60° , AD / BC,且 AD=AB=DC , E、F 分別在 AD、

2、 DC的延長(zhǎng)線上，且 DE=CF , AF、BE交于點(diǎn)P。(1)求證：AF=BE ;(2)請(qǐng)猜測(cè)/ BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論。4、如圖，在矩形 ABCD中，BM± AC, DN ±AC, M、N是垂足.(1)求證：AN=CM;(2)如果AN=MN=2,求矩形 ABCD的面積.5.如圖.在平行四邊形 ABCD中，。為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn) E為線段BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),1 _且CE -BC.過點(diǎn)E作EF / CA ,交CD于點(diǎn)F ,聯(lián)結(jié)OF . 2(1)求證：OF / BC；(2)如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形并給出證明.CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) H,點(diǎn)M是CG的中點(diǎn).求證：

3、(1) BM/GH ;(2)BMXCF.(第6題)7.已知：如圖,AE/ BF, AC平分/ BAD,交BF于點(diǎn)C, BD平分/ ABC,交AE于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)CD.求證:四邊形ABCD是菱形.6、如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊 AB、AD的中點(diǎn)，DE與CF相交于G, DE、8 .如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊 AB、AD的中點(diǎn)，DE與CF相交于G,DE、CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) H ,點(diǎn)M是CG的中點(diǎn).求證：(1) BM /GH (2)BM CF9 .已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC, AB=CD,點(diǎn)E、F在邊BC上，BE=CF, EF=AD.求證：四邊形AEFD

4、是矩形.10 .如圖，在 DABCD中，E、F分別為邊 ABCD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過 A點(diǎn)作AG/DB 交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：DE / BF;(2)若/ G= 90 ,求證：四邊形 DEBF是菱形.11.已知：如圖，在梯形ABCD 中，AD/BC, BC=2AD , ACAB,點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn)，DE的延長(zhǎng)線與邊BC相交于點(diǎn)F.求證：四邊形 AFCD是菱形.12.(本題共2小題，每小題6分，滿分12分)已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC,點(diǎn)E、 且四邊形AEFD是平行四邊形.(1)試判斷線段 AD與BC的長(zhǎng)度之間有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)現(xiàn)有三

5、個(gè)論斷： AD = AB;/ B +/C(第11題圖)F 在邊 BC 上，DE / AB, AF /CD,=90 ；/B=2/C.請(qǐng)從上述三個(gè)論斷中選擇一個(gè) 論斷作為條件，證明四邊形 AEFD是菱形.13.已知：如圖，矩形紙片 ABCD的邊AD=3, CD=2,點(diǎn)P是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與 點(diǎn)C重合，把這張矩形紙片折疊，使點(diǎn) B落在點(diǎn)P的位置上，折痕交邊 AD與點(diǎn)M ,折痕 交邊BC于點(diǎn)N .(1)寫出圖中的全等三角形.設(shè)CP=x , AM= y ,寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試判斷/ BMP是否可能等于90° .如果可能，請(qǐng)求出此時(shí) CP的長(zhǎng)；如果不可能，請(qǐng) 說明理由.14、已

6、知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、C不重合)， 過點(diǎn)P作PEXPB , PE交射線DC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EFLAC,垂足為點(diǎn) F.(1)當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)(如圖10),求證：PB=PE ;在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個(gè)不變的值，若變化，試說明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述(1)中的結(jié)論是否仍然成立(只需寫出結(jié)論，不需要證明)；(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，/PEC能否為等腰三角形？如果能，試求出AP的長(zhǎng)，如果不能，試說明理由.15、如圖，直線yJ3x 4#與x軸相交于點(diǎn)A,與

7、直線y T3x相交于點(diǎn)P.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)請(qǐng)判斷 OPA的形狀并說明理由.(3)動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著 O PA的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)(E不與點(diǎn)O、A重合)，過點(diǎn)E分別作EF x軸于F , EB y軸于B.設(shè)運(yùn)動(dòng) t秒時(shí)，矩形EBOF與 OPA重疊部分的面積為 S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.16 .已知：如圖，梯形 ABCD中，AD / BC , A 90 , C 45 , AB AD 4. E 是直線AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE ,過點(diǎn)E作EF BE交直線CD于點(diǎn)F .聯(lián)結(jié)BF .(1)若點(diǎn)E是線段AD上一點(diǎn)(與點(diǎn) A、D不重合)，(如圖1所示)求證：BE EF .設(shè)D

8、E x, BEF的面積為y ,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域.(2)直線AD上是否存在一點(diǎn) E,使4 8£5是 ABE面積的3倍，若存在，直接寫出 DE 的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.17 .已知：。為正方形 ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn) E在邊CB的延長(zhǎng)線上，聯(lián)結(jié) EO , OF ±OE交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF （如圖4）。(1)求證：EO=FO;（2） 若正方形的邊長(zhǎng)為 2, OE=2OA,求BE的長(zhǎng);(3)FiOEi,使得/ BOEi = 30 時(shí),當(dāng)OE=2OA時(shí)，將 FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 猜想并證明 AOEi是什么三角形。圖1圖218.（本題滿分1

9、0分，第（1）小題3分，第（2）小題4分，第（3）小題3分）如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD的延長(zhǎng)線上，且 EAXCF,垂足為H,AE與CD相交于點(diǎn)G .（1）求證：AG=CF;（2）當(dāng)點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)時(shí)（如圖 1）,求證：FC=FE;（3）如果正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,當(dāng)EF = EC時(shí)（如圖2）,求DG的長(zhǎng).答案1,證明：（1） ,.正方形 ABCD, AB=AD , Z B =/D=90° （2 分）/ BAE = / DAFABEAADF （1 分）BE = DF （2 分）（2） ,.正方形 ABCD, ./ BAC =/DAC （1 分）. /BAE

10、 = /DAF ./EAO =/FAO （1 分）ABEAADF . AE = AF （1 分）EO=FO , AO ± EF （2 分）. OM = OA 四邊形AEMF是平行四邊形 （1分）AOXEF 二.四邊形 AEMF是菱形（1分）2. （ 1）證明：聯(lián)結(jié)EG,梯形ABCD中，AD / BC ,且E、G分別是AB、CD的中點(diǎn)，1 EG/BC,且 EG 1（AD BC），（2 分）1又 BF 1（AD BC）EG = BF. （1 分）四邊形AEFG是平行四邊形.（2分）（2）證明：設(shè)AF與EG交于點(diǎn)O, EG/AD, . DAG=Z AGEAG 平分 FAD, ./ DAG

11、= Z GAO ./ GAO = Z AGEAO=GO . （2 分） .四邊形AEFG是平行四邊形，AF=EG,四邊形AEFG是矩形（2分）3.證明：（1）二.梯形 ABCD是等腰梯形，AD/BCZBAE= Z ADF （1 分） AD= DCAE=DF （1 分） BA=AD BAEA ADF , （1 分）BE=AF . （1 分）（2）猜想/ BPF= 120°. （1 分）,由（1）知BAEA ADF ,/ ABE= / DAF . （1 分）/ BPF= / ABE+ / BAP= / BAE . （1 分）而 AD/BC, /C=/ABC=60°,，=120&

12、#176;. ./ BPF= / BAE = 120°. （1 分）4、證：（1）二.四邊形 ABCD是矩形， .AD/BC, AD=BC. ./ DAC=Z BCA.又 DNXAC, BM± AC,DNA=/ BMC.DANE BCM, （3 分）AN=CM. （1 分）（2）聯(lián)結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,. AN = NM=2,AC = BD =6,又.四邊形 ABCD是矩形，AO=DO=3,在NODN 中，OD=3, ON=1, / OND = 90（2分） .DN=.OD2 ON22 2,矩形 ABCD 的面積=AC DN 1272. （1 分）5.解：（1）方法1 ：延長(zhǎng)

13、EF交AD于G 在平行四邊形 ABCD中，AD / BC, EF / CA, EG / CA ,.四邊形ACEG是平行四邊形.AG CE 1分1又 CE BC , AD BC ,2_ _1 _ 1- AG CE 1BC 1 AD GD.22 AD / BC, . ADC ECF .在4CEF和ADGF中，. CFE DFG , ADC ECF , .CEFzXDGF （A.A.S） . . . CE1分CE DG , DF 1分 四邊形 ABCD是平行四邊形， OB OD .OF / BE.方法2：將線段BC的中點(diǎn)記為G ,聯(lián)結(jié)OG .四邊形 ABCD是平行四邊形， OB ODOG / CD.

14、 OGC FCE. EF / CA，一 OCG FEC .1 1 -. GC -BC, CE -BC, 221分（如圖2） . 1分（第5題圖2） . GC CE.在AOGC和4FCE中,. OCG FEC , GC CE , OGC FCE ,.OGCAFCE （A.S.A） . 1 分OG FC .又 OG / CF ,，四邊形OGCF是平行四邊形. 1分OF / GC . 1 分其他方法，請(qǐng)參照上述標(biāo)準(zhǔn)酌情評(píng)分.（2）如果梯形 OBEF是等腰梯形，那么四邊形 ABCD是矩形.1分 OF / CE, EF / CO,，四邊形 OCEF是平行四邊形. . EF OC. 1分又.梯形OBEF是

15、等腰梯形， BO EF . . OB OC.（備注：使用方法 2的同學(xué)也可能由 OGCFCE找到解題方法；使用方法 1的同學(xué)也可能由四邊形ACEG是平行四邊形找到解題方法）.四邊形 ABCD是平行四邊形， AC 2OC, BD 2BO.AC BD. 1分，平行四邊形 ABCD是矩形.1分6.證明：（1） .在正方形 ABCD 中，AD/BC,，/A=/HBE, /ADE=/H,（1 分） AE=BE,ADEA BHE . （1 分）BH=AD=BC. （1 分） CM=GM , BM/GH. （1 分）（2） .在正方形 ABCD 中，AB=AD=CD, /A=/ADC=90o,22 ./AD

16、E=/DCF. （1 分）又. DFuIaD, AE=1AB, AE=DF . /. AEDA DFC . （1 分）. /ADE+/GDC=90o, . . / DCF+/GDC=90o. . . / DGC=90o.（1 分） BM/GH , .BMG = /DGC=90o,即 BM ±CF. （1 分）7、證明： AC 平分/ BAD, BAC= /CAD.又 .AE / BF,. BCA= / CAD. 1 分BAC= / BCA.AB=BC .1 分同理可證AB=AD .AD=BC .1 分又 AD/BC, 四邊形ABCD是平行四邊形.-1分又 AB=BC，.二 DABCD

17、 是菱形.-1 分8.證明：（1） .正方形 ABCD A EBH 90 AD BC 1'. E是 AB 的中點(diǎn) AB BE 1'. AED BEH VAED VBEH 1' AD BH . BC BH 1'M 是 CG 的中點(diǎn) BM /GH 1'（2）證 VAED VCDF 1' ADE. DCF CDE 90CGH 90 BM /GHCMB CGH 90BM CF 1'DCF 19.證法.在梯形 ABCD 中，AD /BC,又; EF=AD四邊形AEFD是平行四邊形.1分）AD/DF , . AEF=/DFC. （1 分） AB=CD

18、, . B=Z C. （1 分）X / BE=CF,ABEA DCF . （1 分） ./ AEB=Z DFC , （1 分） ./ AEB=Z AEF. （1 分） . /AEB+/AEF=180o, ./ AEF=90o. （1 分） 四邊形AEFD是矩形.（1分）證法二：聯(lián)結(jié)AF、DE. （1分） .在梯形 ABCD 中，AD/BC,又; EF=AD, 四邊形AEFD是平行四邊形.（1分） AB=CD, . B=Z C. （1 分） BE=CF,BE + EF=CF + EF,即 BF =CE ,1分）ABFA DCE. （1 分），AF=DE, （2 分）四邊形AEFD是矩形.（1分）

19、10、證明：（1） DABCD , AB/ CD, AB = CD1 分11 E、F 分別為 AB、CD 的中點(diǎn)，DF = ,DC, BE=,ABDF / BE, DF =BE1 分四邊形DEBF為平行四邊形DE / BF1 分（2）證明：AG/BD,G=/DBC = 90° ,DBC 為直角三角形-1 分1又F為邊CD的中點(diǎn).BF=2dC=DF1 分又.四邊形 DEBF為平行四邊形，四邊形DEBF是菱形 1 分11.證明：.在梯形 ABCD 中，AD/BC, . . / DAE = Z FAE, /ADE=/CFE.（1 分）X / AE=EC, ADEA CFE . （1 分）A

20、D=FC, （1 分）四邊形AFCD是平行四邊形. （1分）1- BC2AD, " FCAD BC . 11 分）21 ACXAB, . AF-BC. （1 分）2AFFC, （1 分），四邊形AFCD是菱形.（1分）12. （ 1）解：線段 AD與BC的長(zhǎng)度之間的數(shù)量為： BC 3AD . （ 1分）證明：: AD / BC, DE / AB,二. 四邊形ABED是平行四邊形.AD BrE. （2 分）同理可證，四邊形 AFCD是平行四邊形.即得 AD FC .（1分）又 四邊形AEFD是平行四邊形，AD EF. （ 1分）AD BE EF FC.BC 3AD . （1 分）（2）

21、解：選擇論斷作為條件. （1分）證明： DE / AB,/B /DEC. （1 分）ZB +/C 90°,/DEC +/C 90°.即得 / EDC 90 °. （2 分）又 EF FC, DF EF. （1 分）四邊形AEFD是平行四邊形，四邊形AEFD是菱形.（1分）13.(1) NMBNEMPN.2 MBN E MPNMB=MP,._ 2_ 2 MB MP 矩形 ABCD . AD=CD (矩形的對(duì)邊相等)/ A= / D=90 (矩形四個(gè)內(nèi)角都是直角 AD=3, CD=2, CP=x, AM=yDP=2-x, MD=3-yRt/ABM 中，同理(3)MB2

22、MP2BMPAM 2 AB2MD 2PD2(34xy2 4(3 y)2(2x)2y)2 (2x)2當(dāng) BMP可證 ABM69090時(shí)，DMPAM=CP,AB=DMy,yx, x當(dāng) CM=1時(shí),BMP 9014 . （1）證：過P作MN LAB,交AB于點(diǎn)M ,交CD于點(diǎn)N.正方形 ABCD , PM=AM , MN=AB從而MB=PN （2分）APMBA PNE,從而 PB=PE （2 分）解：PF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，設(shè)。為AC中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PO,.正方形 ABCD ,BOXAC, （ 1 分）從而/ PBO=Z EPF, （1 分）APOBA PEF , 從而 PF=BO ±2_ （2

23、 分）（2）圖略，上述（1）中的結(jié)論仍然成立；（1分）（1分）（3）當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時(shí)，/ PEC是鈍角，從而要使PEC為等腰三角形，只能 EP=EC, （1分）這時(shí)，PF=FC，.二PC AC 行，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，與已知不符。（1分）當(dāng)點(diǎn)E落在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，/ PCE是鈍角,從而要使PEC為等腰三角形，只能 CP=CE , (1分)設(shè) AP=x ,則 PC <2 x , CF PF PC x 上，2又 CE 加CF , .,.尤 x /2(x %),解得 x=1. (1 分)2綜上，AP=1時(shí)，/PEC為等腰三角形y 3x 4,3 i x 2,15 .解：(1)解得：1y

24、、. 3xy 2x3.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, 2J3) 1'(2)當(dāng)y 0時(shí)，x 4 .點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4, 0)OP，22 26 2 4 PA 7(2 4)2 (273 0)2 4 1OA OP PA VPOA是等邊三角形 1'(3)當(dāng) 0v tw4 時(shí)，1S 1gOF gEF t2 128當(dāng) 4v t v 8 時(shí)，1S3t2 4 石 8m816、 ( 1)證明：在 AB上截取 AG AE ,聯(lián)結(jié)EG.AGE AEG .又. /A=90° , / A+ Z AGE+ Z AEG = 180° . ./AGE = 45° . ./ BGE=135

25、6; . AD / BC . C + Z D=180° .又. / C = 45° . ./ D = 135° . ./ BGE = Z D. 1分 AB AD, AG AE .BG DE . 1分 EF BE. ./ BEF = 90° .又/ A+/ABE + /AEB=180° , ZAEB+Z BEF + Z DEF = 180ZA=90ABE = / DEF. 1分BGEA EDF. 1分 BE EF .(1)2y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y 梳 1分此函數(shù)的定義域?yàn)椋? x 4. 1分(2)存在 1分I當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，DE 2 2V5 (負(fù)值舍去). 1分n當(dāng)點(diǎn)E在線段AD延長(zhǎng)線上時(shí)，DE 2 2<5 (負(fù)值舍去). 1分出當(dāng)點(diǎn)E在線段DA延長(zhǎng)線上時(shí)，DE 10 275 .，DE 的長(zhǎng)為 2套 2、2<5 2 或 10 275 .17、 ( 1)證明：: ABCD是正方形，對(duì)角線交于點(diǎn) O, .AO=BO , AC ± BD , 1 分/ OAB= / OBA, / OAF= / OBE , 1 分-. AC ±BD ,