分式方程及解法

1、15.3 分式方程（一）教學(xué)設(shè)計(jì)- 1 -明德天心中學(xué)袁海英三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，感受分式方程刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型的意義通過(guò)觀察、思考，歸納分式方程的概念解分式方程的一般步驟了解解分式方程驗(yàn)根的必要性二、過(guò)程與方法1 通過(guò)具體例子， 讓學(xué)生獨(dú)立探索方程的解法， ?經(jīng)歷和體會(huì)解分式方程的必要步驟2 使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)思想中的“轉(zhuǎn)化”思想，?認(rèn)識(shí)到能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而找到解分式方程的途徑三、情感態(tài)度與價(jià)值觀?培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度?從而獲得一種成就感和學(xué)習(xí)1 培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)反思求解過(guò)程和自覺(jué)檢驗(yàn)的良好習(xí)慣， 2 運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”的思想，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，數(shù)學(xué)的自

2、信心教學(xué)重點(diǎn)1 解分式方程的一般步驟，熟練掌握分式方程的解法2 明確解分式方程驗(yàn)根的必要性教學(xué)難點(diǎn) 明確分式方程驗(yàn)根的必須性教具準(zhǔn)備 電腦、課件、投影儀教學(xué)過(guò)程、舊知回顧，新知奠基活動(dòng) 1、找出下列各組分式的最簡(jiǎn)公分母回憶一下(1), 一x一X X - 223 X2X - 1(2 )xxX 2 - 12 x4 一 XXX - 4設(shè)計(jì)意圖：去分母時(shí)，學(xué)生找不到最簡(jiǎn)公分母將會(huì)成為新授課的障礙，因此，課前先為新(4 )-14 -授課掃清障礙。師生行為:教師展示問(wèn)題，讓學(xué)生思考、回顧，教師展示答案活動(dòng)2X-1 亠 2x+1,溫故知新：解方程丁中=1初一已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)解含有分母的整式方程，通過(guò)解含有分母的整

3、式方程，滲透對(duì)比學(xué)習(xí) 的學(xué)法方法，為探究分式方程的解法做鋪墊。師生行為:教師展示問(wèn)題，讓學(xué)生一起回答，教師展示過(guò)程，師生回顧步驟二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、引入新課活動(dòng)3想一想，做一做:一般輪船在靜水中的最大航速為20千米/時(shí)，它沿江以最大航速順流航行100?千米所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行60千米所用時(shí)間相等，江水的流速為多少?設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，感受分式方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，用引言中的問(wèn)題 來(lái)提問(wèn)，使整個(gè)教學(xué)過(guò)程貫穿一線，體現(xiàn)了本章問(wèn)題解決的主線之一.師生行為:教師展示問(wèn)題，讓學(xué)生思考、回顧，充分發(fā)表意見(jiàn).經(jīng)過(guò)分析，得出分式方程的概念.師生共析:設(shè)：江水的流速為 V千米/時(shí)，則

4、：輪船順流航行速度為（20+V）千米/時(shí)，逆流航行20 + V所用的時(shí)間為型小時(shí).20V根據(jù)“兩次航行所用時(shí)間相等”可以得到方程:100 6020+v 20 V速度為（20-V ）千米/時(shí)，順流航行100千米所用的時(shí)間為 衛(wèi)匕 小時(shí)，逆流航行60千米說(shuō)明：這個(gè)方程的分母中含未知數(shù)V,像這樣的方程叫分式方程.即:分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.活動(dòng)4下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程X 2 x一431一+嚴(yán)）3 x(x7=-i3 x x(6)2x設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)區(qū)分,x 11+ =1（5）*- =25x進(jìn)一步鞏固分式方程概念2x+1+ 3x=1師生行為:教師展示問(wèn)題，學(xué)生一起作答，PPT展

5、示結(jié)果.三、講授新課，探索分式方程的解法活動(dòng)5思考:分式方程的特征是什么？如何解分式方程?設(shè)計(jì)意圖:首先要讓學(xué)生理解分式方程的概念，然后通過(guò)分析分式方程的特點(diǎn)，找出與其他方程 不同之處.結(jié)合方程的特點(diǎn)探索分式方程的解法，這樣步步逼近，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到進(jìn)一步學(xué)習(xí)的必要性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)積極性.師生行為:教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考、討論；對(duì)比含分?jǐn)?shù)整式方程的解法，師生共同得出結(jié)論:解方程：型=旦師生共析:20+v 20-v去分母，方程兩邊同時(shí)乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母（20+v） （20-v ）得100(20-v ) =60 (20+v)解得：v=5.檢驗(yàn)：將v=5代入原方程中，左邊=4=右邊，因此v=5

6、是分式方程的解.由此可知：江水的流速為 5千米/時(shí).歸納:，即方程解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母” 兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法.在解分式方程的過(guò)程中體現(xiàn) 了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想（化歸思想）活動(dòng)61 10解方程：+丿一X -5 X2 -25設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試解分式方程，及時(shí)了解學(xué)生理解程度，并由此例說(shuō)明分式方程檢驗(yàn)的必要 性.鼓勵(lì)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，積極的參與到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論中來(lái)，敢于發(fā)表自己 的觀點(diǎn)、見(jiàn)解.師生行為:教師出示例題，學(xué)生動(dòng)手獨(dú)立完成去分母，得出解的過(guò)程教師進(jìn)行評(píng)價(jià)，提出質(zhì)疑，然后進(jìn)行說(shuō)明強(qiáng)調(diào)

7、.解：丄+PX-5 X2-25(x-5 ) (x+5),得整式方程x+5=10去分母，在方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母,解得：x=5.師：x=5是原方程的解嗎?生：將x=5代入原分式方程檢驗(yàn),發(fā)現(xiàn)這時(shí)分母 x-5和x2-25的值都為0，?相應(yīng)的分式無(wú)意義，所以師：對(duì)，因此x=5雖是整式方程x+5=10的解，但不是原方程 X-5 x2-25的解,實(shí)際上，？這個(gè)分式方程無(wú)解.活動(dòng)7思考:在上面兩個(gè)分式方程中，為什么亠0 = 6J 去分母后所得整式方程的解就是20+v 20-v1 10的解，而2去分母后所得整式方程的解卻不是的解呢?X-5 X2-25設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐，激發(fā)學(xué)生積極思考，繼續(xù)探索，

8、將新知識(shí)更加系統(tǒng)化.師生行為:學(xué)生思考，分母討論，發(fā)表自己的見(jiàn)解.教師給出增根概念，學(xué)生討論增根產(chǎn)生原因。教師歸納：增根：在去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過(guò)程中出現(xiàn)的不適合于原方程的根，即使分母值為零的根產(chǎn)生的原因：分式方程兩邊同乘以一個(gè)零因式后,所得的根是整式方程的根 ，而不是分式方因此解分式方程可能產(chǎn)生增根，解分式方程必須檢驗(yàn)(代入最簡(jiǎn)公分母檢驗(yàn)活動(dòng)8解方程：-1 =X1(X1)(x+2)設(shè)計(jì)意圖:在初步了解解分式方程的解法后，提出這個(gè)題，讓學(xué)生嘗試解答，從而激發(fā)了學(xué)生的 求知欲，有利于提高學(xué)生的動(dòng)手能力.同時(shí)讓學(xué)生板演，共能展示問(wèn)題，形成共識(shí)。師生 糾錯(cuò)后，談一談解分式方程容易出現(xiàn)的

9、錯(cuò)誤，有利于學(xué)生避免常見(jiàn)錯(cuò)誤。師生行為:教師出示例題，學(xué)生動(dòng)手完成.兩個(gè)學(xué)生上講臺(tái)板演。師生共同交流容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤, 總結(jié)歸納：解分式方程容易犯的錯(cuò)誤有哪些?(1)去分母時(shí)，原方程的整式部分漏乘.整式部分乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)不添括號(hào)(2)約去分母后，分子是多項(xiàng)式時(shí),要注意添括號(hào).(因分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用(3)增根不舍掉。解分式方程的一般步驟如下:去分母解«式方程檢驗(yàn)方程的解盤是分式最簡(jiǎn)公分母不曲0 最簡(jiǎn)公分母為0 1不是分式 方程的解方程的解四、提升自我，關(guān)于增根活動(dòng)9、1、如果11-XX-22-X有增根，那么增根為2、關(guān)于X的方程a一 = 4的解是2 ，貝U a=3、若方程x5 +m ,

10、1+1 =X-2 X-2無(wú)解，則rm=設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)由淺入深一組習(xí)題的練習(xí)，進(jìn)一步加深對(duì)增根的理解與運(yùn)用，為學(xué)有余力的學(xué)生提供學(xué)習(xí)知識(shí)，形成技能的平臺(tái)。五、課時(shí)小結(jié)活動(dòng)10小結(jié)布置作業(yè) 習(xí)題16. 3 1 ;選做全效學(xué)習(xí) B、C組題設(shè)計(jì)意圖:回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，及時(shí)了解學(xué)生掌握情況.分層布置作業(yè)，體現(xiàn)學(xué)校分層教學(xué)思路、師生行為:師生共同進(jìn)行:學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？解分式方程的一般步驟是什么?教師重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)解分式方程的三個(gè)步驟:(一去分母；二解整式方程；三檢驗(yàn))缺一不可.其次使學(xué)生明白、體驗(yàn)“轉(zhuǎn)化”思想.板書設(shè)計(jì)16. 3分式方程(一)1分式方程1 + 10X2 -25x-5.解分

11、式方程的一般步驟特征：分母中含未知數(shù)(1)去分母2 .分式方程的解法(2):31 =X-1(xQX +(2)解整式方程(1)竺亠20+v 20-v(3)檢驗(yàn).作業(yè)備課資料一、巧去分母解分式方程的基本思想是去分母，課本介紹了在方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母的去分母的方法，現(xiàn)再介紹幾種靈活的去分母技巧.57【例11解方程-x X 2解：即7x=5 (X-2 ),解得x=-5 .檢驗(yàn)略.【例21解：即:解方程亠X 5X 6x (x-6 ) = (x-2 ) (x-5 ),解得 x=10.檢驗(yàn)略.換元【例3111 X解方程=-3X-22-X解：設(shè) y=x-2，則 x=y+2.、 1 1原方程變?yōu)椋?一=2

12、.y y亦即0=-2矛盾，故原方程無(wú)解.對(duì)等【例41解關(guān)于X的方程解：原方程化為：心丄+旦J+P a x b b -aab(a豐 b)x由于分子相等，那么分母必相等.得 x=ab.檢驗(yàn)略.X3【例5】解方程亠=2+ X-3x3X -3解：原方程可化為 匕3 = 2，即1=2矛盾，故原方程無(wú)解.X-3.拆項(xiàng)X 81【例6】解方程二_8X-77-X1 1解：原方程可化為：1-一+=8，即1=8矛盾，故原方程無(wú)解.X-7 X-7通分【例7】解方程解：通分,故 x=0.檢驗(yàn)略.相消+ = 12x-55-2x二=0.2x-5【例8】解方程X-2+ 丄=2x+x+1 x+1解：分式相消，得 x-2=2x

13、.故 x=-2 .檢驗(yàn)略.二、小測(cè)：1、判斷下列各式哪些是分式方程，哪些是整式方程。x+22vz 1(1)x+y=1, (2)二-=七-,(3)，53X-2弓=0,(5)丄 + x=1,(6)-3=nX +5X兀5是分式方程有，是整式方程有2、若方程 X T = m 無(wú)解，則m=x+2 x+21 23 、解方程2x X +3答案：1.( 4) (5), (1) (2) ( 3)2 . -33. (1) x=1, (2) x=5教學(xué)反思：本節(jié)課的重點(diǎn)是分式方程的解法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是貫穿于這節(jié)課 的思想方法，課前故知新環(huán)節(jié)對(duì)于含分母的整式方程的復(fù)習(xí)為去分母打了基礎(chǔ)，課初對(duì)于 最簡(jiǎn)公分母的復(fù)習(xí)也為去分母過(guò)程解除了障礙，通過(guò)習(xí)題的