《1.1.1集合的含義與表示》教學案3

1、1.1.1集合的含義與表示教學案 3教學目標1了解集合的含義；理解元素與集合的“屬于”關系；熟記常用數集專用符號2深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關問題 3能選擇不同的形式表示具體問題中的集合重點難點教學重點：集合的基本概念與表示方法 教學難點：選擇適當的方法表示具體問題中的集合教學過程導入新課思路 1集合對我們來說可謂是“最熟悉的陌生人”說它熟悉，是因為我們在現實生 活中常常用到“集合”這個名詞；比如說，軍訓的時候，教官是不是經常喊：“高一 （4） 班 的同學，集合啦！”那么說它陌生，是因為我們還未從數學的角度理解集合，從數學的層 面挖掘集合的內涵那么，在數學的領域中

2、，集合究竟是什么呢？集合又有著怎樣的含義 呢？就讓我們通過今天這堂課的學習，一起揭開“集合”神秘的面紗思路 2你經常會談論你的家庭，你的班級其實在講到你的家庭、班級的時候，你必 定在聯想構成家庭、班級的成員，例如：家庭成員就是被你稱為父親、母親、哥哥、姐 姐、妹妹、弟弟 , 的人；班級成員就是與你在同一個教室里一起上課、一起學習的人； 一些具有特定屬性的人構成的群體，在數學上就是一個集合那么，在數學中，一些對象 的總體怎樣才可以構成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？這就是本節(jié)課我們所要學習的內容思路 3“同學們，在小學和初中的學習過程中，我們已經接觸過一些集合的例子，比 如

3、說：有理數集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合（圓） ，那么大家是否能夠舉出更多關于集合的例子呢？” （ 通過兩個簡單的例子，引導大家進行類比，運用發(fā)散性思維思 考說出更多的關于集合的實例，然后教師予以點評 ）“那么，集合的含義究竟是什么？它又該如何表示呢？這就是我們今天要研究的課 題”推進新課新知探究提出問題 中國有許多傳統(tǒng)的佳節(jié)，那么這些傳統(tǒng)的節(jié)日是否能構成一個集合？如果能，這個 集合由什么組成？ 全體自然數能否構成一個集合？如果能，這個集合由什么組成？ 方程X2 3x + 2= 0的所有實數根能否構成一個集合？如果能，這個集合由什么組成？ 你能否根據上述幾個問題總結出集合的含義？討論

4、結果：能這個集合由春節(jié)、元宵節(jié)、端午節(jié)等有限個種類的節(jié)日組成，稱為 有限集 能這個集合由 0， 1， 2， 3， , 等無限個元素組成，稱為無限集 能這個集合由 1， 2兩個數組成 我們把研究對象統(tǒng)稱為“元素”，把一些元素組成的總體叫做“集合”.提出問題通過以上的學習我們已經知道集合是由一些元素組成的總體，那么是否所有的元素都 能構成集合呢？請看下面幾個問題 . 近視超過 300度的同學能否構成一個集合？ “眼神很差”的同學能否構成一個集合？ 比較問題，說明集合中的元素具有什么性質？ 我們知道冬蟲夏草既是一種植物，又是一種動物那么在所有動植物構成的集合中，冬蟲夏草出現的次數是一次呢還是兩次？

5、組成英文單詞every的字母構成的集合含有幾個元素？分別是什么？ 問題說明集合中的元素具有什么性質？ 在玩斗地主的時候，我們都知道 3, 4, 5, 6, 7是一個順子，那比如說老師出牌的時 候把這五張牌的順序擺成了 5， 3， 6， 7， 4，那么這還是一個順子么？類比集合中的元素， 一個集合中的元素是 3, 4, 5, 6, 7,另外一個集合中的元素是 5, 3, 6, 7, 4,這兩個集 合中的元素相同么？集合相同嗎？這體現了集合中的元素的什么性質？討論結果：能. 不能 確定性問題對“眼神很差”的同學沒有一個確定的標準，到底怎樣才算眼神 差,是近視 300度？ 400度？還是說“眼神很差

6、”只是寓意？我們不得而知因此通過問題 我們了解到，對于給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個元素要么在這個 集合中，要么不在這個集合中，這就是集合中元素的確定性. 一次. 4個元素.e, v, r, y這四個字母. 互異性.一個集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素不能重復出現. 是.元素相同.集合相同.體現集合中元素的無序性，即集合中的元素的排列是沒 有順序的只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.提出問題 如果用A表示所有的自然數構成的集合，B表示所有的有理數構成的集合，a =1.58，那么元素a和集合A, B分別有著怎樣的關系？ 大家能否從問題中總結出

7、元素與集合的關系？ A表示“ 120內的所有質數”組成的集合，那么3A, 4A.討論結果：a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素. a是集合B中的元素，就說a屬于集合B，記作a B ； a不是集合A中的元素，就說a不 屬于集合A,記作aA.因此元素與集合的關系有兩種，即屬于和不屬于. 3 A, 4 A.提出問題 從這堂課的開始到現在，你們注意到我用了幾種方法表示集合嗎？ 字母表示法中有哪些專用符號？ 除了自然語言法和字母表示法之外，課本還為我們提供了幾種集合的表示方法？分 別是什么？ 列舉法的含義是什么？你能否運用列舉法表示一些集合？請舉例！ 能用列舉法把下列集合表示出來嗎？小于10的質數；

8、不等式x 2>5的解集. 描述法的含義是什么？你能否運用描述法表示一些集合？請舉例！ 集合的表示方法共有幾種？討論結果：兩種，自然語言法和字母表示法. 非負整數集（或自然數集），記作N；除0的非負整數集，也稱正整數集，記作N*或N + ;整數集，記作Z；有理數集，記作 Q；實數集，記作R. 兩種，列舉法與描述法. 把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來表示集合的方法叫做列舉法例如“地球上的四大洋”組成的集合可以用列舉法表示為太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋，方程x2 3x+ 2 = 0的所有實數根組成的集合可以用列舉法表示為 1, 2 “小于10的質數”可以用列舉法表示出來；“

9、不等式x 2> 5的解集”不能夠用列舉法表示出來，因為這個集合是一個無限集因此，當集合是無限集或者其元素數量較多而 不便于無一遺漏地列舉出來的時候，如果我們再用列舉法來表示集合就顯得不夠簡潔明了. 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法具體方法是：在花括號內 先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值 (或變化 )范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征例如，不等式X 2> 5的解集可以表示為x R| x>7;所有的正方形的集合可以表示為x| x是正方形，也可寫成正方形 自然語言法、字母表示法、列舉法、描述法.應用示例例1 下列所給對象不能構成集合

10、的是 ( 1)高一數學課本中所有的難題;(2) 某一班級 16歲以下的學生;(3) 某中學的大個子;(4) 某學校身高超過 1. 80米的學生 活動探究：教師首先引導學生通過讀題、審題，了解本題考查的基本知識點集合中元素的確定性;然后指導學生對4個選項進行逐一判斷;判斷所給元素是否能構成集合，關鍵是看是否滿足集合元素的確定性解析： (1) 不能構成集合“難題”的概念是模糊的，不確定的，無明確的標準，對于 一道數學題是否是“難題”無法客觀地判斷實際上一道數學題是“難者不會，會者不 難”，因而“高一數學課本中所有的難題”不能構成集合(2) 能構成集合，其中的元素是某班級 16歲以下的學生(3) 因

11、為未規(guī)定大個子的標準，所以(3) 不能組成集合(4) 由于 (4) 中的對象具備確定性，因此，能構成集合答案： (1)( 3)例 2 用列舉法表示下列集合：(1) 小于 10的所有自然數組成的集合;(2) 方程x2 = x的所有實數根組成的集合；(3) 由120以內的所有質數組成的集合.活動探究：講解例 2的過程中，可以設計如下問題引導學生：針對例2(1):自然數中是否含有 0?小于10的自然數有哪些？如何用列舉法表示 小于10的所有自然數組成的集合？針對例2(2):解一元二次方程的方法有哪些？分別是什么？方程x2= x的解是什么？如何用列舉法表示方程 x2= x的所有實數根組成的集合？針對例

12、2( 3):如何判斷一個數是否為質數 (即質數的定義是什么)孑120以內的質 數有哪些？如何用列舉法表示由120以內的所有質數組成的集合？在用列舉法表示集合的過程中，應讓學生先明確集合中的元素，再把元素寫入 “ ”內，并用逗號隔開解: (1)小于10的自然數有 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，設小于 10的所有自然數組 成的集合為 A,那么 A =0,1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;(2) 方程x2 = x的兩個實根為xi= 0, X2= 1，設方程x2= x的所有實數根組成的集合為B,那么 B= 0, 1;(3) 120以內的質數有2, 3,

13、5, 7, 11, 13, 17, 19,設由120以內的所有質數組成 的集合為 C,那么 C = 2, 3, 5,乙 11 , 13, 17, 19.點評：本題主要考查了集合表示法中的列舉法，通過本題的教學可以體會利用集合表示教學內容的嚴謹性和簡潔性例3試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1) 方程x2 2= 0的所有實數根組成的集合；(2) 由大于10小于20的所有整數組成的集合.活動探究：講解例3的過程中，可以設計如下問題引導學生：針對例3( 1)列舉法 方程x2 2= 0的解是什么？ 如何用列舉法表示方程 x2 2 = 0的所有實數根組成的集合？針對例3( 1)描述法 描述法的定義是

14、什么？ 所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ 如何用描述法表示所求集合？針對例3( 2)列舉法 大于10小于20的所有整數有哪些？ 由大于10小于20的所有整數組成的集合用列舉法如何表示？針對例3( 2)描述法 所求集合中元素有幾個共同特征？分別是什么？ 如何用描述法表示所求集合？解：(1)設方程x2 2 = 0的實數根為x，并且滿足x2 2= 0，因此，用描述法表示為 A = x R| x2 2= 0;方程x2 2 = 0的兩個實根為x1=2, x2= ：2，因此，用列舉法表示為A= 2,.2.(2)設大于10小于20的整數為x,它滿足條件x Z且10v xv 20,因此，用描述法表示

15、為B = x Z| 10 v xv 20;大于 10小于 20的整數有 11 , 12, 13, 14, 15, 16 , 17, 18, 19 , 因此，用列舉法表示為11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.點評：例2和例3是通過“問題引導”的方式，使學生逐步逼近答案的過程在此過程 中，既幫助學生理清了解答問題的基本思路，又使得列舉法和描述法在實例中得到進一步 的鞏固知能訓練課后練習1, 2.【補充練習】1 考查下列對象能否構成集合：(1) 著名的數學家；(2) 某校2013年在校的所有高個子同學；(3) 不超過20的非負數；(4) 方程x2 9= 0在實數范

16、圍內的解；(5) 直角坐標平面內第一象限的一些點；(6) 3的近似值的全體.答案：(1)( 2)( 5)( 6)不能組成集合，(3)( 4)能組成集合.2 用適當的符號填空：(1) 0N, 5N , 16N；(2) 2Q, nQ, eCrQ( e是個無理數 )；(3) p2-亞 + 寸 2+£ =x|x= a +&b, a Q, b Q.答案：(1) (2) (3) 3. 已知集合A是由0, m, m2 3m+ 2三個元素組成的集合，且 2 A，求實數m的值.解： 2 A,/ m= 2 或 m2 3m + 2 = 2.若m= 2,則m2 3m+ 2= 0,不符合集合中元素的互

17、異性，舍去.若m2 3m+ 2= 2，求得 m = 0或3.m= 0不合題意，舍去. m只能取3.4. 用適當方法表示下列集合：(1) 函數y= ax2 + bx+ c(az 0)的圖象上所有點的集合；(2) 一次函數y= x+ 3與y= 2x+ 6的圖象的交點組成的集合；(3) 不等式x 3 > 2的解集；(4) 自然數中不大于10的質數集.答案：(1)描述法：( x, y)| y= ax2 + bx+ c, x R, a*0.(2)描述法:(x,y)9 = x+ 3y = 2x+ 6(x, y)x= 1y= 4列舉法：( 1 , 4).(3) 描述法：x| x> 5(4) 列舉

18、法：2, 3, 5, 7.拓展提升問題 1 設集合 P = x y, x+ y, xy , Q = x2+ y2, x2 y2, 0，若 p = Q,求x, y的值 及集合P, Q.活動探究：首先，應讓學生思考兩個數集相等的條件一一集合中的元素分別對應相等；然后，再引導學生討論：本題中集合P, Q對應相等時，其元素可能出現的幾種情況，并根據討論的結果進行計算；最后，應當指導學生自主探究，應用集合中元素的性質檢驗 所求結果是否符合要求.解：P= Q且0 Q, 0 P.若x+ y= 0或x y= 0，則x2 y2= 0 ,從而Q= x2+ y2, 0, 0，與集合中元素的互異性矛盾， x+ yz

19、0 且 x yz 0;若 xy= 0,則 x= 0 或 y= 0.當y= 0時，P = x, x yz 0 ；當x= 0時，P= y,< 2y=y ,由P= Q得"2y= y,0，與集合中元素的互異性矛盾,y,2,0, Q=y2, y2, 0,y z 0,C2j y，y=y,y z 0.由得y = 1由得y= 1,X = 0,x = 0, y = 1 或 y = 1,此時 P= Q = 1, 1, 0.點評：本題綜合性地考查了兩數集相等的條件、集合中元素的性質以及學生的運算能 力和分類討論能力.問題2 :已知集合A = x| ax2 3x + 2 = 0，若A中的元素至多只有一

20、個，求a的取值范圍.活動探究：討論關于 x的方程ax2 3x+ 2= 0實數根的情況，從中確定a的取值范圍，依題意，方程有一個實數根或兩個相等的實數根或無實數根.2解：(1)a= 0時，原方程為3x+ 2 = 0, x= 3,符合題意.(2)az 0時，方程ax2 3x+ 2 = 0為一元二次方程.9由A= 9 一 8 a w 0,得a89當a>8時，方程ax2 3x+ 2= 0無實數根或有兩個相等的實數根.9綜合(1)( 2)，知a= 0或a8.點評：“ a = 0”這種情況最容易被忽視，只有在“a豐0”的條件下，方程ax2- 3x + 2=0才是一元二次方程，才能用判別式A解決問題.問題 3:設 S