畢業(yè)設(shè)計(jì)]不等式的幾種特殊證明方法

1、 學(xué)士學(xué)位論文 本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)設(shè)計(jì)(論文)題目: 不等式的幾種特殊證明方法 指導(dǎo)教師： 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 院（部） 專業(yè) 屆xxx 教務(wù)處制 年 月 日統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2007201122 學(xué)士學(xué)位論文xxxxxx 學(xué)士學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明學(xué)士學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位論文作者簽名： 年 月 日xxxxxx 關(guān)于論文

2、使用授權(quán)的說明關(guān)于論文使用授權(quán)的說明本人完全了解 xxx 有關(guān)保留、使用學(xué)士學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留、送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱，學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文。指導(dǎo)教師簽名： 論文作者簽名： 年 月 日 年 月 日 學(xué)士學(xué)位論文不等式的幾種特殊的證明方法摘要不等式的證明方法通常涉及到數(shù)學(xué)的各分支領(lǐng)域,其理論性和技巧性一般比較強(qiáng),因此不等式的證明已成為各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱門題型.如何尋求不等式的證明思路是正確求證不等式的關(guān)鍵所在.該文從證明不等式的幾種常見的基本方法和幾種特殊方法出發(fā)，逐層深入,引進(jìn)一些證明不等式的高觀點(diǎn)的方法,并通過一些具體例子

3、,介紹一些典型的不等式的證明方法與變形技巧，從而靈活地運(yùn)用和掌握基本地解題技巧，同時(shí)也拓寬了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)面和強(qiáng)化了證明不等式的靈活性.以列舉典型例題進(jìn)行逐層深入研究,然后再針對(duì)一些特殊的證明方法進(jìn)性分析證明和應(yīng)用舉例.從而把各類不等式的理論來源和研究方法展示出來。關(guān)鍵詞：不等式；證明；方法；技巧 Special Method And Skill In Proving Inequality ABSTRACTThe proof method of inequality usually involves to mathematics various branches domain, its the

4、ory and skillful are generally stronger, therefore proof of the inequality has become the popular topic of various competition. How to seek the proof mentality of the inequality often is the key to solve the problem 。This article embarks from several common essential methods and several special meth

5、ods of proof of inequality, which is thorough by the level, introduces some proof inequalities of the high viewpoint of method, and through some concrete examples, introduces some models of which the inequality proof method and the distortion skill ，therefore to utilize and to grasp basically skill

6、of solving the inequality problem ,and also to study aspect of mathematics knowledge and to strengthen the proof inequality of flexibility. By enumerates the typical example to carry on by the level thorough research, then aims at some special proof method entering analyses to prove and to apply aga

7、in gives an example. Thus demonstrated each kind of inequality theory origin and the research technique.Keywords： Inequality; Proof; Method; Skill 學(xué)士學(xué)位論文目錄摘要.1引 言.1一 、一元函數(shù)微分學(xué)中不等式的證明方法.21.直接利用拉格朗日中值定理證明不等式.22.利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.33.利用函數(shù)的最值和極值證明不等式.44.利用函數(shù)的凹凸性證明不等式.55.泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用.56.利用冪級(jí)數(shù)展開證明不等式.77.利用柯

8、西中值定理證明不等式.7二 、有關(guān)積分領(lǐng)域涉及到的不等式證明.81.利用積分性質(zhì)證明不等式.82.利用積分中值定理證明不等式.10參考文獻(xiàn):.11 學(xué)士學(xué)位論文引引 言言 不等式是數(shù)學(xué)的重要組成部分,他幾乎遍及數(shù)學(xué)的每一個(gè)學(xué)科分支領(lǐng)域，正如 D.S.密特利諾維奇在文1解析不等式一書中所說的:“今天,不等式在數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域里起著重要的作用,并且提供了一個(gè)非常活躍而又有吸引力的研究領(lǐng)域”.最初由柯西、貝努利兄弟，費(fèi)馬、施瓦茲等著名數(shù)學(xué)家們的提出到今天的日趨完善,經(jīng)歷了一個(gè)極其漫長和復(fù)雜的過程,因此不等式在數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域中起著重要的作用.同時(shí)也吸引著眾多數(shù)學(xué)家們的研究興趣，由于它本身具有完美的形式及

9、證明的困難性和方法的多樣性,往往可以考察分析能力和應(yīng)變能力。因此不等式已成為各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱門題型. 不等式即為用不等號(hào)(“”,“ ”，“ ”) 連接起來的式子.雖然其定義簡捷明了,但是對(duì)于它的理論研究也逐漸形成一門新的學(xué)科分支,不等已成為一大熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題.本文將主要通過一些典型的實(shí)例,介紹不等式的其幾種證明方法和變形技巧不等式的證明也是一門藝術(shù)，它具有自己獨(dú)到的豐富的技術(shù)手法。因此，我們?cè)谧C明不等式時(shí)要充分運(yùn)用函數(shù)的思想和數(shù)形結(jié)合的思想；充分利用微分與積分的知識(shí)來證明不等式，使一些復(fù)雜的不等式得到更加簡潔的證明，也使得一些不等式的證明方法多樣化。因此在證明不等式時(shí)關(guān)鍵在于要抓住不等式的特點(diǎn)

10、，從而迅速有效地解決問題.下面我將從微積分所涉及到的幾個(gè)不同方面的不等式來闡述其特殊的幾種方法微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法和工具，在自然科學(xué)和工程技術(shù)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí)在微積分領(lǐng)域同樣存在著證明不等式的幾種特殊的方法和技巧. xxx 學(xué)士學(xué)位論文2一一 一元函數(shù)微分學(xué)中不等式的證明方法一元函數(shù)微分學(xué)中不等式的證明方法1. 直接利用拉格朗日中值定理證明不等式直接利用拉格朗日中值定理證明不等式定理 1（拉格朗日中值定理） 如果函數(shù)滿足)(xf(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；ba,(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；ba,那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)（） ，使等式.ba,ba)()()(

11、abfafbf【利用拉格朗日中值定理證明不等式的一般思路】：設(shè)在上連續(xù)，在)(xfba,內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知存在（a，3n!2nnxexx211說明：當(dāng)要證得不等式中含有上面幾個(gè)重要初等函數(shù)之一時(shí)，可用冪級(jí)數(shù)展開式法進(jìn)行證明。7.利用柯西中值定理證明不等式利用柯西中值定理證明不等式定理3（柯西中值定理） 設(shè)滿足:)(),(xgxfxxx 學(xué)士學(xué)位論文8(1)在區(qū)間上連續(xù);ba,(2)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；ba,（3）和不同時(shí)為零；)(xf )(xg（4）.)()(bgag則至少存在一點(diǎn)）（）（）（）（）（）（使得gfag-bgaf-bf,ba例7.1:設(shè),證明2ebae2224lnlneabb

12、b證明：設(shè)則xxgxxf)(,ln)(21)(,ln2)(xgxxxf對(duì)于在上應(yīng)用柯西中值定理有)(),(xgxfba,).(ln2lnln22baabbb設(shè)考察,ln2)(ttt ),(t。2)ln1 (2)(ttt顯然當(dāng)時(shí)，即.以在時(shí)單調(diào)遞減。從而.et , 0ln1t0)( t)(tet )()(2e即，故.2222lnlneee2224lnlneabbb說明：柯西中值定理是研究兩個(gè)函數(shù)變量關(guān)系的中值定理，當(dāng)一個(gè)函數(shù)取作自變量自身時(shí)，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理證明的不等式一定能用柯西中值定理來證，反之則不然.二二 有關(guān)積分領(lǐng)域涉及到的不等式證明有關(guān)積分領(lǐng)域涉及到的不

13、等式證明1. 利用積分性質(zhì)證明不等式利用積分性質(zhì)證明不等式定積分的性質(zhì)：性質(zhì)1：若f在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且ba,kkfba,xxx 學(xué)士學(xué)位論文9;)()(dxxfkdxxkfbaba性質(zhì)2：若都在上可積，則在上也可積，gf ,ba,gf ba,bababadxxgdxxfdxxgxf;)()()()(性質(zhì)3：若在區(qū)間上，有，那么ba,)()(xgxfbabadxxgdxxf;)()(性質(zhì)4：在上可積的充要條件是：任給在與上都可積.fba,c,bafca,dc,此時(shí)，又有等式bacabcdxxfdxxfdxxf;)()()(性質(zhì)5：設(shè)為上的可積函數(shù)，若，fba,baxxf, 0)(

14、badxxf. 0)(例1.1 證明不等式.)0(lnbaababab分析：積分和微分是互逆運(yùn)算，積分本身具有單調(diào)性，問題關(guān)鍵在于把不等式兩邊構(gòu)造成積分形式，使用微積分基本不等式 ，再利用積分性質(zhì)便)()(aFbFbadxxf）（可得到.證明：不等式的左邊 =,右邊=，abablnlnlnbalnxd）（dxx1baab badx令在上是可積函數(shù)，由積分性質(zhì)有：1)(,1)(xgxxfba,0，dxxba2) 1(進(jìn)而2bababadxxdxxdx022 因此有成立，即0)11)()(ln4)(4222baababdxxdxxdxbababa，而于是有2)(lnabababbaab2)()11

15、)(,0 , 0, 0lnbaabab成立，即證.abababln例1.2 證明：)0(61sin3xxxxxxx 學(xué)士學(xué)位論文10證明： 因?yàn)樗运缘? 0 x,sinxx 20021sincos1xxdxdxxxxx1-,兩端在此積分得，即xcos221x300261)21 (cosxxdxxxdxxx即證.361sinxxx2. 利用積分中值定理證明不等式利用積分中值定理證明不等式定理2 若函數(shù)在上可積，且存在原函數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使)(xfba,ba,得)()(abfdxxfba例2.1 證明不等式 11083分析：此不等式若用平方法證明比較簡單，這里利用積分中值定理來進(jìn)行證明：把

16、不等式作差轉(zhuǎn)換成積分中值定理的形式.證明：不等式變形為，左邊，8101313131112113dxxxd同理右邊。注意到8,1即，21081810 xd102, 31亦有，因此有成立.12118101311083xxx 學(xué)士學(xué)位論文11參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 D.S.密特利若奇（著）.張小萍,王龍（譯）解析不等式M.北京:科學(xué)出版社.2 徐文兵.不等式的證明方法與技巧J.3 徐文兵.用“零件不等式”證明一類積式不等式J數(shù)學(xué)通訊2004.5 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)研究前代數(shù)小組編.高等代數(shù)M.第三版.北京：高等教育 出版社.6 任念兵.解不等式問題的一些高觀點(diǎn)方法J.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.7 華東師范大學(xué)

17、數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析M（上，下冊(cè)）.第三版.北京:高等教育出版社.8 繆銓生.概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)M.第二版.上海:華東師范大學(xué)出版社.9吳傳生主編，數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解 中國科技大學(xué)出版社.10人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)M人民教育出版社11數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書 李永樂主編 國家行政學(xué)院出版社.致謝在論文完成之際，我要特別感謝我的指導(dǎo)老師王玉霞老師的熱情關(guān)懷和悉心指導(dǎo)。在我撰寫論文的過程中，王玉霞老師傾注了大量的心血和汗水，無論是在論文的選題、構(gòu)思和資料的收集方面，還是在論文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了王老師悉心細(xì)致的教誨和無私的幫助，特別是她廣博的學(xué)識(shí)、深厚的學(xué)術(shù)素養(yǎng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和一

18、絲不茍的工作作風(fēng)使我終生受益，在此表示真誠地感謝和深深的謝意.在論文的寫作過程中，也得到了許多同學(xué)的寶貴建議，在此一并致以誠摯的謝意。感謝所有關(guān)心、支持、幫助過我的良師益友.xxx 學(xué)士學(xué)位論文12經(jīng)典經(jīng)典婚慶主持詞婚慶主持詞炮竹聲聲賀新婚炮竹聲聲賀新婚, ,歡聲笑語迎嘉賓歡聲笑語迎嘉賓. .尊敬各位來賓尊敬各位來賓, ,各位領(lǐng)導(dǎo)各位領(lǐng)導(dǎo), ,各位親朋好友各位親朋好友, ,先生們先生們, ,女士們女士們, ,活潑可愛的小朋友們活潑可愛的小朋友們, ,大家好大家好! ! 好歌好語好季節(jié)好歌好語好季節(jié), ,好人好夢(mèng)好姻緣好人好夢(mèng)好姻緣. .來賓們今天是公元來賓們今天是公元*年年*月月*日日( (農(nóng)

19、歷六月初八農(nóng)歷六月初八) )是良辰吉日是良辰吉日, ,在這大吉大利吉祥喜慶在這大吉大利吉祥喜慶的日子里的日子里, ,我們懷著十二分的真誠的祝福相聚在我們懷著十二分的真誠的祝福相聚在*酒樓一樓婚宴大廳共同慶賀酒樓一樓婚宴大廳共同慶賀*先生與先生與*小姐新婚典禮小姐新婚典禮.(.(首先我們給予掌聲的恭喜首先我們給予掌聲的恭喜) )大家都知道結(jié)婚是人生中的一件大事大家都知道結(jié)婚是人生中的一件大事, ,而婚禮而婚禮更是人生中最幸福神圣的時(shí)刻更是人生中最幸福神圣的時(shí)刻, ,尤其婚禮上浪漫尤其婚禮上浪漫溫馨溫馨高雅別致的婚禮儀式以及親朋好友的高雅別致的婚禮儀式以及親朋好友的良良好好祝愿會(huì)給新人一生永遠(yuǎn)帶來

20、最美好的回憶祝愿會(huì)給新人一生永遠(yuǎn)帶來最美好的回憶. .各位親朋好友各位親朋好友, ,我是本次婚禮慶典的主持人我是本次婚禮慶典的主持人*.*.今今天我十分榮幸地接受新郎新娘的重托天我十分榮幸地接受新郎新娘的重托, ,步入這神圣而莊重的婚禮殿堂為新郎步入這神圣而莊重的婚禮殿堂為新郎*,*,新娘新娘*的的婚禮擔(dān)任司儀之職婚禮擔(dān)任司儀之職. .讓我們?cè)谶@里共同見證一對(duì)新人人生中最幸福神圣美好的一刻！讓我們?cè)谶@里共同見證一對(duì)新人人生中最幸福神圣美好的一刻！真是真是: :百鳥朝鳳鳳求凰百鳥朝鳳鳳求凰, ,龍鳳呈祥喜洋洋龍鳳呈祥喜洋洋. .xxx 學(xué)士學(xué)位論文13讓我們用掌聲祝賀他們祝福新人讓我們用掌聲祝賀

21、他們祝福新人鳳凰展翅迎朝暉鳳凰展翅迎朝暉, ,恩愛鴛鴦比翼飛恩愛鴛鴦比翼飛. .攜手同步知心人攜手同步知心人, ,共創(chuàng)宏圖獻(xiàn)真情共創(chuàng)宏圖獻(xiàn)真情. .郎才女貌天作美郎才女貌天作美, ,洞房花燭喜成雙洞房花燭喜成雙. .在神圣的婚禮進(jìn)行曲中一對(duì)新人手挽手在神圣的婚禮進(jìn)行曲中一對(duì)新人手挽手, ,肩并肩緩緩步入婚禮大廳肩并肩緩緩步入婚禮大廳. .臉上充滿了無比幸臉上充滿了無比幸福的笑容讓我們用掌聲與鮮花給予一對(duì)新人最誠摯的祝福福的笑容讓我們用掌聲與鮮花給予一對(duì)新人最誠摯的祝福. .婚姻是人生大事婚姻是人生大事, ,結(jié)婚典禮對(duì)青結(jié)婚典禮對(duì)青年男女來說是一生中最重要的時(shí)刻年男女來說是一生中最重要的時(shí)刻.

22、.你也笑你也笑, ,我也笑我也笑, ,親朋好友齊來到親朋好友齊來到. .天也新天也新, ,地也新地也新, ,眾星捧月迎新人眾星捧月迎新人. .新郎新娘臺(tái)上站新郎新娘臺(tái)上站, ,甜蜜甜蜜感覺涌心間感覺涌心間. .風(fēng)風(fēng)雨雨?duì)渴诌^風(fēng)風(fēng)雨雨?duì)渴诌^, ,今天喜結(jié)美姻緣今天喜結(jié)美姻緣. .親朋好友齊相聚親朋好友齊相聚, ,歡歡喜喜來賀喜歡歡喜喜來賀喜. . * * * * * * 天仙配天仙配, ,幸福的生活比蜜甜幸福的生活比蜜甜. .在這個(gè)激動(dòng)人心的美好時(shí)刻在這個(gè)激動(dòng)人心的美好時(shí)刻, ,作為婚慶司儀作為婚慶司儀, ,首先請(qǐng)?jiān)试S我代表新郎新娘以及新郎新娘首先請(qǐng)?jiān)试S我代表新郎新娘以及新郎新娘的雙方家長的雙方

23、家長, ,對(duì)今天百忙當(dāng)中來參加婚禮的各位來賓對(duì)今天百忙當(dāng)中來參加婚禮的各位來賓, ,各位親朋好友的光臨表示最誠摯的謝各位親朋好友的光臨表示最誠摯的謝意和熱烈的歡迎意和熱烈的歡迎( (謝謝大家謝謝大家)!)!歡迎你們歡迎你們! !婚禮對(duì)每一個(gè)新婚的人而言婚禮對(duì)每一個(gè)新婚的人而言, ,都是神圣都是神圣, ,浪漫浪漫, ,唯美和經(jīng)典的唯美和經(jīng)典的, ,隨著神圣的婚禮進(jìn)行曲奏隨著神圣的婚禮進(jìn)行曲奏響響, ,英俊的新郎和美麗的新娘在掌聲與祝福聲中英俊的新郎和美麗的新娘在掌聲與祝福聲中, ,緩緩的步上紅地毯緩緩的步上紅地毯, ,那是萬眾矚目的一瞬那是萬眾矚目的一瞬, ,那是夢(mèng)寐以求的一瞬那是夢(mèng)寐以求的一瞬

24、, ,那是凝結(jié)愛的萬語千言的一瞬那是凝結(jié)愛的萬語千言的一瞬, ,那是最激動(dòng)人心的一瞬那是最激動(dòng)人心的一瞬, ,一同迷醉在塵一同迷醉在塵世間最美妙的氣氛里世間最美妙的氣氛里. .愛情是古老而年輕的話題愛情是古老而年輕的話題, ,也是不朽的人生主題也是不朽的人生主題. .許多人已經(jīng)擁有許多人已經(jīng)擁有, ,更多人正在追求更多人正在追求, ,今今天這兩位新人從有過初戀時(shí)天這兩位新人從有過初戀時(shí) 月上柳梢頭月上柳梢頭, ,人約黃昏后人約黃昏后 的熱烈心跳的熱烈心跳, ,到也有熱戀中到也有熱戀中 冷落清秋冷落清秋傷別離的難舍難分傷別離的難舍難分,經(jīng)歷了經(jīng)歷了 似水柔情似水柔情, ,如夢(mèng)佳期如夢(mèng)佳期, ,的

25、苦苦期盼的苦苦期盼, ,品嘗過品嘗過 相知不渝相知不渝, ,永結(jié)金蘭永結(jié)金蘭的浪漫溫馨的浪漫溫馨, ,終于迎來這攜手共赴紅地毯的幸福時(shí)刻終于迎來這攜手共赴紅地毯的幸福時(shí)刻. .啊啊! !美麗的新娘美麗的新娘, ,這一刻這一刻, ,整個(gè)世界因你整個(gè)世界因你xxx 學(xué)士學(xué)位論文14而多姿多采而多姿多采, ,英俊蕭灑的新郎英俊蕭灑的新郎, ,這一刻這一刻, ,整個(gè)宇宙而為你祝福整個(gè)宇宙而為你祝福, ,祝福你們?cè)谶@鮮花綻開的時(shí)候祝福你們?cè)谶@鮮花綻開的時(shí)候, ,祝福你們?cè)谶@神圣莊重的幸福時(shí)刻祝福你們?cè)谶@神圣莊重的幸福時(shí)刻. .首先由我介紹一下二位新人首先由我介紹一下二位新人, ,站在我身邊這位英俊瀟灑的

26、男子就是我們今天的新郎官站在我身邊這位英俊瀟灑的男子就是我們今天的新郎官*先生先生,(,(掌聲恭喜掌聲恭喜) )新郎不僅風(fēng)度翩翩新郎不僅風(fēng)度翩翩, ,氣質(zhì)不凡氣質(zhì)不凡, ,而且忠厚誠實(shí)為人和善而且忠厚誠實(shí)為人和善, ,是一位才華出眾是一位才華出眾的好青年的好青年. .大家往我們新郎身上看大家往我們新郎身上看, ,新郎今天是新洗的臉新郎今天是新洗的臉, ,新刷的牙新刷的牙, ,新刮的胡子新刮的胡子, ,新理的發(fā)新理的發(fā), ,新襯衣新襯衣, ,新領(lǐng)帶新領(lǐng)帶, ,新買的皮鞋腳下踩新買的皮鞋腳下踩, ,新背心新背心, ,新西服新西服, ,里邊還穿了一條新內(nèi)褲里邊還穿了一條新內(nèi)褲, ,新郎渾身上下新郎渾身上下全是新全是新, ,新郎心情喜盈盈新郎心情喜盈盈. .大家給點(diǎn)掌聲大家給點(diǎn)掌聲. .旁邊這位美麗迷人漂亮溫柔的女子旁邊這位美麗迷人漂亮溫柔的女子, ,就是我們今天就是我們今天的新娘子的新娘子*小姐小姐.(.(掌聲恭喜掌聲恭喜) )介紹新娘介紹新娘, ,大家看我們的新娘人家眉毛好大家看我們的新娘人家眉毛好, ,眼睛好眼睛好, ,鼻子好鼻子好, ,嘴嘴巴好巴好, ,耳朵好耳朵好, ,臉蛋好臉蛋好, ,最關(guān)鍵還是人家心眼好最關(guān)鍵還是人家心眼好, ,溫馨小姐溫文而雅溫馨