大學(xué)專業(yè)課程《線性代數(shù)》試題及答案(四)

1、大學(xué)專業(yè)課程線性代數(shù)試題及答案（四）1. 填空題x2x30x2x2x3x30 只有零解，則參數(shù)0應(yīng)滿足1且2.x1（1） 若齊次方程組x1x1解： an x0 只有零解a0r an ；an x0 有非零解a0r an ；112a11111201 且2 .x1x2a1x2x3a2（2） 若方程組有解，則常數(shù)a1, a2, a3, a4 滿足a1a2a3a40.x3x1解： am n xb 有解x4a3x4a4r ar abr a ；1100a10110a2a0011a31001a4a1 a2a3a1a4a1 a2a3a2a3a41100011000110000a11100011000110101

2、則 r ar aa1a2a3a40 .121x11313（3）若方程組23a1x23無解，則1a2x30a2.解： r ar a則 axb 無解；121112111211a23a1301a1101a111a200a23100a 23a1a32313313a3a10a， 則 當(dāng) a2時(shí) ， r a22 r a3 ， 此 時(shí)axb 無解 .a11x11（4）若方程組1a1x21有無窮多解，則a-2.11ax32解： an n xb ，則a0axb 有一解；r ar a ， 有 解a0axb 有 0，解；r ar a ，有0解a11a1a1a12a20a1或211a11111111當(dāng)a1 時(shí)，a11

3、110000，ra1ra2 ，故無解；1112000321111122r32r1112212111211r2r1033311222111r3r20000當(dāng) a2 時(shí)， a，r ar a23 ，故有無窮解；綜上所述： a2 .120x12（5）若方程組231x23有惟一解，則a, b 滿足a2,br.34ax3b解：aa20a2，對(duì)b 無要求，即a2,br.（6）若n 階矩陣a 的每一行元素之和為零， 且r( a)n1 ，則齊次線性方程組ax0 的基礎(chǔ)解系為(1,1,1)t.1解：a1na1 jj 1nanjj 101，即為 ax010 的非零解向量； 記 sax ax0 為 ax0的解空間，則

4、dim sanr ann11，則sa 的任何一個(gè)線性無關(guān)的解向量均是 sa的基礎(chǔ)解系，從而ax0 的基礎(chǔ)解系是(1,1,1)t .（ 7）設(shè)1,2 為非齊次線性方程組ax的兩個(gè)不同解，其中a 為 mn 矩陣，且r( a)n1 ，則 ax的通解為 x1k(12 )或者 x2k(12), kr .解：記sa 為 ax0 的解空間，則dim sanr ann11，則sa 的任何一個(gè)線性無關(guān)的解向量均是sa 的基礎(chǔ)解系，1,2 為非齊次線性方程組ax的兩個(gè)不同解，則12 是 ax0 的一個(gè)非零解， 從而1 2 線性無關(guān)， 那么12 是 sa 的基礎(chǔ)解系，則 ax的通解為： x1k(12 )或 者 x2

5、k(12), kr .（ 8 ） 設(shè)a 為 mn矩 陣 ， 則 非 齊 次 線 性 方 程 組 ax有 惟 一 解 的 充 要 條 件 是r( a)r( a)n.解： am n x有唯一解r ar ar an ；am n x無解rar ar a；am n x有無窮解r ar ar an .（9）設(shè) a, b 為n 階方陣，若齊次線性方程組ax0 的解都是齊次線性方程組bx0 的解，則 r( a)r( b) .解：記sax ax0為ax0 的解空間，sbx bx0為bx0 的解空間，由已知 sasb，則dim sanradim sbnr br arb.（10）若aa1 a2b1 b2, ba1

6、a2b1 b2c1 c2，且三條不同直線ai xbi yci0 ( i1,2,3)a3b3a3b3c3相交于一點(diǎn)，則矩陣a, b 的秩滿足r( a)r( b)2.解：三條不同直線ai xbi yci0 (i1,2,3) 相交于一點(diǎn)a1xb1 yc1a2xb2 yc2a3xb3 yc3有唯一解r ar ana1b1c12 ， aa2b2c2aa3b3c3， 令 b123則a123，則1 ,2 ,3 與1,2 ,3 等價(jià)，從而r br a，則r br a2 .2. 選擇題（1） 齊次線性方程組ax0 僅有零解的充要條件是(a)（a ）矩陣（b ）矩陣（c）矩陣（d ）矩陣a 的列向量組線性無關(guān)；

7、a 的列向量組線性相關(guān)； a 的行向量組線性無關(guān)； a 的行向量組線性相關(guān) .解： ax0 只有零解r anr1,nn1,n 線性無關(guān)， 故選（a ）.（2） 設(shè)a是 mn 矩陣， ax0 是與非齊次線性方程組ax相對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是 (d)（a ）若 ax0 僅有零解，則 ax有惟一解；（b ）若 ax0 有非零解，則 ax有無窮多解；（c）若 ax有無窮多解，則ax0 僅有零解；（d ）若 ax有無窮多解，則ax0 有非零解 .解 ： am n x0 只有零解r an ；am n x0 有非零解r an ；對(duì) am n x，若 r ar a，則 am nx有解， 且

8、r anax有唯一解，r anax有無窮解；對(duì) am n x，有： r anax有零解或唯一解 （可能無解， 當(dāng)r ar a），r anax有無窮解或零解（可能無解，當(dāng)r ar a ） .（a ） ax0 僅有零解r anax有零解或唯一解，故（a ）錯(cuò)誤；（b ） ax0 有非零解r anax有無窮解或零解，故（b ）錯(cuò)誤；（d ） ax有無窮解r ar anax0 有非零解，故（ d）正確 .(3) 設(shè)a 是 mn 矩陣，且r( a)r ，則 (a)(a)rm 時(shí)，非齊次線性方程組ax有解；(b)rn 時(shí)，非齊次線性方程組ax有惟一解；(c)mn 時(shí)，非齊次線性方程組ax有解；(d)rn

9、時(shí)，非齊次線性方程組ax有無窮解 .解：（ a ）r ar arm 且r amr ar amax有解，故（a ）正確；（b ）r anax有零解或唯一解；（c）當(dāng)r ar a時(shí)， ax無解；（d ）r anax有無窮解或零解 .(4) 設(shè)1,2 為非齊次線性方程組ax的兩個(gè)不同解，則(b) 是 ax的解 .21(a)； (b)； (c)； (d)kk, kr, i1,2 .1212121122i33解： a 1， a 2（a ） a122；212121（b ） a12a 1a，故選（ b）；3333233（c） a120 ；（d ）a k1 1k22k1 a 1k2 a 2k1k2k1k2k1

10、k21 .10(5) 當(dāng)矩陣a 等于 (a)時(shí)，10 , 21都是齊次線性方程組ax0 的解 .21201102011(a)( 2,1,1) ； (b)； (c)； (d)422.011011011解：顯然110， 2201線性無關(guān)，記 sa 1x ax0 為 ax0 的解空間，則dim sanr a2r a1 ，故（ a ）正確 .可簡單驗(yàn)證：121100 ，2021110 .1(6) 設(shè)mn 矩陣a 的秩為r( a)mn ，em 為m 階單位矩陣， 則下列結(jié)論正確的是 ( c )(a) 矩陣(b) 矩陣a 的任意a 的任意m 個(gè)列向量必線性無關(guān)；m 階子式必不等于 0；(c) 若矩陣b 滿

11、足 ba0 ，則必有 b0 ；(d) 矩陣a 通過初等行變換，必可化成( em,0) 的形式 .解： r am n1m n ， a1n，則1rr am1,mmm線性無關(guān)， r1nr an1 ,n 線性相關(guān) .（ a ）（ b ）r am存 在 m階 子 式 不 等 于 0 ， 設(shè) 此 子 式 對(duì) 應(yīng) 矩 陣 為a1 ，a1i1 ,im，則 a10i 1,im 線性無關(guān)；（d ）初等行變換aemc行最簡形初等列變換emo 標(biāo)準(zhǔn)形；mn m（c）方法一：由r amn ，不妨設(shè)a a1a2，且a1可逆，mn mb abaaooobaoboa 1o；k mm n12k n1k m1k mm方法二：bk

12、 mam nok n ，則b11b1m1o1 nb1 jj0j1mbk 1bkmmo1 nbkjj0j1r am1 ,m 線性無關(guān)b1 j0,bkj0, j1, mbok m ；方法三：由書16 題知t，記r a ar ambat ，則abt ，r at ar bt br br atr ar arat an nraatm mmnat a0, aat0, 即aat可逆，baobaatoato （兩邊右乘at ）1boaato （兩邊右乘1aat） .綜上：（ c）正確 .(7) 設(shè)a 為 n 階方陣，且r( a)n 1 ，而1,2 為非齊次線性方程組ax的兩個(gè)不同解， k 為任意實(shí)數(shù)，則齊次線性

13、方程組ax0 的通解為 (c)(a)k 1 ； (b)k2 ； (c)k( 12) ； (d)k( 12) .解： dim sanr ann11 ，則 ax0 的任何一個(gè)非零解向量均為ax0 的基礎(chǔ)解系，由1 ,2 是 ax的兩個(gè)不同解12 是 ax0 的非零解，則1 2 是ax0 的基礎(chǔ)解系，ax0 的通解為：k12,kr ，選（ c） .(8) 設(shè)1,2 為非齊次線性方程組ax的兩個(gè)不同解，而1,2 為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 ax0 的基礎(chǔ)解系，k1, k2 為任意實(shí)數(shù)，則 ax的通解為 (ab)(a)k11k2(12 )12 ；(b)2k11k2(12 )12 ；2(c)kk ()12 ；

14、(d)kk ()12 .211212112122解：非齊次方程組通解=非齊次方程組特解 +齊次方程組通解非齊次方程組特解可選：1,2,12 （ a121a 1a 2）222齊次方程組通解可選擇：k11k22 , k11k212, k1 1k212注意：k11k212不一定是 ax0 的通解，因?yàn)? 2 可能與1 相關(guān)綜上：選（ a ）（ b） .(9) 設(shè)a 為 mn 矩陣，b 為 nm 矩陣， 對(duì)于齊次線性方程組( ab) x0 ，以下結(jié)論正確的是 (d)(a) 當(dāng)(b) 當(dāng)nm 時(shí)僅有零解；nm 時(shí)必有非零解；(c) 當(dāng)(d) 當(dāng)mn 時(shí)僅有零解；mn 時(shí)必有非零解 .解：（a ）（ b）

15、rab m mr am nmn ，則ab x0 有非零解r abm ，ab x0 只有零解r abm，故ab x0 有非零解或者只有零解均有可能，故（a ）（b ）錯(cuò)誤；（c）（d ） rab m m3. 求解以下方程組r am nnmab x0 有非零解，故（ d）正確 .x12 x2x3x41(1)x12 x2x3x41x12 x2x35 x45x1x23x312xx2x1(2)1232xxx2x13x2x35123(3)(4)x1x1x1 3x12x1x22x2 2 x22x23x2x333x313x3x41x3x41x3x41x1x25x372x2x2xx12x3x3x14123412

16、35x5x2x2123x1x22 x3x40(5)2 x1x2x3x40(6)2 x12 x2x32 x404 x12 x2x32(7)3 x111x1x23 x22 x3810(8)x1 3x12 x26 x2x3x40x33x405x12 xxy10 x2x33 yz44 z55 x403x8 y2 z13x2x3x412x2x33x444 xy9 z63 xyzw(9)2 x2 y2 z2 xyzw1w2(10)12 x1 3x1 x1121解：（ 1）12112111121rr00000000011000002111224 x23 x35x421112100rr553144r ar a

17、24 ，方程組有無窮多解x12x2x3x2x2x1021x2010x3x3x3001x41x4100同解方程組為，即得通解xk1k2,k1, k2r；（2）11311131101433004410102212111123r a3r a4 ，方程組無解；21121101260011220000r2r3122111112002（3） （3）1315r4r10241222010211571 r2 10198001223314rr2231024120000r a123321231222552x11方程組有唯一解xx22；x3211231112311r a3 ，110482201531101531006

18、5110241100121022051353000001（4）1101x3 x2x121203212015310065100000000002x23x4425x31，同解方程組為x115x5 x14366x4x4x2即得通解 x1 1k7, kr ；x36 15x4062113103401053010300341004（5）1121112111012212003103034x4 x143x14x23x4x29同解方程組為，通解為 xk, kr；x4 xx34334x43x4x4（6）1211121112013004000105004000003615101x1x4x2x22x2x121x210

19、同解方程組為，通解為xk1k2, k1, k2r ；x30x4x41x300x401121412112141252114172052114172511500062424212（7）312100113080r a2r a3 ，方程組無解；（8）231405145100314010071414501145115714280714000001000003821301112419601320r ar ax33 ，方程組有唯一解y0；z2（9）3111122212r3r2231111311110441401111rr333342111123 101121000704100100000x0x00yz1y1

20、1101010，同解方程組為，通解為zzzk, kr ；010759501410181014352w0w00（10）21111r132134r1435222r3 3r31001001 x411677759577700014352075950000013x61 x同解方程組為x77723455 x9 x ，777x3 x4x1x21x3 x4611559通解為xk1k2, k1, k2r .x37x40700074. 求參數(shù), a,b 取何值時(shí)，下列方程組有惟一解、無解或有無窮多個(gè)解. 當(dāng)有無窮多個(gè)解ax1x2x342x1x2x32(1)x1bx2x33(2)x12x2x3x2bxx4x1x22

21、x322 x1x2x3x41(2) x12 x22 x31(3)x12 x2x34x42(4)2x1(5) x24 x32x17 x24 x311x42 x14 x2(5) x31x1x2x3x4x51時(shí)，求其一般解 .1233x2xxx3xa(21)x1x2(1)x31(5)12345(6)(2) x(1)x(2) xx22x32 x46 x531235x14 x23x33x4x5b(21)x1(1)x2(21)x3a11解：（ 1）a1b1ba112b112bx11且 b0 時(shí)， a0 ，由克萊姆法則知方程組有唯一解：x2x3b(1a) 1b4b2ab1b(1a)ara，無解；r3r210

22、01b1100411101b11041r2r1b0001bb1b0 ，即 b b11 時(shí)， r2ara，無解；11121412時(shí)， rar a2 ，有無窮多解， 此時(shí)000000x12122111211122r21r001332332223212r12r3222302220 ，即1 且2 時(shí)，無解 .20 ，即1 或2 時(shí)，有無窮多解，且：當(dāng) a；a114a114當(dāng)b0 時(shí)，10131013， r101400011114當(dāng)a1時(shí)，1b1312b14若11012010102，000110100若 b通解為：x22k0, kr .x301（2）當(dāng)2當(dāng)211211011x1111時(shí)，01100110

23、，通解為：x20k 1 , kr ；00000000x30111241012x1212 時(shí)，01120112，通解為：x22k1, kr ；00000000x301211110537312142（3）121421214205373174110537200005當(dāng)5 時(shí)， rar a，無解；x12x2x3當(dāng)5時(shí)，有無窮多解，同解方程組為x7x43x34x4352，25通解為： x154300k11350k26705,k1, k2r ；222（4）24120r3r7262 122252451r12r220514211當(dāng)10 時(shí)， r ara，無解；2442122110 時(shí)，有唯一解，此時(shí)：4122

24、50101411021125422542011101110164 1210010141當(dāng)1 時(shí)，方程組有無窮多解，此時(shí)00000000，00000000x1122通解為：x20k11k20, k1, k2r ；x3001當(dāng)1 且2501010141004x1方程組解為：x2316；10x31111321101225433411111111（5）3a01226a3630122631b01226b5111111rr2301226300000a00000b2r4r3r2r3當(dāng) a0 或 b2 時(shí)，r ara，無解；當(dāng) a0 且 b2 時(shí)，有無窮多解，1011520122630000000000002

25、1153226通解為：x0k11k20k30,k1, k2 , k3r；0010201010211122102112121101 時(shí)，有唯一解；（6） a221101110111011當(dāng)0 時(shí)，212001020102111001010001當(dāng)0 且r ar a，無解；當(dāng)1 時(shí)，312031201011101110110002， r ar a，無解；當(dāng)1時(shí)，3110211025323105350535323100000000101x1有無窮多解，通解為：x2x33151k3501, kr .11105. 對(duì)于向量組11,21 ,31,；試討論參數(shù)滿足什1112么條件時(shí)，(1) 可由1,2,3

26、線性表出，且表示方式惟一；(2) 可由1,2,3 線性表出，但表示方式不惟一；(3) 不能由1,2,3 線性表出 .解： a0ax有唯一解可由1,2,3 線性表出，且表達(dá)式唯一；a0ax有無窮解或無解；ax有無窮解可由1,2 ,3 線性表出，且表達(dá)式不唯一；ax無解不能由1 ,2 ,3 線性表出；111a1112111300 且3（1）可由1,2,3 線性表出，且表達(dá)式唯一0 且3 ；11101110（2）當(dāng)0 時(shí)，a11100000，r ar a13 ，此時(shí)11100000ax有無窮解，可由1,2,3線性表出，且表達(dá)式不唯一；（3）當(dāng)3 時(shí)，211011291129a121303312033

27、121129033180006r a2r a3 ，此時(shí) ax無解，不能由1,2,3 線性表出 .6. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩是2，并已知該方程組的三個(gè)解向量是1232341,2, 3求該方程組的通解 .344455解： dim sanr a4 22 ，則 ax0 的任何兩個(gè)線性無關(guān)的解向量均是它的一組基礎(chǔ)解系；由1, 2,3 為非齊次方程組 ax的三個(gè)解向量知：2113121，22111為ax0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，故為ax011的一組基礎(chǔ)解系；x1121x2221故 ax的通解為k1k2, k1, k2r .x3311x44117. 設(shè)三元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為1，

28、且已知它的三個(gè)解1, 2 ,3 滿足：101122 ,231 , 130311求該方程組的通解 .解： dim sanr a312 ，故 ax0 的任何兩個(gè)線性無關(guān)的解向量均是它的一1組基礎(chǔ)解系；122301 ， 231112 ，1303 ，1則1，又，01 1 2為非1232齊次方程組特解；12311332201235 2112133，2132322 為 ax 40 的兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，故為 ax0 的一組基礎(chǔ)解系；故 x2k1 1k2 2, k1,k2r 為 ax的通解 .注意：此題中非齊次方程組的特解、齊次方程組的基礎(chǔ)解系找法不唯一.1228設(shè)矩陣a4t3，矩陣 b 為3 階非零矩陣，且ab0 ，求 t 的值.311解：ab0 ，由 p110 例 9 知：r ar b3 ，又b 是非零矩陣，r b1 ，r a2 ，則 a0 ；122a4t37t210t3 .a113119設(shè)矩陣 a1b1， b 為三階非零矩陣，且滿足ab0 ，求a, b 及r(b) .13b1解：ab0 ，由 p110 例 9 知：r ar b3 ，又b 是非零矩陣，r b1 ，r a2 ，即a 不滿秩，則 a0 ；a11a1