2013考研數(shù)三真題及解析

1、2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)x 0時(shí)，用o(x)表示比x高階的無(wú)窮小，則下列式子中錯(cuò)誤的是(x o(x2) o(x3)(B)23o(x) o(x ) o(x )(C)o(x2) o(x2) o(x2)(D)o(x) o(x2) o(x2)(2)函數(shù) f(x)兇_1一 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(x(x 1)l n|x|(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(3)設(shè)Dk是圓域D ( x, y) | x2 y2 1位于第k象限的部分，記 * (

2、y x)dxdy k 1,2,3,4 ,Dk則(A)Ii(B)I3(D)I4(4)設(shè)an為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是(A )若 an an 1 ,則(1)n 1an 收斂 n 1(B)若(1)n 1an 收斂，則 anan 1n 1(C)若 an收斂，則存在常數(shù) P 1,使limn 1nnPan存在(D)若存在常數(shù)p 1，使lim nPan存在，則 nan收斂1(5)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣，若 AB C,則B可逆，則(A)(B)(C)(D)矩陣 矩陣 矩陣 矩陣C的行向量組與矩陣C的列向量組與矩陣C的行向量組與矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià) A的列向量組等價(jià) B的行向量組等價(jià) B

3、的列向量組等價(jià)(6)矩陣00相似的充分必要條件為(A)0,b(B)0,b為任意常數(shù)2,b0(D)2,b為任意常數(shù)(7)設(shè)X1, X2, X3是隨機(jī)變量，且2 2X1N(0,1)，X2N(0,2 )，X3 N(5,3 ),PjP2 Xj 2(j1,2,3),則(P2(A)(B)P2P3F2(D)P3X和丫的概率分布分別為,X0L23Y-101p12141S13PI31313(8)設(shè)隨機(jī)變量 X和丫相互獨(dú)立，則則 PX Y 2()(B)(C)(D)112181612二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙 指定位置上.(9)設(shè)曲線yf (x)和 y x2x在點(diǎn)(0,1)處有

4、公共的切線，則nlim nf n n 2(10)設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程Xz(z y) xy確定，則 x(1,2)(11)微分方程1y y -y 0通解為y4(13 )設(shè) A(aij)是三階非零矩陣，IA I為A的行列式，Ajj為aij的代數(shù)余子式，若aijAjj 0(i, j1,2,3),則 A(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 XN(0,1)，則E(Xe2X) =三、解答題：15 23小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)0 時(shí)，1 cosx cos2xcos3x與axn為等價(jià)無(wú)窮小，求 n與a的值。(16)(

5、本題滿分10分)1設(shè)D是由曲線y x3，直線xa(a 0)及x軸所圍成的平面圖形，Vx,Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若 Vy 10Vx，求a的值。(17)(本題滿分10分)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域D由直線x3y, y 3x 及 x y 8 圍成.計(jì)算x2dxdy oD(18)(本題滿分10分)設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元件價(jià)格函數(shù)為P 60盞(P是單價(jià)，單位:元，Q是銷量，單位：件)(1)該商品的邊際利潤(rùn)。，已知產(chǎn)銷平衡，求:(2) 當(dāng)P=50時(shí)的邊際利潤(rùn)，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。(3) 使得利潤(rùn)最大的定價(jià) (19)(本題滿分10分)p。設(shè)函數(shù)f(x)在0,上可導(dǎo)，

6、f(0) 0且 lim f(x)x2，證明(1)存在a 0,使得f(a)(2)對(duì)(1)中的a，存在1(0, a),使得 f'()丄a(20)(本題滿分11 分)1 a1 0,B(21)(本題滿分當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC CAB，并求所有矩陣C。11 分)設(shè)二次型 f x1, x2, x3a1x1a2x283X3a2 ,a3blb?。b3(I)證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2 T(II )若，正交且均為單位向量，證明二次型f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型2y122y2。(22)(本題滿分11分)設(shè)X,丫是二維隨機(jī)變量，X的邊緣概率密度為fx3x2, 0x1,0, 其他.，在給定X條件

7、下，丫的條件概率密度f(wàn)Y|X3y23x0,x,(2)(23)設(shè)總體其他.求X,丫的概率密度丫的邊緣概率密度(本題滿分11 分)X的概率密度為fx, y ；fY2 _一e x3 Dx0,0,其中 為未知參數(shù)且大于零，X1,X2,L其它.Xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.(1) 求的矩估計(jì)量；(2) 求的最大似然估計(jì)量.只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)X 0時(shí)，用o(x)表示比x高階的無(wú)窮小，則下列式子中錯(cuò)誤的是(2013年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題答案、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,1x o(x2) o(x3)

8、(B)23o(x) o(x ) o(x )(C)o(x2) o(x2) o(x2)(D)o(x) o(x2) o(x2)【答案】D【解析】0( X)0( X2) o(x)，故D錯(cuò)誤。(2)函數(shù) f(x)兇一1一 的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(x(x 1)l n|x|(A)(B)(C)(D)0123【答案】C【解析】由題意可知f (x)的間斷點(diǎn)為0,1。又limx 0f(x)limx 0x(x 1)ln xlimx0 x(x 1)ln xlimx 0X ln X , 1 x(x 1)ln Xxim0f(x)xim0(x)x 1xln( x) ex(x 1)ln(x)limx 0 x(x 1)ln( x)

9、limx 0 x(xxln( X)1)ln( x)01 f(x)limx 1 x(x 1)ln x01xln Xlimx(x 1)ln X x 1 x(x 1)ln xxim1f(x)(x)x 1xim1 x(x 1)ln( x)lim e"1 lim Xln( X)x 1x(x 1)ln( X) x 1x(x 1)ln( x)故f (x)的可去間斷點(diǎn)有2個(gè)。(3)設(shè)Dk是圓域D(X, y)|x2y 1位于第k象限的部分，記Ik(y x)dxdyDk123,4 ,則(A)I1(B)(C)I3(D)I4【答案】B【解析】令Xr cos,yr sin，則有Ik (yDkx)dxdy1rd

10、r0(r sinrcos )d (cos3sin故當(dāng)k 2時(shí),，此時(shí)有I 20.故正確答案選B。(4)設(shè)an為正項(xiàng)數(shù)列，下列選項(xiàng)正確的是(B)(C)(D)若anan1,則(1)n 1an 收斂n 1(1)n 1an 收斂，則 anan收斂，則存在常數(shù)an 11,使 limnnPan存在若存在常數(shù)P 1，使limnPn an存在，則an收斂1【答案】D【解析】根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法,p 1時(shí)，n11 np收斂，且lim nnPan存在，則nan1斂散，故 an收斂.n 1(5)設(shè)矩陣A,B,C均為n階矩陣， (A )矩陣C的行向量組與矩陣 A (B)矩陣C的列向量組與矩陣 A若的行向量組等價(jià)

11、的列向量組等價(jià)AB C，且C可逆，則(CB 1，從而A的列向量組也可以由C的列向量組線性表示，故根據(jù)向量組等價(jià)的定義可知正確選項(xiàng)為(B )。(C) 矩陣C的行向量組與矩陣 B的行向量組等價(jià)(D) 矩陣C的行向量組與矩陣 B的列向量組等價(jià) 【答案】(B) 【解析】由C AB可知C的列向量組可以由 A的列向量組線性表示，又 B可逆，故有(6)矩陣(A) a0,b2(B) a0,b為任意常數(shù)(C) a2,b0(D) a2, b為任意常數(shù)【答案】(B)1 a 1【解析】由于 aba1為實(shí)對(duì)稱矩陣,11aa 1故一定可以相似對(duì)角化，從而00相似的充分必要條件為的特征值為2,b,0。(b)(2) 2a2，

12、從而a 0,b為任意常數(shù)00相似的充分必要條件為(7)設(shè) X1,PjPXj 2( j 1,2,3),則()P2F3(B)P2(C)P3F2(D)P3【答案】(A)2 2X2, X3是隨機(jī)變量，且 X1N(0,1)，X2N(0,2 )，X3 N(5,3 ),0L23¥-1a1p1111P1112s333(8)設(shè)隨機(jī)變量 X和丫相互獨(dú)立，則 X和丫則 PX 丫2()【解析】由 Xi : N 0,1 ,X2 :N 0,22 ,X35,32 知,P1 PX12P |XiP2 pX22P X2故 P1P2.由根據(jù)X3 :N 5,32及概率密度的對(duì)稱性知,PiP2P3，故選(的概率分布分別為,(

13、10)設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程(z y)x(A)(B)(D)112181612【答案】(C)【解析】1,Y 12,Y0 P X3,Y，又根據(jù)題意X,Y獨(dú)立,二、填空題:14小題,每小題4分，共24分,請(qǐng)將答案寫在答題紙11,選(C).6指定位置上.(9)設(shè)曲線f (x)和 y x2x在點(diǎn)(0,1)處有公共的切線，則lim nfn【答案】【解析】x 在(1,0)處的導(dǎo)數(shù)是 y'(1) 1，故 f'(1) 1, f(1)lim nf(nf(1 二)f(1)limn2n 22nn 2f'(1) ( 2)xy確定，則x(1,2)【答案】221 n2【解析】原式為ex'

14、n(z y)xy,左右兩邊求導(dǎo)得：xyln( z y) x厶y,令 x 1,y 2z y得 z O,Zx2(1 In 2)(11)求In X .(1 x)2 x【答案】In 2【解析】In x dx (1 x)1In xd()1 xIn x+1 x1 dx x(1 x)In x x +ln 1 x 1 xInx lim 1(1 x) xIn x + ln 1 xIn x(12)微分方程y14y0通解為【答案】1 _xe2C1xC2【解析】特征方程為(13 )設(shè)A (aij)是aij A ij【答案】【解析】由 aijAijx+ ln1 x 1 xIn 20,(二重根)，所以通解為2階非零矩陣，

15、IA I為A的行列0(i,j 1,2,3),則 A0可知,At1-xye2C1x C2式，Ajj為aij的代數(shù)余子式，若ai1A132aijj 1ai2 A232aiji 1ai3 Ai3a1 j A1 ja2j A2 j a3j A3j從而有Aat2A ,故 A =-1.(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 XN(0,1)，則E(Xe2X) =【解析】由X : N 0,1及隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式知【答案】2e2E Xe2X1x2三、解答題:15 23小題，共941- x 2 2 42-；= xe2 dx 2e .分.請(qǐng)將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（1

16、5）（本題滿分10分）當(dāng) x 0 時(shí)，1 cosx cos2xcos3x與axn為等價(jià)無(wú)窮小，求 n與a的值?！窘馕觥恳?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，1COSX cos2x cos3x與axn為等價(jià)無(wú)窮小所以 liml cosx cos2x cos3x 1x 0n ax又因?yàn)?1 cosx cos2x cos3xcosx cosx cosx cos2x cosx cos2x cosx cos2x cos3xcosx cosx(1 cos2x) cosx cos2x(1 cos3x)1 cosx cos2x cos3x limx 0n axlimx1 cosx cosx(1 cos2x) cosx cos2x(

17、1 cos3x)nax/1 cosxlxm0(cosx(1 cos2x)nax1 2 2 -x o(x )2axnnax1 2 2-(2x)2 o(x2)cosx cos2x(1 cos3x)nax所以n(16)2且丄2a（本題滿分設(shè)D是由曲線y2a10 分)1x3，周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，若【解析】由題意可得:Vx1a 20(x3) dxVy 21a -x x3dx0nax直線x a(aVy7a3 7所以6-a771 2 2肝 o(x)nax0）及x軸所圍成的平面圖形，Vx,Vy分別是D繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)一10Vx，求a的值。10 -55a3a a/?因?yàn)?Vy 10Vx(17)（本題滿分10 分

18、)設(shè)平面內(nèi)區(qū)域D由直線x 3y, y3x及x y 8圍成.計(jì)算 x2dxdy。D2【解析】x dxdyDx2dxdyD1x2dxdyD222 3x0 x dx x dy32X2dXdy4163(18)(本題滿分10 分)設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為6000元，可變成本為20元/件，價(jià)格函數(shù)為P 60，(P是單價(jià)，單位:1000元，Q是銷量，單位：件)，(1) 該商品的邊際利潤(rùn)。(2) 當(dāng)P=50時(shí)的邊際利潤(rùn),(3) 使得利潤(rùn)最大的定價(jià)已知產(chǎn)銷平衡，求:并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。P?！窘馕觥?I)設(shè)利潤(rùn)為 I，則 I PQ (20Q6000)40Q止 60001000l '40 -Q-500P 50

19、時(shí)，邊際利潤(rùn)為20，經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)P 50時(shí)，銷量每增加一個(gè)，利潤(rùn)增加Q60 401000邊際利潤(rùn)(II )當(dāng)20(III)令 I' 0,得 Q 20000，此時(shí) P(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在0,上可導(dǎo),f(0)0且 lim f (x)x證明(1)存在a使得f(a)(2)對(duì)(1)中的a，存在(0, a),使得 f '(【答案】(I)證明：lim f (x)x2, X,當(dāng) xX時(shí),有 f (x)-2f(x)在0,X上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，存在a 0,X，使得f(a)(II)f(x)在0, a上連續(xù)且可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理,(0,a),使得 f'(

20、1f(a)f(0)f'( )a1,(0, a)，1(20)(本題滿分11 分)1a0 1設(shè)A.B,當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣 C使得ACCAB，并求所有矩陣10，1 b【解析】由題意可知矩陣C為2階矩陣，故可設(shè)（CXX22 ，則由ACCAB可得線性方程組：X3X4X2ax30ax.X2aX41(1)片XX41X2ax3b01a00101111 0111a10a1a10a1 0 1a01 a1011101a00 0 1a0001a0b01a0b01a0b1011101a01 a00001 a0000b 1a由于方程組(1)有解，故有1 a0,b1a0,即a1,b0,從而有01a0010 111X1k1k21a10a101 100X2k1，故有,其中kp k2任意.1011100 000X3k101a0b00 000X4k2k1k21k1從而有Ck1k2(21)（本題滿分11分）a1bl設(shè)二次型fX1,X2,X32 a1X1a2X2a3X32biX1b2X2b3X32記a2 ,b2b3a3C 。O（I）證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2y2 O【答案】（II）若，正交且均為單位向量，證明二次型f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型2yi2(4aia2 2b|b2 )X1X2f (2a12 b2)X12 (2a； b2)x| (2a； b35x2(48