坐標(biāo)方位角計(jì)算

1、計(jì)算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式控制測(cè)量的主要目的是通過(guò)測(cè)量和計(jì)算求出控制點(diǎn)的坐 標(biāo)，控制點(diǎn)的坐標(biāo)是根據(jù)邊長(zhǎng)及方位角計(jì)算出來(lái)的。下面介 紹計(jì)算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式，這些公式是礦山測(cè)量 工中最基本最常用的公式。一、坐標(biāo)正算和坐標(biāo)反算公式1.坐標(biāo)正算根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和已知點(diǎn)到待定點(diǎn)的坐標(biāo)方位角、邊長(zhǎng)計(jì)算待定點(diǎn)的坐標(biāo)，這種計(jì)算在測(cè)量中稱為坐標(biāo)正算。如圖55所示，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為XA、yA, A到B的邊長(zhǎng)和坐標(biāo)方位角分別為Sab和AB，則待定點(diǎn)B的坐標(biāo)為Xb 二 XaXabyB = yA*(5 1)式中-x AB、-yAB坐標(biāo)增量由圖55可知'：XAB二 Sab COSSbyAB = Sa

2、b S"-“AB(5 2)式中Sab 水平邊長(zhǎng);：AB坐標(biāo)方位角將式（5-2 ）代入式（5-1 ）,貝y有Xb = Xa ' Sab COS：“ab y - yA Sab sin-：AB(5 3)當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)Xa、yA和邊長(zhǎng)Sab及其坐標(biāo)方位角:-ab為已知 時(shí)，就可以用上述公式計(jì)算出待定點(diǎn)B的坐標(biāo)。式（5 2）是計(jì)算坐標(biāo)增量的基本公式，式（5 3）是計(jì)算坐標(biāo)的基本 公式，稱為坐標(biāo)正算公式。從圖5 5可以看出.-.：Xab是邊長(zhǎng)Sab在x軸上的投影長(zhǎng)度， Tab是邊長(zhǎng)Sab在旳軸上的投影長(zhǎng)度，邊長(zhǎng)是有向線段，是在 實(shí)地由A量到B得到的正值。而公式中的坐標(biāo)方位角可以從 0

3、76;到360°變化，根據(jù)三角函數(shù)定義， 坐標(biāo)方位角的正弦值 和余弦值就有正負(fù)兩種情況，其正負(fù)符號(hào)取決于坐標(biāo)方位角所在的象限，如圖56所示。從式（52）知，由于三角函數(shù)值的正負(fù)決定了坐標(biāo) 增量的正負(fù)，其符號(hào)歸納成表5 3。yNW圖55坐標(biāo)計(jì)算6坐標(biāo)增量符號(hào)表5 3坐標(biāo)增量符號(hào)表坐標(biāo)方所在象限坐標(biāo)增量的正位角負(fù)號(hào)(°)/ x/ y090I+90 180n+180 出270IV+270(5例1已知 A點(diǎn)坐標(biāo) xA=100.00m, yA =300.10m;邊長(zhǎng) sAB=100m方位角:AB =330°。求B點(diǎn)的坐標(biāo)Xb、yB。解：根據(jù)公式（53）有xB =xA sAB

4、 cos： AB =100 100 cos330 -186.1myB =yA sAB sin ： AB = 300.1 100 sin330 = 249.6m2、坐標(biāo)反算由兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出這兩個(gè)點(diǎn)連線的坐標(biāo)方位角 和邊長(zhǎng)，這種計(jì)算稱為坐標(biāo)反算。由式（5 1）有'Xab=Xb _XaMb 二 yB - yA（5 4）該式說(shuō)明坐標(biāo)增量就是兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差。 在圖5 5中Xab 表示由A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差稱縱坐標(biāo)增量；弓ab表示由A點(diǎn)到B點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差稱橫坐標(biāo)增量。坐標(biāo)增量也有正 負(fù)兩種情況，它們決定于起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)值的大小。在圖5 5中如果A點(diǎn)到B點(diǎn)的坐標(biāo)已知，需要計(jì)算AB邊的坐標(biāo)

5、方位角ab和邊長(zhǎng)時(shí)Sab ,則有，心yB - yA嘰tan abXb _ Xa%b二 XABcos ab二 yABsin _：i ab5)或Sab = ，xab 亠:-yAB公式(5 5)稱為坐標(biāo)反算公式。 應(yīng)當(dāng)指出，使用公式(5 5)中第一式計(jì)算的角是象限角 R應(yīng)根據(jù)/ x、/y的正 負(fù)號(hào)，確定所在象限，再將象限角換算為方位角。因此公式(5 5)中的第一式還可表示為：Rab 二 arctan山里Xb Xa二 arcta nL yAB-'：Xab例 2.已知 xA=300m, yA=500m,XB=500m, yB=300m,求 A、B二點(diǎn)連線的坐標(biāo)方位角:ab和邊長(zhǎng)Sab。解：由公式

6、(5-5 )有Rab=arcta nyB TaXb Xa"rctan30U0500 300=arcta n( _1)因?yàn)?ab為正、勺AB為負(fù)，直線AB位于第四象限。所以Rab 二 NW 45根據(jù)第四象限的坐標(biāo)方位角與象限角的關(guān)系得：:AB =360-45-315AB邊長(zhǎng)為:Sab = (Xb -Xa)2 (yByA)2(500 - 300)2 (300 - 500)2 = 282.8m坐標(biāo)正算公式和坐標(biāo)反算公式都是礦山測(cè)量中最基本的公式，應(yīng)用十分廣泛在測(cè)量計(jì)算時(shí)，由于公式中各元素的數(shù)字較多，測(cè)量規(guī)范對(duì)數(shù)字取位及計(jì)算成果作了規(guī)定。例如圖根控制點(diǎn)要求邊長(zhǎng) 計(jì)算取至毫米；角度計(jì)算取至秒；

7、坐標(biāo)計(jì)算取至厘米。二、坐標(biāo)方位角的推算公式由公式（5-2 ）知，計(jì)算坐標(biāo)增量需要邊長(zhǎng)和該邊的坐標(biāo)方位角兩個(gè)要素，其中邊長(zhǎng)是在野外直接測(cè)量或通過(guò)三角學(xué)的公式計(jì)算得到的，坐標(biāo)方位 角則是根據(jù)已知坐標(biāo)方位角和水平角推算出來(lái)的。下面介紹 坐標(biāo)方位角的推算公式。如圖5-7所示，箭頭所指的方向?yàn)椤扒斑M(jìn)”方向，位于前 進(jìn)方向左側(cè)的觀測(cè)角稱為左觀測(cè)角，簡(jiǎn)稱左角；位于前進(jìn)方 向右側(cè)的角稱為右觀測(cè)角，簡(jiǎn)稱右角。1.觀測(cè)左角時(shí)的坐標(biāo)方位角計(jì)算公式在圖5 7與58中，已知AB邊的方位角為:-Ab，2為 左觀測(cè)角，需要求得 BC邊的方位角:bc。左是外業(yè)觀測(cè)得到 的水平角，從圖上可以看出已知方位角:ab與左觀測(cè)角左之和

8、有兩種情況：即大于 180°或小于180。圖5 7中為大 于180°的情況，圖5 8中為小于180。的情況。c圖57坐標(biāo)方位角推算圖58坐標(biāo)方位角推算從圖5 7可知，BC邊的坐標(biāo)方位角為BC =AB -左 180從圖5 8可知，BC邊的坐標(biāo)方位角為:BC = ： AB ：左 180綜上所述兩式則有:前后左-180（5 6）式（5-6 ）是按照邊的前進(jìn)方向，根據(jù)后一條邊的已知方位角計(jì)算前一條邊方位角的基本公式。公式說(shuō)明：導(dǎo)線前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角加上左觀 測(cè)角，其和大于180°時(shí)應(yīng)減去180°，小于180。時(shí)應(yīng)加上180 °

9、。2.觀測(cè)右角時(shí)的坐標(biāo)方位角計(jì)算公式從圖5-7 或圖5-8可以看出左=360右將該式代入式（5- 6）,得:前=（后-右 - 180 ） 360當(dāng)方位角大于 360°時(shí)，應(yīng)減去 360 °,方向不變。所以上 式變?yōu)?前后一右- 180(5 7)上式說(shuō)明：導(dǎo)線中，前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊 的坐標(biāo)方位角減去右觀測(cè)角，其差大于180°時(shí)應(yīng)減去180 °，小于180°時(shí)應(yīng)加上180 °。使用式（5-6）與（5-7）時(shí)，還應(yīng)注意相應(yīng)兩條邊的前進(jìn)方向必須一致，計(jì)算結(jié)果大于360 °時(shí)，則應(yīng)減去 360 °，方向不變。例3 圖5-9為一條支導(dǎo)線，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)方位角BAaAM 、' MN 。=101° 28',導(dǎo)線A點(diǎn)的左觀測(cè)角B左=108 ° 32', M點(diǎn)