高中數(shù)學(xué)必修三知識點總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)必修三 第一章算法初步1.1算法與程序框圖 1、算法的概念(1) 算法概念：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完 成(2) 算法的特點: 有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的. 確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不 應(yīng)當是模棱兩可. 順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

2、不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法. 普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都 要經(jīng)過有限、事先設(shè)計好的步驟加以解決.2、程序框圖(1)程序框圖基本概念：程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來 準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要 文字說明。構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何 流程圖不可少的。二輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可 用在算法中任何需要輸入、輸出的位

3、置。處理框賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的 算式、公式等分別寫在不同的用以處 理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。O判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出 口處標明“是”或“Y” ；不成立時 標明“否”或“N” o學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退 出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果； 另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清

4、楚。3：算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。（1）順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到 下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離 不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，節(jié)順序執(zhí)行算 法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框常4軼作后，才 A能接著執(zhí)行b框所hp指定的操作。戸（2）條件結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否贏志擇不同流 向的算法結(jié)構(gòu)。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或

5、B框 之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。（3）循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處 理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定 包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細分為兩類：一類是當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A 框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此 反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié) 構(gòu)。另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后

6、判斷給定的條件 P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立 為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加 變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是 同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。1.2基本算法語句1、輸入、輸出語句和賦值語句(1)輸入語句輸入語句的一般格式INPUT “提示內(nèi)容”；變量 輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信 息，

7、變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；提示內(nèi)容與變量之間用分號“;開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“,開。（2）輸出語句 輸出語句的一般格式PRINT “提示內(nèi)容”；變量 輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信 息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字 符。（3）賦值語句賦值語句的一般格式 變量二表達式賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；賦值語句中的稱作賦值號， 與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式

8、的值賦給賦值號左邊的變量；賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達 式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；對于一個變量可以多次賦值。注意：賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。賦值號左 右不能對換。如“A=B” “B=A”的含義運行結(jié)果是不同的。不能利用賦值語句進行代 數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）賦值號“二”與數(shù)學(xué)中的等號意義不 同。（1）條件語句的一般格式有兩種:5：條件語句 IF條件THEN 語句體END IF注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足 時，結(jié)束程序；END IF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時首

9、先對IF后的條件進行 判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn) 而執(zhí)行其它語句。 IF條件THEN 語句體1ELSE語句體2END IF語U-分析：在IF-THEN-ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條 件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；END IF表示條件 語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行 THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。6：循環(huán)語句(1) WHILE 語句循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序

10、設(shè)計 語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和 UNTIL語句。當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與 WEND之間的循環(huán)體；然后再檢査上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個 過程反復(fù)進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到 WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試 型”循環(huán)。（2）UNTIL 語句對應(yīng)的程序框圖是UNTIL語句的一般格式是直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計算機執(zhí)行該語句 時，先執(zhí)行一次循環(huán)

11、體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán) 體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復(fù)進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行 循環(huán)體，跳到LOOP UNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的 循環(huán)語句。分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時 執(zhí)行循環(huán)1.3算法案例1、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)（1）輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商和一個余數(shù)心:若凡=0,則n為m, n的最大公

12、約數(shù)；若心工0,則用除數(shù)n除以余數(shù)他得到一個商'和一個余數(shù)件 若兒=0,貝阿為m, n的最大公約數(shù)；若Mho,則用除數(shù)心除以余數(shù)&得到一個商二和一個余數(shù)心；依次計算直至=0,此時所得到的即為所求的最大公約數(shù)。（2）更相減損術(shù)我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在九章算術(shù)中有更相減損 術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之數(shù)，以少減多，更相減 損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行 第二步。以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小 數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得

13、的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。(3) 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別： 都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。 從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則 以減數(shù)與差相等而得到2、秦九韶算法與排序(1) 秦九韶算法概念:f(x)=anxn+an-lxn-l+-*.+alx+aO 求值問題f(x)=anxn+an-lxn-1+ .+alx+aO=( anxn-l+an-lxn-2+.+al)x+aO =( anxn-2+

14、an-lxn 3+.+a2)x+al)x+a0=(.( anx+al)x+an-2)x+.+al)x+a0求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即vl=anx+an-l然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=vlx+an-2 v3=v2x+an-3 vn=vn-lx+aO這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。3、進位制(1) 概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為m即可稱n進位制，簡稱n進制?，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字09進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位

15、制來表示。比如：十進數(shù)57,可以用二進制表示為111001,也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39,它們所代表的數(shù)值都是一樣的。(2) 一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可 以表示為：而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示，如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù)(3) 把十進制數(shù)化為k進制數(shù)的算法，稱為除k取余法。第二章統(tǒng)計2.1隨機抽樣1：簡單隨機抽樣(1)總體和樣本 在統(tǒng)計學(xué)中，把研究對象的全體叫做總體. 把每個研究對象叫做個體. 把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量. 為了研究總體兀的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：習(xí)，花，禺研究， 我

16、們稱它為樣本.其中個體的個數(shù)稱為樣本容量.(2) 簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全 隨機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的 每個單位完全獨立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式 的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。(3) 簡單隨機抽樣常用的方法：抽簽法隨機數(shù)表法計算機模擬法使用統(tǒng)計軟件直接抽取。在簡單隨機抽樣的樣本容量設(shè)計中，主要考慮：總體變異情況；允許誤差范圍；概 率保證程度。(4) 抽簽法：給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號; 準備抽簽的工具，實施抽

17、簽； 對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)査（5）隨機數(shù)表法：2：系統(tǒng)抽樣（1）系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）:把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。K （抽樣距離）=N （總體規(guī)模）/n （樣本規(guī)模）前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機的，即不存在某種與研究 變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)査允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣 本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán) 和抽樣距離重合。（2）系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要

18、求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關(guān)的輔助變量可供使 用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精 度。3：分層抽樣（1）分層抽樣（類型抽樣）:先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟? 然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總

19、體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總 體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準：以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標準。以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。樣本容量_各層樣本容量（3）分層的比例問題：抽樣比二個體容量一各層個體容量 按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。 不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時釆用 該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用

20、樣 本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比 例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實際的比例結(jié)構(gòu)。4：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征一 X. + +x =（1）樣本均值：“rr=（刃 一X），+（兀2 匚）2 +- +（” 一X），（2）樣本標準差：5 "V（3）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)（可以是多個）。（4）中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，累計頻率為15時所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)值（只有一個）。 注意： 如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變 如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k,標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍 一組

21、數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(-3sj + 3s)的應(yīng)用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理5、用樣本的頻率分布估計總體分布(1)頻率分布表與頻率分布直方圖頻率分布表盒頻率分布直方圖，是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度， 來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，它可以使我們看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。具體步驟如下：第一步：求極差，即計算最大值與最小值的差.第二步：決定組距和組數(shù)：組距與組數(shù)的確定沒有固定標準，需要嘗試、選擇，力求有合 適的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準太多或太少都不好，不利對數(shù)據(jù) 規(guī)律的發(fā)現(xiàn)組數(shù)應(yīng)與樣本的容量有關(guān)，樣本容量越大組數(shù)越多一般來說，容量

22、不 極差超過100的組數(shù)在5至12之間組距應(yīng)最好“取整”，它與碩有關(guān).極差極差注意：組數(shù)的“取舍”不依據(jù)四舍五入，而是當碩不是整數(shù)時，組數(shù)二碩+1.頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各個小長方形上端的重點，就得到頻率分布折 線圖。 總體密度曲線：總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的半分比，它能給我們提供更加精細的信息。(2) 莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是指從莖旁邊生長出來的數(shù)。6:變量間的相關(guān)關(guān)系：自變量取值一定時因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的 關(guān)系交相關(guān)關(guān)系。對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析。(1)回歸直線：根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，如果各點大致分

23、布在一條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)的關(guān)系，這條直線叫做回歸直線方程。如果這些點散布 在從左下角到右上角的區(qū)域，我們就成這兩個變量呈正相關(guān)；若從左上角到右下角的 區(qū)域，則稱這兩個變量呈負相關(guān)。第三章概率3.1隨機事件的概率(1)必然事件：在條件ST, 定會發(fā)生的事件，叫相對于條件s的必然事件；(2) 不可能事件：在條件ST, 定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件s的不可能事件；(3) 確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件s的確定事件；(4) 隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；(5) 頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件

24、A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)心為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比 例肛心計為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A,如果隨著試驗次數(shù)的增加，事 件A發(fā)生的頻率人S)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P (A),稱為事件A的概率。(6) 頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)心與試驗總次數(shù)n的比值”，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷 增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上 反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為 這個事件的概率2：概率的基本性質(zhì)(1) 必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0WP(A)W1(2) 事件的包含、并事件、交事件、相等事件(3) 若AAB為不可能事件，即AAB=0,那么稱事件A與事件B互斥；(4) 若AAB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件;(5) 當事件A與B互斥時，滿足加法公式:P(AUB)=P(A)+ P(B)；若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1P(B)(6) 互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次