人教版中考數(shù)學(xué)壓軸題解題模型----幾何圖形之半角模型(含解析匯報(bào))

1、幾何圖形之半角模型主 題半角模型教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)1 .掌握正方形的定義，弄清正方形與平行四邊形、菱形、矩形的關(guān)系。2 .掌握正方形的性質(zhì)定理 1和性質(zhì)定理2。3 .正確運(yùn)用正方形的性質(zhì)解題。4 .通過四邊形的從屬關(guān)系滲透集合思想。5 .通過理解四種四邊形內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證觀點(diǎn)。知識(shí)結(jié)構(gòu)正方形的性質(zhì)因?yàn)檎叫问翘厥獾钠叫兴倪呅?，還是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有這些圖形性質(zhì)的綜合，因此正方形有以下性質(zhì)(由學(xué)生和老師一起總結(jié))。正方形性質(zhì)定理1:正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等。正方形性質(zhì)定理2:正方形的兩條對(duì)角線相等并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。說明：定理2包括了平行四邊

2、形，矩形，菱形對(duì)角線的性質(zhì)，一個(gè)題設(shè)同時(shí)有四個(gè)結(jié)論，這是該定理的特點(diǎn)，在應(yīng)用時(shí)需要哪個(gè)結(jié)論就用哪個(gè)結(jié)論，并非把結(jié)論寫全。 小結(jié)：(1)正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關(guān)系如上圖(2)正方形的性質(zhì)：正方形對(duì)邊平行。正方形四邊相等。正方形四個(gè)角都是直角。正方形對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。BD，再折疊使AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕DG ,PB 10 ,并且P點(diǎn)到CD邊的距離也等于10,求正DF=FM即可，而連結(jié) AE、AF,只要能說明 ABE典型例題精講例1 .如圖，折疊正方形紙片 ABCD ,先折出折痕使 AD 2 ,求 AG .【解析】：作GMXBD,垂足為M.由題意可知

3、/ ADG=GDM ,則4 ADGA MDG .DM=DA=2 . AC=GM又易知：GM=BM .而 BM=BD-DM=2 近-2=2 （亞-1 ）,AG=BM=2 （夜-1）.例2 .如圖，P為正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA 方形ABCD的面積？【解析】：過P作EF AB于F交DC于E .1設(shè) PF x,則 EF 10 x, BF -（102由 PB2 PF2 BF2.2212可得：10 X 一（10 X）.4故x 6.Sabcd 162256 .例3.如圖，E、F分別為正方形 ABCD的邊 AM AB,則有EF BE DF ,為什么？【解析】：要說明EF=BE+DF,只需說明BE=EM,

4、AME, ADFA AMF 即可.理由：連結(jié)AE、AF.由 AB=AM , AB± BC, AM ± EF, AE 公用， . ABE AME.BE=ME.同理可得， ADFA AMF .DF=MF .EF=ME+MF=BE+DF .F兩點(diǎn)，使例4.如下圖.E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，且 EAF 45 ,試說明EF BE DF。【解析】：將4ADF旋轉(zhuǎn)到 ABC,則ADF/ABG AF=AG , / ADF= / BAG, DF=BG ./ EAF=45 °且四邊形是正方形， ./ ADF+ / BAE=45 ° ./ GAB+ / B

5、AE=45 °即 / GAE=45 ° . AEB AEG (SAS)EF=EG=EB+ BG=EB+ DF例5.如圖，在正方形ABCD的BC、CD邊上取E、EAF 45°, AG EF 于 G.求證：AG AB【解析】：欲證 AG=AB,就圖形直觀來看，應(yīng)證RtA ABE與RtA AGE全等，但條件不夠./EAF=45°怎么用呢？顯然/ 1 + /2=45° ,若把它們拼在一起，問題就解決了 【證明】：把 ArFD繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)臼0°至9HB. . / EAF=45 ° , .1.Z1 + Z 2=45 ; / 2=/3, .

6、1 + / 3=45 ;又由旋轉(zhuǎn)所得 AH=AF , AE=AE.AEB AEH.例6.(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD 上，AE,BF 交于點(diǎn) O, AOF 90 .求證：BE CF .(2)如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)E ,H , F ,G分別在邊AB ,BC,CD,DA上，EF ,GH 交于點(diǎn) O, FOH 90 ,EF 4.圖2求GH的長.1.已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形 ABCD的邊AB,BC,CD,DA上,EF ,GH交于點(diǎn)O, FOH 90 ,EF 4.直接寫出下列兩題的答案:如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成，求GH的長;如圖4,矩形AB

7、CD由n個(gè)全等的正方形組成，求GH的長（用n的代數(shù)式表示）.圖i圖2【解析】 證明：如圖1, . 四邊形ABCD為正方形， AB= BC,Z ABC= Z BCD=90 , ZEABZAEB=90 .Z EOB= ZAOF= 90 ,/ FBG / AEB=90 ,/ EAB= / FBC, ABE BCF ,BE=CF.(2)解：如圖2,過點(diǎn)A作AMGH交BC于M, 過點(diǎn)B作BN/ EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn) O, 則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形， EF=BNGH=AM ,ZFOH= 90 , AMGH, EF/BN,，/ NO/A=90 故由得，ABMA BCN,AM

8、 = BN,GH= EF=4 .(3) 8. 4n.鞏固訓(xùn)練【雙基訓(xùn)練】1.如圖6,點(diǎn)A在線段BG上，四邊形 ABCD與DEFG都是正方形，？其邊長分別為3cm和5cm,則CDE的面積為2cm(6)2 .你可以依次剪6張正方形紙片，拼成如圖 7所示圖形.？如果你所拼得的圖形中正方形的面積為1 ,且正方形與正方形的面積相等，？那么正方形的面積為 BC上的點(diǎn).AF、CE?那么四邊形BEGF的3 .如圖9,已知正方形 ABCD的面積為35平方厘米，E、F分別為邊AB、 相交于G,并且 ABF的面積為14平方厘米， BCE的面積為5平方厘米, 面積是4 .如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上， AB 2

9、BC。分別以 AB、BC為邊作正方形 ABEF和正方形BCMN，連接FN , EC。求證：FN EC。AG 于 E, BF5 .如圖，ABCD是正方形.G是BC上的一點(diǎn)，DE (1)求證：ABFzXDAE；(2)求證：DE EF【縱向應(yīng)用】6.在正方形求證:ABCD 中，1 OF -BE22.7.在正方形ABCD 中,2. AE DF,DGBF138.如圖13,點(diǎn)求證：AE9.已知：點(diǎn)E、GH AD于點(diǎn)DEFA H2.3.36.4- cm2 （面積法）.274.證明：FN=EC。1 一 求證：OG CE 2E為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF BC , EG CD FGF分別正方形ABCD

10、中AB和BC的中點(diǎn)，連接 AF和DE相交于點(diǎn)G , H .求證：AF DE ;如果AB 2,求GH的長;求證：CG CD證明：在正方形 ABEF和正方形 BCMN中, AB=BE=EF, BC=BN , Z FEN=Z EBC=90 °AB=2BCEN=BC . FENA EBCFN=EC。5 .略6 .提示：注意到基本圖形中的 AE=AF.一.兩次應(yīng)用內(nèi)角平分線定理和CE=CF可證二.過點(diǎn) O 作 OG DE 和 CO=CG,CF=CE 可證.、，一，一一1 L3, 過點(diǎn) O 作 OH BE, of= OH= BE27 .提示：一條線段的一半或 2倍這兩者的位置關(guān)系有哪兩種8 .提

11、示：延長 AE交GF于點(diǎn)M, DC,使CH=DG,連接HF, 證四邊形又捫I互補(bǔ)，法2:延長FE, AE證全等三角形9 . (1)略(2) 4 (3)作 CMLDG,證 DM=AG=0.5DG 5專題(1)定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。(2)特征：邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；內(nèi)角：四個(gè)角都是 90° ;對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。(3)主要識(shí)別方法：1 :對(duì)角線相等的菱形是正方形2:對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形3:四邊相等，有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形4: 一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形5:一組鄰邊相

12、等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為 中點(diǎn)四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形。正方形的中點(diǎn)四 邊形是正方形。典例精講例1.已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PAD PDA 15 .求證：PBC是正三角形.【證明】：如下圖做 DGC使與4ADP全等， 可得 PDG為等邊,從而可得 DGCA APDA CGP, 得出 PC=AD=DC,和/ DCG= / PCG= 150 所以/ DCP=300 ,從而得出 PBC是正三角形例2.如圖，分別以 ABC的AC和BC為一邊，在 ABC的外側(cè)作正方形 ACDE和正方形CBFG,點(diǎn)

13、P是EF的中點(diǎn). 求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于 AB的一半.【證明】：過 E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG, CI, FH?？傻肞Q=EG+ FH2由 EGAZAIC,可得 EG=AI ,由4BFH白CBI,可得 FH=BI。- AI + BI AB從而可得PQ=,從而得證。例4.如圖，四邊形ABCD為正方形，DE / AC ,AE AC , AE與CD相交于F .求證：CE CF .【證明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ADE,至IABG,連接CG.由于/ ABG=/ADE=900+45 0=135 0從而可得 B, G, D在一條直線上，可得 AGBA CGB。推出AE=AG=AC=GC ,可得 A

14、GC為等邊三角形。 /AGB=30°,既得/ EAC=30°,從而可得/ A EC=75°。 又/ EFC=Z DFA=45 0+300=75 0.可證：CE=CF。例6.設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF AP, CF 平分 DCE.求證：PA PF .【證明】：作 FG± CD, FE± BE,可以得出 GFEC為正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。Xtan / BAP=tan / EPF=Y Y-,可得 yz=xy-x2+xz,即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 ABPA P

15、EF , 得到PA=PF ,得證。5+ 2 2甲例7.已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA PB PC的 最小值.【證明】：順時(shí)針旋轉(zhuǎn) BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上， 即如下圖：可得最小 PA+PB+PC=AF。既得 AF= 1+(+1)2 =：2+.3=安=( 3；1)2 = ；( 3+1)例8. P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PA a, PB 2a, PC 3a,求正方形的邊長.【證明】順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ABP 900 ,可得如下圖:、, 2 22 2既得正方形邊長l =（2 +

16、 ）+（ 2 ）甲=APBCD【雙基訓(xùn)練】1.如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、 BD相交于O,四邊形BEFD是菱形，若正方 形的邊長為6,則菱形的面積為 2.如圖，ABCD是正方形，E為BF上一點(diǎn)，四邊形AFEC?恰是一個(gè)菱形，？則EAB =【縱向應(yīng)用】3.如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點(diǎn)G, E是邊AB, BC的中點(diǎn),(3)求 AEF的面積.AEF 90 ,且EF交正方形FEC ；ECF ;的平分線CF于點(diǎn)F .(1)證明： BAE(2)證明：AGE犯固旬依 i 【橫向拓展】4.如圖，四邊形 ABCD是正方形， ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD （不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，

17、將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM .求證：AMB ENB;當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM CM的值最??；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM BM CM的值最小，并說明理由；當(dāng)AM BM CM的最小值為V3 1時(shí)，求正方形的邊長.ADEBC【練習(xí)題答案】1 . 362 【解析】連結(jié) BD交AC于點(diǎn)O,作EMXAC于點(diǎn)M .設(shè)正方形邊長為 a,貝U AC=BD=AE= 2a又. AC/BF, BOXAC, EMXAC,BO=EM= BD=a.222在 RtAEM 中，AE= V2 a, EM=-a./ CAE=30 ° .則/ EAB=15° .3. (1)證明：.一/ AEF

18、=90°, ./ FEOZ AEB=90°,在 RtMBE 中，/ AEB Z BAE=90 °, / BAE= / FEC(2)證明：: G, E分別是正方形 ABCD的邊AB, BC的中點(diǎn)， ，AG=GB=BE=EC 且/ AGE=180° - 45°=135 °.又CF是/ DCH的平分線，/ ECF=90°+45°=135 °.在八6£和 ECF中，AG EC,AGE ECF 135°,GAE FEC.AGE ECF(3)解：由 AG三AECF 彳導(dǎo) AE=EF.又AEF=90 °