中考二次函數(shù)壓軸題解題通法(重點中學整理)

1、中考二次函數(shù)壓軸題解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數(shù)學競賽中也有二次函數(shù)大題，在宜賓市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題，在成都，綿陽，瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題，很多學生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學中很多數(shù)學知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關，學生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學得好否，直接關系到未來數(shù)學的學習。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近6年的研究，思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題，總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大4 分家參考。幾個自定義概念： 三角形基本模型：有一邊在

2、X 軸或 Y 上， 或有一邊平行于X 軸或 Y 軸的三角形稱為三角形基本模型。 動點（或不確定點）坐標“一母示”：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析式，用一個字母把該點坐標表示出來，簡稱 “設橫表縱”。 如： 動點 P 在 y=2x+1 上， 就可設P（ t, 2t+1 ） .22若動點在丫= 3x 2x 1,則可設為P（t,3t 2t 1）當然若動點 M在X軸上，則設為（t, 0）.若動點M在Y軸上，設為（0, t）. 動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的。或至少有一個頂點是運動，變化的三角形稱為動三角形。 動線段：其長度是運動，變化，不確定的線段稱為動線段。 定三角形：三

3、邊的長度固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。 定直線：其函數(shù)關系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：y = 3 x 6。 X 標， Y 標：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標稱為x 標，縱坐標稱為y標。 直接動點：相關平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動點稱為直接動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標“一母示”是針對直接動點坐標而言的。1. 求證“兩線段相等”的問題：借助于函數(shù)解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離，還是“點軸距離”，還是“點線距離”，再運用兩點之間的距離公式或點到x 軸（ y 軸）的距離公式或點

4、到直線的距離公式，分別把兩條線段的長度表示出來，分別把它們進行化簡，即可證得兩線段相等。2、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：由于平行于y 軸的線段上各個點的橫坐標相等（常設為t） ，借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t 的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于 y 軸的線段長度計算公式y(tǒng)± -yT ， 把動線段的長度就表示成為一個自變量為t， 且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。3 、求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題：先用點斜式（或稱K 點法）求出過已知點，且與已知

5、直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點坐標，最后用中點坐標公式即可。4 、 “拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題（方法 1 ）先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（ k）相等），再由該直線與拋物線的 解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關于 x的的一元二次方程，由題有= b2 -4ac=0 （因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以b2 -4ac=0 ）從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、 y 的值， 即為切點坐標，然后再利用點到直線的

6、距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。（方法2）該問題等價于相應動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三角形取得最大面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求出其最大距離。（方法3）先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數(shù)的幾何意義，當該導數(shù)等于定直線的斜率時，求出的點的坐標即為符合題意的點，其最大距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。5 . 常數(shù)問題：（ 1 ）點到直線的距離中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個 固定常數(shù)”的問題：先借助于拋物線的解析式，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐

7、標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。-可編輯修改-（2）三角形面積中的常數(shù)問題:使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)”的問題:“拋物線上是否存在一點，先求出定線段的長度，再表示出動點（其坐標需用一個字母表示）到定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。（3）幾條線段的齊次哥的商為常數(shù)的問題：用K點法設出直線方程，求出與拋物線（或其它直線）的交點坐標，再運用兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關系，把問題中的所有線段表示出來，并化解即可。6 .

8、“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或 x軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和另一個定點連結(jié)得到一條線段，該線段的長度應用兩點間的距離公式計算即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其坐標很易求出（利用求交點坐標的方法）。7 .三角形周長的“最值（最大值或最小值）”問題： “在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構(gòu)成的三角形周長最小”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題）：由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點間距離公式計算），只需另兩邊的和

9、最小即可。 “在拋物線上是否存在一點，使之到定直線的垂線，與y軸的平行線和定直線，這三線構(gòu)成的動直角三角形的周長最大”的問題（簡稱“三邊均動的問題） ：在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形，在動點坐標一母示后，運用C動V 斜邊動V= ,把動三角形的周長轉(zhuǎn)化為一個開口向下的拋物線來破解。C定V斜邊定V8 .三角形面積的最大值問題： “拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）：（方法1）先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式底高。即可求出該三

10、角形2面積的最大值，同時在求解過程中，切點即為符合題意要求的點。（方法2）過動點向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點，從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母示后，進一步可得到Q1SSJ三角形”上（動）-yF （動J?（X右（定）-x左（定）2,轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。 “三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動”的問題）：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設出動點在 x軸或y軸上的點的坐標，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以

11、得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那一個三角形）。利用相似三角形的性質(zhì)（對應邊的比等于對應高的比）可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關系 式，相應問題也就輕松解決了。9.“一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”：由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形（連結(jié)兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求法與7相同。10、“定四邊形面積的求解”問題：有兩種常見解

12、決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點，向 x軸（或y軸）作垂線，或者把該點與原點連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的和（差）11.“兩個三角形相似”的問題：兩個定三角形是否相似：-可編輯修改-（ 1 ）已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。（ 2）不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似;否則不相似。一個定三角形和動三角

13、形相似：（ 1 ）已知有一個角相等的情形：先借助于相應的函數(shù)關系式，把動點坐標表示出來（一母示），然后把兩個目標三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別計算或表示出夾角的兩邊，讓形成相等的夾角的那兩邊對應成比例（要注意是否有兩種情況）， 列出方程，解此方程即可求出動點的橫坐標，進而求出縱坐標，注意去掉不合題意的點。（ 2）不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點坐標求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標“一母示”后，分析

14、在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助于特殊角，為動點尋找一個直角三角形，求出動點坐標，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點坐標符合題意，否則這樣的點不存在。簡稱“找特角，求（動）點標，再驗證”?；蚍Q為“一找角，二求標，三驗證”。1 2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形”的問題：首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰， 有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況）。 先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標（一

15、母示），按分類的情況，分別利用相應類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點的橫坐標，再借助動點所在圖象的函數(shù)關系式，可求出動點縱坐標，注意去掉不合題意的點（就是不能構(gòu)成三角形這個題意）。1 3、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形”問題：這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母示”分別設出余下所有動點的坐標（若有兩個動點，顯然每個動點應各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點坐標） ，任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線（顯然最多有3 條） ， 此時與之對應的另一條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一

16、種情況兩條對角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其坐標對應相等，列出兩個方程，求解即可。進一步有： 若是否存在這樣的動點構(gòu)成矩形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成棱形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點能構(gòu)成棱形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成正方形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點能構(gòu)成正方形，否則這樣的動點不存在。1 4、“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面

17、積之間存在和差倍分關系”的問題：（此為“單動問題” 即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題，后面的19 實為本類型的特殊情形。）先用動點坐標“一母示”的方法設出直接動點坐標，分別表示（如果圖形是動圖形就只能表示出其面積）或計算（如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積），然后由題意建立兩個圖形面積關系的一個方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點），如果問題中求的是間接動點坐標，那么在求出直接動點坐標后，再往下繼續(xù)求解即可。1 5、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成直角三角形”的問題：若夾直角的兩邊與y 軸都不平行：先設出動點坐標（一母示），視題目分類的情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩

18、邊的斜率，再運用兩直線（沒有與y 軸平行的直線）垂直的斜率結(jié)論（兩直線的斜率相乘等于-1 ） ，得到一個方程，解之即可。若夾直角的兩邊中有一邊與y 軸平行，此時不能使用斜率公式。補救措施是：過余下的那一個點（沒在平行于y 軸的那條直線上的點）直接向平行于y 的直線作垂線或過直角點作平行于y 軸的直線的垂線與另一相關圖象相交，則相關點的坐標可輕松搞定。1 6、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成等腰直角三角形”的問題。 若定點為直角頂點，先用k 點法求出另一直角邊所在直線的解析式（如斜率不存在，根據(jù)定直角點，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程）， 利用該解析式與所求點所在的圖象的解析式組

19、成方程組，求出交點坐標，再用兩點間的距離公式計算出兩條直角邊等否？若等，該交點合題，。反之不合題，舍去。 若動點為直角頂點：先利用k 點法求出定線段的中垂線的解析式，再把該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組，求出交點坐標，再分別計算出該點與兩定點所在的兩條直線的斜率，把這兩個斜率相乘，看其結(jié)果是否為-1 ？若為 -1 ，則就說明所求交點合題；反之，舍去。1 7、“題中含有兩角相等，求相關點的坐標或線段長度”等的問題：題中含有兩角相等，則意味著應該運用三角形相似來解決，此時尋找三角形相似中的基本模型“A”或“ X”是關鍵和突破口。18. “在相關函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下， 題中又含

20、有某動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關點的坐標或線段長”的問題：（此為 “單動問題” 即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題， 本類型實際上是前面14 的特殊情形。）先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上，或者有一邊平行于 x 軸或 y 軸）面積的和或差，設出相關點的坐標（一母示），按化分后的圖形建立一個面積關系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單動問題”，解題方法是“設點（動點）標，圖形轉(zhuǎn)化（分割） ，列出面積方程”。19. “在相關函數(shù)解析式不確定（系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母）的情況下，題中又含有動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求

21、相關點的坐標或參數(shù)的值”的問題：此為“雙動問題”（即動解析式和動圖形相結(jié)合的問題）。如果動圖形不是基本模型，就先把動圖形的面積進行轉(zhuǎn)化或分割（轉(zhuǎn)化或分割后的圖形須為基本模型） ，設出動點坐標（一母示），利用轉(zhuǎn)化或分割后的圖形建立面積關系的方程（或方程組）。解此方程，求出相應點的橫坐標，再利用該點所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點的縱坐標（注意，此時，一定不能把該點坐標再代入對應函數(shù)圖象的解析式，這樣會把所有字母消掉）。再注意圖中另一個點與該點的位置關系（或其它關系，方法是常由已知或利用（2 ）問的結(jié)論，從幾何知識的角度進行判斷，表示出另一個點的坐標，最后把剛表示出來的這個點的坐標再代入相應解析式

22、，得到僅含一個字母的方程，解之即可。如果動圖形是基本模型，就無須分割（或轉(zhuǎn)化）了，直接先設出動點坐標（一母式），然后列出面積方程，往下操作方式就與不是基本模型的情況完全相同。一句話，該問題簡稱“雙動問題”，解題方法是“轉(zhuǎn)化（分割） ，設點標，建方程，再代入，得結(jié)論”。中考二次函數(shù)壓軸題分析-可編輯修改-【涼山州中考】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸，y軸分別交于A,B,兩點，拋物線2y x bx c經(jīng)過A,B,兩點，并與x軸交于另一點C (點C在點A的右側(cè))，點P是拋物線 上一動點。(1)求拋物線的解析式及點 C的坐標.(2)若點P在第二象限內(nèi)，過點 P作PD x軸于D,交AB于

23、點E.當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此時P E等于多少？ (3)如果平行于x軸的動直線1與拋物線交于點Q,與直線AB交于點N,點M為OA的中點，那么是否存在這樣的直線1 ,使得三角形MON是等腰三角形？若存在,請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理【廣安市中考】在平面直角坐標系xOy中，ABx軸于點B, AB=3 , tan/AOB=3/4繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AOAiBi;再將AOAiBi繞著線段OBi的中點旋轉(zhuǎn)。WAOAB180 o,得到OA 2Bi,拋物線 y=ax 2+bx+c (aw0)經(jīng)過點 B、Bi、A2。(i)求拋物線的解析式；(2)在第三象限內(nèi)，拋物

24、線上的點 P在什么位置時， PBBi的面積最大？求出這時點P的坐標；(3)在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點Q,使點Q到線段BBi的距離為2 -，一-?右存在，求出點 Q的坐標；右不存在，請說明理由。備用圖2【樂山中考】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(m , m),點B的坐標為(n, - n),拋物線經(jīng)過 A、O、B三點，連接 OA、OB、AB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù) m、n (mvn) 分別是方程x2 - 2x - 3=0的兩根.(1)求拋物線的解析式;(2)若點P為線段OB上的一個動點(不與點 O、B重合)，直線PC與拋物線交于 D、E兩點(點D在y軸右側(cè))，連接OD、BD.當4OPC為等腰三角形時，求點 P的坐標；求ABOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標.5【成都中考】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y - x m (m為常數(shù))的圖象與x軸交42于點A( 3,0),與y軸交于點C.以直線x=l為對稱軸的拋物線 y ax bx c (a,