23課題：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

1、2015-2016溆浦一中高三數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案主備人：鄒偉備課日期：2015/9/13課題：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用、考點(diǎn)梳理:目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)1 .仰角和俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,視線在水平視線下方時(shí)叫俯角.（如圖（a）.2 .方位角：從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如 B點(diǎn)的方位角為a如圖（b）.3.方向角:正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）XX度.二、基礎(chǔ)自測(cè):1已知A, B兩地之間的距離為 10 m, B , C兩地之間的距離為 20 m ,則A, C兩地之間的距離

2、是2若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30。，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60。，且AC = BC,則點(diǎn)A在點(diǎn)B的（A .北偏東15 °B .北偏西15C.北偏東10 °D.北偏西10 °現(xiàn)測(cè)得/ ABC = 120°3如圖，設(shè)A, B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn) C,測(cè)出AC的距離為50 m , / ACB= 45 °/ CAB = 105 °,貝U A, B兩點(diǎn)的距離為A . 502 mB. 50 ,'3 m25 2 m三、考點(diǎn)突破:考點(diǎn)一、測(cè)量距離問題【例1】1如圖，若測(cè)得CD =于km./ ADB = Z CDB = 30 &

3、#176; / ACD = 60 ° / ACB = 45 ° 求 A , B 兩點(diǎn)間的距離.類題通法求距離問題的注意事項(xiàng)（1）選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放 在另一確定三角形中求解.（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.考點(diǎn)二、測(cè)量高度問題【例2】2014新課標(biāo)全國(guó)卷I 如圖所示，為測(cè)量山高 MN，選擇A和另一座山的山頂 C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角/ MAN = 60°, C點(diǎn)的仰角/ CAB = 45°,以及/ MAC = 75°,從C

4、點(diǎn)測(cè)得/ MCA = 60 已知山高BC = 100 m,則山高M(jìn)N =m.類題通法求解高度問題的注意事項(xiàng)(1) 在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2) 準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3) 運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.考點(diǎn)三、測(cè)量角度問題【例3】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí) 10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí) 14 n mil

5、e的速度，沿北偏 東45。+ a方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角a的正弦值.類題通法解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)(1) 明確方位角的含義；(2)分析題意分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步;(3) 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.四、當(dāng)堂檢測(cè)1. 一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí) 40海里的速度沿南偏東 40的方向直線航行，30分鐘 后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在 A處觀察燈塔，其方向是南偏東 70°在B處觀 察燈塔，其方向是北偏東 65°那么B, C兩點(diǎn)間的距離是

6、（）A . 10 ,'2海里B. 10 ,'3海里C. 20 ,;3海里D . 20 ,'2海里2江岸邊有一炮臺(tái)高 30 m,江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè) 得俯角分別為45。和60°而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距 m.3如圖所示，處于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距 40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn), 在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C處的乙船,t-lt五、課后鞏固:1如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A, B兩點(diǎn)間的距離,/ ACB = 60° 貝U AB

7、的長(zhǎng)2兩座燈塔A和B與海岸觀察站 C的距離相等，燈塔觀察站南偏東60°則燈塔A在燈塔B的（）A .北偏東10B .北偏西10 °C .南偏東80 °測(cè)得 CA= 400 m ,A在觀察站南偏西D .南偏西3某人向正東方向走=（ ）A. .'3x km后，向右轉(zhuǎn)150。，然后朝新的方向走了3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為.勺km,則xC.V3或 2 V3D . 34如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上，測(cè)B. 2 .'3得點(diǎn)A的仰角為60°再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測(cè)得/ BD

8、C = 45°則塔AB的高是現(xiàn)乙船朝北偏東 B的方向沿直線 CB前往B處救援，求cos B的值.2015-2016溆浦一中高三數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案主備人：鄒偉備課日期：2015/9/135【2015湖北】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛 600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北 75°的方向上，仰角為30°，求此山的高度 CD。6要測(cè)量電視塔 AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45。，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是上的/ BCD = 120° CD = 40 m，求電視塔的高度.

9、7在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距離A處(.'3- 1)海里的B處有一艘走私船；在 A處北偏西75°方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10.'3海里/小時(shí)的速度追截走私船.同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從:北B處向北偏東30。方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí) 間？課題：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用1 .仰角和俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)、考點(diǎn)梳理:視線在水平視線下方時(shí)叫俯角.（如圖（a）.2方位角：從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位

10、角.如 B點(diǎn)的方位角為 a如圖（b） 3.方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）XX度.、基礎(chǔ)自測(cè):1若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30 °點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60 °且AC= BC,則點(diǎn)A在點(diǎn)B的（）A .北偏東15 °B .北偏西15 °C.北偏東10 ° D.北偏西10解析：選 B 如圖所示，/ ACB = 90°,又 AC =CBA = 45°,而 3= 30° a a= 90° 45° 30°= 15°.點(diǎn) A在點(diǎn) B 的北偏西 15

11、76;2如圖，設(shè)A, B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn) C,測(cè)出AC的距離為 50 m，/ ACB= 45° / CAB = 105°，貝U A ,B兩點(diǎn)的距離為（A . 50 , 2 mB. 50 . 3 mC. 25，2 m25 2D. 2 m解析：選A由正弦定理得AB=ACsinsin50X#=50 .'2(m).、考點(diǎn)突破:考點(diǎn)一、測(cè)量距離問題c*X研究測(cè)量距離問題，解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的 邊長(zhǎng)問題，從而利用正、余弦定理求解歸納起來常見的命題角度有：1兩點(diǎn)都不可到達(dá)； 2兩點(diǎn)不相通的距離

12、；3兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá) 角度【例1】 角度一 兩點(diǎn)都不可到達(dá)1如圖，A, B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且 A, B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測(cè)出 AB的距離，測(cè)量者 可以在河岸邊選定兩點(diǎn) C, D，測(cè)得CD = a，同時(shí)在C, D兩點(diǎn)分別測(cè)得/ BCA = a, / ACD = 3 / CDB = 丫，/ BDA = 3在 ADC 和厶BDC中，由正弦定理分別計(jì)算出兩點(diǎn)都不可到達(dá)AC和BC,再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB.若測(cè)得CD 壬 km,/ ADB =/ CDB = 30°/ ACD = 60 °/ ACB = 45°求A, B兩點(diǎn)間的距離.解：I/ADC =

13、/ADB + Z CDB = 60° / ACD = 60° a/ DAC = 60° a AC= DC =.在厶 BCD 中，/ DBC =DC2yf645 °由正弦定理，得 BC = . / sin / BDC = 卄sin 30-.在厶ABC中，由余弦定理，得sin/ DBCsin 454Ab2= AC2+ BC2 2AC BCcos 45 = 3+ 3-2X申乂2= |.a AB = (km).二 A, B 兩點(diǎn)間的距離為 乂6 km. 48242844角度二兩點(diǎn)不相通的距離2如圖所示，要測(cè)量一水塘兩側(cè)A, B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢?/p>

14、C,用經(jīng)緯儀測(cè)出角a再分別li測(cè)出AC, BC的長(zhǎng)b, a,則可求出 A, B兩點(diǎn)間的距離.即 AB = /a2 + b2 2abcos a.若測(cè)得 CA= 400 m, CB = 600 m , / ACB = 60° 試計(jì)算 AB 的長(zhǎng).解：在厶 ABC 中，由余弦定理得 AB2 = AC2 + BC2 2AC BCcos / ACB,. AB2= 4002+ 6002 2X 400x 600cos 60 = 280 000./ AB= 200 7 m.即 A, B 兩點(diǎn)間的距離為 200 ,；7 m. 角度三兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)3如圖所示，A, B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量

15、者在 A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測(cè) 出AB的距離，其方法在 A所在的岸邊選定一點(diǎn) C,可以測(cè)出AC的距離m,再借助儀 器，測(cè)出/ ACB = a, / CAB= 3,在厶ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出 AB.若測(cè)出AC= 60 m, / BAC = 75° / BCA = 45°貝U A, B兩點(diǎn)間的距離為 .解析：/ ABC = 180° 75° 45° = 60°所以由正弦定理得,AB ACAC sin C=，AB =sin C sin Bsin B60 x sin 45sin 60o=20 6(m).即A, B兩點(diǎn)間的距離為

16、20 6 m.答案：20 '6 m 類題通法求距離問題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放 在另一確定三角形中求解.(2) 確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.考點(diǎn)二、測(cè)量高度問題【例2】某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：A, B, C三地位于同一水平面上，在 C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀測(cè)點(diǎn) A, B兩地相距100米，/ BAC = 60°在A地聽到彈射聲2音的時(shí)間比B地晚石秒.在A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn) H時(shí)的仰角為30°求該

17、儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為 340米/秒)解由題意，設(shè)AC= x,則BC = x 補(bǔ) 340 = x 40,在厶ABC中，由余弦定理得 BC2= AB2+ AC2 2AB AC cos / BAC，即(x 40)2= 10 000 + x2 100x，解得 x= 420.在厶 ACH 中，AC= 420,/ CAH = 30°, / ACH = 90°, 所以CH = AC tan / CAH = 140 ；3(米).故該儀器的垂直彈射高度CH為140 3米.類題通法求解高度問題的注意事項(xiàng)(1) 在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在

18、同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2) 準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3) 運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.針對(duì)訓(xùn)練2015-2016溆浦一中高三數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案主備人：鄒偉備課日期：2015/9/13要測(cè)量電視塔 AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°并測(cè)得水平面上的/ BCD = 120° CD = 40 m，求電視塔的高度.解：如圖，設(shè)電視塔 AB高為x m,則在Rt ABC中，由/ ACB = 45°得BC = x.在Rt ADB中,/

19、ADB = 30° 貝U BD =/3x.在厶 BDC 中，由余弦定理得，BD2= BC2 + CD2 2BC CD os 120 °即(3x)2= x2+ 402 2 x 40 cos 120 °解得x = 40,所以電視塔高為 40米.考點(diǎn)三、測(cè)量角度問題D【例3】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東 75方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí) 14 n mile的速度，沿北偏東45°+ a方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住

20、，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角a的正弦值.解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則 AC= 14x,BC=10x,Z ABC = 120° 根據(jù)余弦定理得(14x)2= 122+(血)2_240xcos 120 °解得 x= 2.故AC = 28, BC = 20.根據(jù)正弦定理得 BC =AC, 解得sinsin a sin 12020si；820 =5143.所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角a的正弦值為 訐.類題通法解決測(cè)量角度問題的注意事項(xiàng)(1)明確方位角的含義;(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步;將實(shí)

21、際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.Jt15北針對(duì)訓(xùn)練如圖所示，處于 A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東B的方向沿直線CB前往B處救援，求cos B的值.解：在厶 ABC 中，AB = 40, AC = 20,/ BAC = 120°.由余弦定理得：BC2= AB2+ AC212AB ACcos 120 = 402 + 202 2 X 40X 20 X = 2 800,所以 BC= 20 _.；7.由正弦定理得：AB

22、BC“/AB40'321sin /ACB= si n/BAC，故 sin/ACB = BCsin / BAC = 20 需 X 2 = 7 .又'ACB 為銳角，所以 cos/ ACB =扌.又 0=/ ACB + 30 ° 所以cos 0= cos(/ ACB + 30 ° = cos/ ACB cos 30 sin / ACBsin 30= 73 21X 1 =區(qū)=72 72 = 14 .四、當(dāng)堂檢測(cè)1 . 一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí) 40海里的速度沿南偏東 有一座燈塔，海輪在40 °勺方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處A處觀察燈塔，其

23、方向是南偏東70°在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°那么B, C兩點(diǎn)間的距離是(A . 10 H海里B. 10 .'3海里C. 20 .'3海里D . 20 .'2海里解析：選A 如圖所示，易知，在 ABC中，AB = 20海里，/ CAB = 30° / ACB =主備人：鄒偉備課日期：2015/9/132 江岸邊有一炮臺(tái)高 30 m,江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45。和60°而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30。角，則兩條船相距_解析：如圖，OM = AOtan 45 = 30（m） , ON

24、 = AOtan 30 =23x 30= 1%3（m）,3m.在厶 MON 中，由余弦定理得，MN= . 900+ 300 2X 30X 10X j = '300= 10 '3(m).答案：10.：33如圖，甲船以每小時(shí) 30 ,'2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于 船位于甲船的北偏西 105°方向的Bi處，此時(shí)兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行 20分鐘到達(dá)A2處時(shí),Ai處時(shí)，乙船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距 10.'2海里.問：乙船每小時(shí)航行多少海里?20解：如圖，連接 A1B2,由已知 A2B2= 1

25、0 .2A1A2= 30 ,'2X 60= 10 ：2, A1A2 = A2B2.又/ A1A2B2=180° 120° = 60° A1A2B2是等邊三角形， A1B2= A1A2= 10,2由已知，A1B1 = 20,-/ B1A1B2 = 105 ° 60 ° = 45 ° 在厶 A1B2B1 中，由余弦定理得 B1B2 = A1B1 + A1B2 2A1B1 A1B2 cos 45 = 202+ (10 ,'2)2 2X 20X 102X y= 200, B1B2= 10 2.北/ 12C*tI釘'&#

26、39; 12O105"A%乙甲乙船航行到甲因此，乙船的速度為 艮呂X 60= 30 -2（海里/時(shí)）.20五、課后鞏固:1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站 C的距離相等，燈塔 A在觀察站南偏西40。，燈塔B在觀察站 南偏東60°則燈塔A在燈塔B的（）甘A .北偏東10 ° B .北偏西10 °C .南偏東80 °D .南偏西80 °解析：選D 由條件及圖可知，/A=Z B= 40° 又/ BCD = 60° 所以/ CBD = 30° 所以/ DBA = 10° 因此燈塔A在燈塔B南偏西80

27、6;2如圖，兩座相距 60 m的建筑物AB, CD的高度分別為 20 m、50 m, BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為（）A. 30 °B. 45 °C. 60 °D . 75 °解析：選B 依題意可得 AD = 20 10 (m), AC = 30_；5(m)，又CD = 50(m)，所以在厶ACD中，由余弦定理得 cos，- AC2 + AD2 CD2 3/5 2+ 20航 2 5026 000 V2 一 十，、，一.一 十2AC D2X 30 .5X 20 . 10/ CAD =”_ r- = 尸=門，又 0 < /

28、CAD<180 ,所以/ CAD = 45 ,所- 6 000*2 2以從頂端A看建筑物CD的張角為45°a、3.在不等邊三角形 ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為 則角A的取值范圍為（）b、c,其中 a 為最大邊，如果 sin2(B+ C)<sin2B+ sin2C,na. 0, 2n nD. 3, 2n nB. 4, 2解析：選D由題意得sin2A<sin2B+ sin2C,再由正弦定理得b2+ c2 a2a2<b2 + c2,即 b2+ c2 a2>0.則 cos A= 2bC>°,nnn n- 0<A<n, 0"<才又a為最大邊，人>扌.因此得角A的取值范圍是 3, 2 -4如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔 AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60 °再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測(cè)得/ BDC = 45°則塔AB的高是 .解析：在厶 BCD 中，CD = 10,/ BDC = 4