2014年暑假平面幾何講義：四點(diǎn)共圓(教師版)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案四點(diǎn)共圓文武光華數(shù)學(xué)工作室潘成華平面幾何中證四點(diǎn)共圓的幾個(gè)基本方法方法一：平面上有四點(diǎn)A、 B、 C、D , 若AD ,則 A、 B、 C、D 四點(diǎn)共圓A方法二線段 AC、BD 交于 E , 若 AE ECBE ED , 則 A、B、C、D 四點(diǎn)共圓DEB方法三線段 AC、BD交于 E,若AE BECE ED,CE則 A、 B、C、 D 四點(diǎn)共圓ADBCA方法四：若四邊形ABCD,AC180 ，則 A、 B、C、 D 四點(diǎn)共圓DBC文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案方法四、已知AD 是 ABC 內(nèi)角或外角平分線， ABAC ,且 BDDC ,則A、 B、 C、D 四點(diǎn)共圓ADAOCOCBBDBAD,

2、 因?yàn)锳DADsin Bsin C證明 設(shè)DBDC, 所以 sin BADsin CAD，所以 sin Bsin C ，內(nèi)角時(shí) BC 180 ,外角時(shí) BC ，所以 A、B、 C、 D 四點(diǎn)共圓托勒密定理：Tolemy( 托勒密定理）若四邊形 ABCD是圓 O內(nèi)接四邊形 , 則 AD? BC+AB? CD=AC? BDDDAAOOEBCBC證明在 AC上取點(diǎn) E, 使 EDC= ADB,因?yàn)?ABD=ACD,所以 ABDEDC,ADE BDC，于是 (AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是 AD? BC+AB? DC=AE? BD+BD? CE=AC? BD例 1、

3、已知 點(diǎn) D、 E 在 ABC 內(nèi)， ABDCBE , BAECAD .求證ACDBCE .AAQRDDEECCBPB文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明 ( 一) （文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）作 E 關(guān)于 BC、AB、 AC對(duì)稱(chēng)點(diǎn) P、R、Q , 易知BRD BPD ,ARD AQD , 于是 DPDRDQ ,所以DCP DCQ , 得到PCDQCD , 進(jìn)而B(niǎo)CEACD .證明（二）作BDS 外接圓交 AD 延長(zhǎng)線于 S , 可知ASCDBCABE , 得到ABE ASC , 所以ABS AEC , 得到ACEASBDSB ,所以BCEACD .ADECBS例 2、已知（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）

4、 E 是ABC 內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D 在 BC 上，且BAEDAC ,EDBADC . 則AECBED180AAFKEEGBDCBLDC證明 先證明 ABBEJ, 過(guò) E 作 AB、 AC、 BC 垂線 EF、 EG、EL 交 AB、 AC、 BC 分別ACEC于 F、 G、 L ，直線 EL、 AD 交于 J , 取 AF 中點(diǎn) K , 易知 B、F、E、L 四點(diǎn)共圓，F(xiàn)LE、 G、 C、 L 四點(diǎn)共圓，所以 ABsin CBEFLCE (1),( B、 C 是 ABC 的內(nèi)ACsin BLGLGBECE角) ，因?yàn)?EDBADC ，所以 ELLJ , 于是 KL / /AJ , 易知 A、 F、

5、E、 G 四點(diǎn)共圓，圓心是 K ， BAEDAC , 所以 ADFG , 進(jìn)而 KL / /FG ，得到 KL 是 FG 中垂線，所以 FL LG ，(1) 得 ABBEACEC文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案下面我們證明AECBED180，因?yàn)?sin AECAC sin EAC,AEsin BAEABsin BAE, , 兩式相除得sinAECsinEACsinBADBEsinBAEsinBAEsinDACAB sinBADECBDECsinBED , 因?yàn)锳C sinDACBECDBEsinDECAECBAEBEDDEC360所以， AECBED180證明（二）在 AB 取 H , 使得AHBPDB,

6、所以AHP ADC , 進(jìn)而得到AAHD APC , 易知 H、 P、D、B 四點(diǎn)共圓，所以 APCBPDBHDAHD180HPBDC例 3、葉中豪老師 2013 年國(guó)慶講義一幾何題我的解答已知， D 是 ABC 底邊 BC 上任一點(diǎn)， P 是形內(nèi)一點(diǎn)，滿足 12，34。求證： PBABPCAC 。A1A122HIPP343B4DCBDC證明作BPD、CPD 外接圓交 AB、 AC 分別于 H、 I ，易知AHP ADC , 所以ACAD（1）, 易知 API ABD , 進(jìn)而得到 ABP AHD APC ，所以 PCDHADI , 所以 BPABADDI （ 2） , 易知 A、 H 、P、

7、 I 四點(diǎn)共圓，所以AHIAPIABC , 所以文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案HI / /BC , IHDHDB3HDP3HBP4ADIIDCHID , 所以HD ID , 進(jìn)而根據(jù)（ 1）、（ 2）得到 PBAB。PCAC例 4、已知 ABC 是銳角三角形，AD 是 BC 邊上中線， H 是 ABC 垂心，HI AD 于點(diǎn) I ，求證B、C、H、I 四點(diǎn)共圓AAIHIHBDCBDCG證明（一）：延長(zhǎng) AD 到 G 使得 AD =DG , 易知四邊形 ABGC 是平行四邊形，因?yàn)镃H AB， BHAC , 所以 HBGHCG 90 , 得到 I、B、G、C、H ，所以B、C、H、I 四點(diǎn)共圓AIHFBDC證

8、明（二）HACHBDBFD , 所以 FD 是 (AIHF ) 切線，所以DC2FD2DIDA ,所以DIC DCA , 得到DCADACBHI , 所以 B、 C、 H 、 I 四點(diǎn)共圓第四題、第51 屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克，1999例 5、已知 在ABC 中， ABAC, 點(diǎn) P在ABC 內(nèi)部，點(diǎn) D是 BC中點(diǎn)，CBPACP .求證BPDAPC180 .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案AAPP yxBDCxDyBC證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)ACPx ,ABPy ,BPD,DPC,APB, APC,因?yàn)?BDCD,可知BP sinPC sin，可 知 sin y sinsin xsin, （ 1）

9、， ABAPACAP , 可知得到 sin ysinsin x sin（ 2），根據(jù)（ 1）、（ 2）得sin ysin xsinsinsinsin180 ，即 BPDAPC 180 。sinsin證明 ( 二) （文武光華數(shù)學(xué)工作室潘成華給出）延長(zhǎng) CP交以 A為圓心， AB為半徑的圓于 F , 直線 FA 交 BP于 G ,FACPPBC,因此GPCB , 于是 G在 A上，PFG PBC , 所以 APF DPB , 可知 APFBPD ,即 BPDAPCAPFAPC180 , 得證GAFPBDC例 6、已知 M是ABC 邊 BC中點(diǎn)， AM 交ABC 外接圓 O于 D ,過(guò)點(diǎn)D作DE

10、/BC交O于E,在AD上取點(diǎn) F ,使得 FC AC.求證AFCEFC文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案AAOOMMCCBFBFEDED證明 ( 一) （文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）因?yàn)?DE / / BC , 點(diǎn) M 是 BC 中點(diǎn)，所以 ABEC 是調(diào)和四邊形，易知直線AE 、過(guò)點(diǎn) B、 C 切線共點(diǎn)，得到 MC 平分AMC ,ECF90ABEOAEPME 1 EMF ,因此 C是EMFP旁心，進(jìn)而2AFCEFC .證明（二）因?yàn)?M 是 ABC 邊 BC 中點(diǎn)，所以 S ABDSACD ,得到 AB BDAC CD,易知BCED 是等腰梯形，所以AB CEACBE , 根據(jù)托勒密定理可知2AB CEAB

11、 CE+AC BE =AE BC2BM AE , 得到 AB CE BMAE ，ABMAEC ,所以 ABM AEC ，所以EACBAD , 可知 EABCAD , 取 AE中點(diǎn) S, 同理可得ACSECBBAEDAC , 所以 CS與 AD交點(diǎn)設(shè)為 N, 則 N為 AF 中點(diǎn)，所以CN/EF ,于是EFCNCFAFCANSBMCFCJ /BD交 AD于J，所以DE證明（三）（田開(kāi)斌老師）作ACJ BDCE ,JCEBDCBCE ,AFC90DAC90DBC90ECBJEC , 所以JJ、F 、 E、 C 四點(diǎn)共圓，因?yàn)镴CEC , 所以 AFCEFCBMCF文檔DE實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 7、 已知

12、 AD 是ABC 角平分線交BC 于 D ，ABD、ACD、ABC 外心分別是O1、 O2、 O , 求證 O1O=OO2AAO1O1O2O2OOBDCBDC證明易知O AB90AO O90ADC90B1 BACOACDAC112OAD ， BAO901 AOB90CDAO2 , 所以O(shè)1AO=O2 AO （1），又21ADC、2OADB，于是12ADC +ADB =180，所以AOOAOAOO +AO OA 、 O1、 O2、 O 四點(diǎn)共圓，根據(jù)（1）得到 O1O=OO 2證明（二）記ABC三角 A、B、C，設(shè)直線BO1、 CO2交于 E，BCECACO2C (90ADC )C(90B 1A

13、)B CA ,同理·EBCBC A,所以 BECE ，222BOO1ADC、 CO2OADB ，BOO1 +CO2OADC +ADB =180EA所以 E、 O1、 O2、 O 四點(diǎn)共圓得到 O1O=OO 2O1O2O例8、已知DC P 、 O 交于 A、 B , 四邊形 ABCD 是平行四邊形， C 在O上， PFBC交 AB于 F,直線 CF 交 O于G .求證E、 G、D、 C四點(diǎn)共圓DADAKPPGO文檔OFGFCCEBE實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明延長(zhǎng) DA 交等腰梯形， CFFGP 于點(diǎn) K , 連接 KE 、 KB ，易知 AKBE 是等腰梯形，AFFBEFFK , 所以 K、 G

14、、 E、C 四點(diǎn)共圓，因此DKEC是K、 G、E、 C、D五點(diǎn)共圓 , 進(jìn)而E、 G、 D、C四點(diǎn)共圓例 9、已知O、 I分別是ABC外心，內(nèi)心，求證OIAI的充要條件是ABAC2BC,AAOOIIC證明CB延長(zhǎng) AI 交圓 O于 D, 根據(jù)托勒密定理， AB? DC+AC? BDBD=AD?BC(1), 因?yàn)?OIAI ，所以 AI=ID, 由（ 1）得：（ AB+AC)? BD=BC? 2DI, 因?yàn)?BID=IBD, 于是 BD=DI,所以 AB+AC=2BC此題，若 O，I 分別是 ABC外心，內(nèi)心， AB+AC=2BC，求證 OI AI證明方法是一樣的例 10、 P 為 ABC 外接

15、圓上一點(diǎn)， P 在 BC、 AC 上的射影為 D、 E . 點(diǎn) L、M 分別是 AD、 BE 中點(diǎn)。證明 DE LM .AA文檔LLN實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明 取AB 中點(diǎn) N ，連接 MN 、 NL、 AP、 BP , 易知 BPD APE ，所以 DPPEBDAE ,所以 DPNL ,可知 MNL EPD ,所以 DELMPEMN第十題、已知 M 是 ABC 邊 BC 中點(diǎn)， AM 交 ABC 外接圓 O 于 D ,過(guò)點(diǎn) D作DE /BC交 O于E,在 AD上取點(diǎn) F ,使得 FCAC .求證 AFCEFC例 11、已知（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華） O、 I 外切于S,O弦AB切 I 于T,點(diǎn)

16、 P 是 AI 延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ,求證 BPAB 充要條件是 TSSP . （2014 68 8 ：49 于鎮(zhèn)江大港中學(xué)）PPBBOOARASQSTTII證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京 潘成華）過(guò) S 作兩圓公切線交 AT 于 Q ,線段 AS、QI 交于 R , TSSP等價(jià)于 IR / /PS , 等價(jià)于AIAR, 因?yàn)锳PASQTRQSAABS , 得到 TR /BS, 因此， AIAR 等價(jià)于AIAT , 等價(jià)于APASAPAPIT /BP ,即 BPAB文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 12、剛才看了一下 2014 年第 5 期中等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題（高） 383，不難，我把解答寫(xiě)一下已知 H是銳角

17、ABC 的垂心，以 AH 、 AB 為直徑的圓交BHC 外接圓于 D、 E , 直線 AD交BC于G ,直線 AE、HC 交于 F,求證 GF / /BHAAHDEMHDEFFBGCBGCOJN證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)BHC 外接圓為 O ,直線 AG交O于N ,所以 H、O、N 共線，延長(zhǎng) CH 交AB于點(diǎn) M ,易知A、M、H、 D 四點(diǎn)共圓，所以BADDHCANC , 所以 AB / /CN , 同理 BN / / AC ,所以 ABNC 是平行四邊形，得到 G 是 BC、 AN 中點(diǎn)，連接 AF 交 O 于 J , 因?yàn)?BE AF , 可知 B、 O、 J 共線，所以

18、OG 是 AHN 、 BJC 中位線，得到 AH 、 CJ 平行且相等，所以 F 是 HC 中點(diǎn)，可知 GF / /BH例 13、（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè) ABC 周長(zhǎng)為 2 p ，AEAF pAC ，求證 ABC 的 C旁切圓與ABC 外接圓外切。（ 2014-6-12 8：56）證明設(shè) ABC 的C旁切圓切直線 EF、 AB、 AC 于 D、L、M , AC 交 AEF 外接圓于N ,直線 AD交 ABC 的C旁切圓于 K ,AF 2AL2AD AK,所以 AFD AKF ,所以AKFAFDAEF180ANF , 所以點(diǎn) K 在 AEF 外接圓外接圓上，因?yàn)锳是BAF 中點(diǎn)，所以

19、點(diǎn) K 是兩圓的切點(diǎn)，即ABC的C旁切圓與 ABC 外接圓外切。CCFF文檔NEBAEBLA實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 14、CDAB 于D ， H、O 是ABC 垂心，外心，ODDE 交 AC 于 E ，求證BACDHECCOOHHEEABBDADKJ證明 (一) 延長(zhǎng) CD 交 O于 J , 延長(zhǎng) ED交 BJ 于 K , 根據(jù)蝴蝶定理可知 DEDK,根據(jù)鴨爪定理可知 DH DJ , 所以 HE / / BJ , 等腰 BACBJDDHE .證明（二）在 BD 取 S 使得 DS AD , 所以SCDACDBCO , 設(shè) BH、CS交于 T ,CBODBT , 根據(jù)等角共軛點(diǎn)性質(zhì)，可知CDTBDOCD

20、E ,又CDBHACDCDS , 可知 C、 D、S、 H 四點(diǎn)共圓，可知DHEDHTCSDABCOTH例 15、第 47 屆 IMO 預(yù)選， 2006 年E如圖，在梯形ABCD中，AB / /CD,ABCD, 點(diǎn)K 、 L分別在線段S上，且ABAB、 CDDAKDL,P、 Q分別在直線 KL 上，且APBADC,CQDBAD.KBLC求證A、 D、P、 Q 四點(diǎn)共圓ODLC文檔PJDLCP實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明（一）因?yàn)?AKDL，易知 AD、 QP、DC 共點(diǎn)，設(shè)為 O ,KBLC設(shè) AQ 交圓 (DCQ ) 于J, CQDBADODC , 因此 QD是圓 (QDC ) 切線，APDADCDJC

21、,所以DJ/AP,所以 PADODJAQP , 因此 A、 D、 P、 Q 四點(diǎn)共圓EDLCSPTXYAKBQ證明 （二）（文武光華數(shù)學(xué)工作室潘成華）因?yàn)?(AK/KB)=(DL/LC),AB/CD,根據(jù)位似知識(shí)可知AD、 QL、 BC的延長(zhǎng)線共點(diǎn)，設(shè)為E, 過(guò)點(diǎn) L 作 LX/AP 交 AD于 X, 作 LY/PB 交 BC于 Y, 因此 XY/AB, 設(shè) XL、 DQ交于 S,LY、QC交于 T,根據(jù) Menelaus 定理可知 (XS/SL)=(XD/DE)*(EQ/LQ)=(YC/CE)*(EQ/LQ)=(YT/TL), 于是 ST/XY,SQT+ SLT=DAB+ADC=180

22、76;, 所以 L、 S、Q、T 四點(diǎn)共圓，易知 SQL= STL=XYL= ABP=180°- APB- BAP=180° - ADC-BAPDAP,進(jìn)而 A,D,P,Q 四點(diǎn)共圓文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例 16、2012 年西部數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題已知 ABC外心、垂心分別是O 、 H , ADBC 于 D ,AO 中垂線交 CB 延長(zhǎng)線于 E . 求證AEF 外接圓過(guò) OH 中點(diǎn) .AAFFOMOHHEBDECBDKC證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京 潘成華）取 OH 、 BC 中點(diǎn) M 、K, 根據(jù)歐拉定理可知 AH2OK、AH / /OK , 所以 MF OK、MF / /OK

23、 , 所以 MKOFAF ,又易知 MDMK ,所以 AF MD , 因此 AFMD 是等腰梯形，可知 A、 F、 M 、 D 四點(diǎn)共圓，因?yàn)?A、 F、 E、 D 四點(diǎn)共圓，所以 M 在 AEF 外接圓上 , 即 AEF 外接圓過(guò) OH中點(diǎn)M.例 17、已知兩同心圓，從大圓上一點(diǎn)A作 AB、AC 切小圓于 B、C ,AC2BE直線AE交大圓于 D .求證 DE2CEAABCEBCEODSD文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）設(shè)兩圓圓心O ,延長(zhǎng) AB、AC 交 AB、 AC分別交大圓于 S、 D , 所以 BC 是 ASD 中位線，DAEDSEBEC ,BSEADE , 所以

24、 ADE ESB ,所以 AEDEDEAE2BE2BE2BE2 ,BEBSDC ,所以 DE2DC結(jié)論等價(jià)于DC2CE，等價(jià)于DC 2BE CE ,因?yàn)?DC2DO 2OC 2EO 2OC 2BE CE 得證例 18、（ 2004 年日本數(shù)學(xué)奧林匹克幾何題）已知如圖，點(diǎn) D、 E 分別是 AB、 AC 上兩點(diǎn)，且 ADCE過(guò)點(diǎn)D、 E分別作DBAEAC、 AB 的平行線交過(guò)點(diǎn) A 作 ABC 外接圓的切線分別于 H 、 I , 延長(zhǎng)直線 DE 交ABC 外接圓于 F 、 G求證（ 1）H、F、G、I四點(diǎn)共圓， (2)BC是切線（HFG）HHAAIIGEGEDDFFBCBJC證明 因?yàn)镠G /

25、/AC,AD / /EIADCE,因?yàn)?DBAE ，所以直線 DH 、 EI 交點(diǎn)必在 BC 上設(shè)為J, ABCIACAHJ , 所以 A、 H 、B、 J 四點(diǎn)共圓，同理 A、 I、 C、 J 四點(diǎn)共圓 AD DBHD DJGD DF 因此 H 、F、J、G 四點(diǎn)共圓同理 I、 F、 J、G 四點(diǎn)共圓，于是 H 、 F 、G、 I 四點(diǎn)共圓，AJBACBHABAIJ , 所以 BC 是（ HFG）切線例 19、已知 AB、 AC 分別是圓 O 兩切線、AB于D, DF 切O于E,交BC延長(zhǎng)線于 F.B、 C 是切點(diǎn)，CD 平分ACB,交求證BC3CFAADDHE文檔EBKBICFCFO實(shí)用標(biāo)

26、準(zhǔn)文案證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京潘成華）連接 AO 交 BC 于 I , BE、 DO 交于K , 設(shè)線段 CD 交 O 于 H ，易知 I、K 分別是 BC、BE 中點(diǎn)， A、H、I、O 共線，根據(jù)配位中線知識(shí)可知ECDBCK , 所以ECAHCB , 又 BECBHC , 所以EKCHBCHCBECB , 進(jìn)而 BE 2KE2EC,又 ECF BFE,得到 BF2EF4CF,即BC 3CF.A證明（二） ED 2DHDCDKDO ,所以DKE DCO ,DKHDCO , 所以HKEHBC , 所以HKE HBC , 可知DHEHCEACHACEBCHCBCHBCCBEHBK于是BKHCE

27、H , 得到 CEBKKE , 下面同證法（一）B K F C例 20、回答廣州陳澤桐老師幾何題O已知 J 是ABC 的 A旁切圓， D、 E 是切點(diǎn)，點(diǎn)F 是 DE 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CF交 AB于G.則FCAB的充要條件是 FG ABFGAC BCAACGFBESCGFDJBERD文檔JT實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明（文武光華數(shù)學(xué)工作室南京 潘成華）設(shè) JC、 DE 交于 S , BS 延長(zhǎng)線交直線 AE于 R , CS 交直線 AD 于點(diǎn) T , 三角形三角 A、 B、 C , 根據(jù) Menelaus 定理 ADGFCE 1,DGCFAECFCE,ACABAB901ABC =DBJDCJ 所以所以FGD

28、GBCAEBD , CSE2B、 S、 J、 D 四點(diǎn)共圓，可知 BSCS , 可知 BS SR , 根據(jù) Menelaus 定理 ,ERADBS1,所以 ERBD ,ABABABsin Csin(B2,ABBDSRACBCAEBDARC )2FCABECsin C(1) ，成立的充要條件是2FGACBCDGsin( BC )2ECECJCsin CJC,FGAB 等價(jià)于 JCTC11,DGJCDG2DGDGTGsin GCTsin( AC )sin Csin C2即 EC根據(jù)（ 1）結(jié)論成立2C )2DG sin( Asin( BC )22例 21、已知：自 O 外一點(diǎn) P 作切線 PA、

29、PB 及割線 PCD ，自 C 作 PA 的平PEF 。行線，分別交 AB、AD 于 E、 F 。求證： CEPCAEBCAEBFODFOMD證明：聯(lián)結(jié) OA、 OB O，作 OMCD 于 M 。由垂徑定理知CMMD 。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由OAPOBPOMP90 ，得 A、B、M 都在以 PO 為直徑的圓上，即 P、A、 M 、B 四點(diǎn)共圓，ABMAPM 。而 CE / /PA ，得APMECM 由此ABMECM ，推出 B、 C、E、 M 四點(diǎn)共圓。得EMCEBC、而EBCD ，故EMCD ， EM / / AD 。在CDF 中，由中位線逆定理即得ECEF 。例 22、已知 A為 O 上一點(diǎn)，

30、 B 為圓外一點(diǎn)， BC、 BD 分別與 O 相切于C、D ， DEAO 于 E ， DE 分別交 AB、AC 于 F、G 。求證： DFFG 。BBDKDCFCMFGGOAAEOE證明：設(shè) AB交 O于 K ，聯(lián)結(jié) OB、CD 交于 M 。則 OB 垂直平分 CD ，即 M 是 CD中點(diǎn)。聯(lián) KM 、 KD、 MF 。由 BKBABD 2BMBO ，得BKM BOA ，于是BMKBAO ，由此DMKAFEKFD ，得 K 、 M 、 F、 D 四點(diǎn)共圓，于是DMFDKFDCA ， MF / / CA 。因 M 是 DC 中點(diǎn)，故 F 也是 DG 中點(diǎn)，即 DF FG 。證畢例 23、已知 P

31、A、PB 是 O 切線， A、 B 是切點(diǎn)， PCD 是割線， DJ / / AP 交 AB 于 J , 直線 JC 交 AP 于 I , 求證 AI PI (2013 11 11 21:30)AIOAIOPPCDCKDBJBJL證明作 OKPD 于 K , 延長(zhǎng) AC、 DJ 于 L , 易知 A、 P、B、 K、 O 五點(diǎn)共圓，可知文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案JDPADPABK , 所以 B、 K 、D、J 四點(diǎn)共圓，于是AJKCDBCAJ , 于是 ACA / /BK , 易知 CKDK ,所以 LJDJ , 進(jìn)而根據(jù)相似知識(shí)可知AIPI .例 24、ABC 是等邊三角形，AD / /BE , BDDE , 連接 CE , 取 CE 中點(diǎn) F ,求證ADF120KADADEBFCMEBFC證明（田開(kāi)斌給出）延長(zhǎng)ED到K,使得 DK=DB,KDADEBDBEADB , 所以 ADKADB , 所以 AKAB AC ,于是DKC1DAB30 ,KBC DMF,可30 , 因?yàn)?AD / /BE ，所以 ADF2AD知 MDK120X證明（二）上海 -leenco 林可先生證明：作等邊三角形DBY , 連接 YC 交 DA 延長(zhǎng)線于X ,連接 XB,所以 Y是 DEB外心，BEY 30 ,EABD CBY 所以XYBXDB , 得到BFX、 D、