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1、Excel回歸分析結果的詳細闡釋利用Excel的數(shù)據(jù)分析進行回歸,可以得到一系列的統(tǒng)計參量。下面以連續(xù)10年積雪深度和灌溉面積序列(圖1)為例給予詳細的說明。A1B c11年份最大積雪深度咒冰)灌溉面積式千畝)2197115. 228. 63197210. 419. 34197321. 240. 55197418.635.66197526.448.97197623.4458197713.529.29197316.73111019792446.711198019.137.4圖1連續(xù)10年的最大積雪深度與灌溉面積(1971 1980)回歸結果摘要(Summary Output)如下(圖2):ABc

2、DEFI GL hISUMMARY OUTPUT回歸統(tǒng)計Multiple0. 989416R SquareQ.978944Adjusted0. 976312標準誤差1.418924觀測值10方差分析dfssMSF»nificance F回歸分析1748. 8542748.8542371.94535, 42E-08夠S16.106762.013345總計g764. 961Cofficien,標準誤差t Si atP-valueLower95%F限苑。止限第.05I nt er cep 12. 3564331. 3278761. 2891670. 233363-1. 85865&

3、, 57153-1.858656. 57153最大積雪中,1,8129210. 09400219.285885. 42E-081.5961512. 0296911.5961512. 029691RESIDUAL OUTPUTPROBABILITY OUTPUT觀測值瞿溉面積y殘差標準殘差百分比排懾面積排十田)129. 91284-1.31284-0.98136519.3221,21OB2-1. 91082-1.428361523,6340. 79036-0. 29036-0. 217052529.2436. 07677-0. 3677-0. 356393534,1550. 21755-1.31

4、755-0. 984894535.6圖2利用數(shù)據(jù)分析工具得到的回歸結果第一部分:回歸統(tǒng)計表這一部分給出了相關系數(shù)、測定系數(shù)、校正測定系數(shù)、標準誤差和樣本數(shù)目如下(表1):表1回歸統(tǒng)計表回歸統(tǒng)計|Multiple 0. 989416R Square 0, 978944 Adjusted 0.976312 標準誤差1.418924 觀測宿 101逐行說明如下:Multiple 對應的數(shù)據(jù)是相關系數(shù) (correlation coefficient),即 R=0.989416。R Square對應的數(shù)值為測定系數(shù) (determination coefficient),或稱擬合優(yōu)度(goodness

5、 of fit),它是相關系數(shù)的平方, 即有 R2=0.9894162=0.978944。Adjusted對應的是校正測定系數(shù) (adjusted determination coefficient),計算公式為_ 2(n-1)(1-R )Ra = 1 -n - m -1式中n為樣本數(shù),m為變量數(shù),R2為測定系數(shù)。對于本例,n=10, m=1 , R2=0.978944 ,代入上式得Ra =1 -(10 -1)(1 -0.978944)10-1-1=0.976312標準誤差(standard error)對應的即所謂標準誤差,計算公式為1 SSe n - m -1這里SSe為剩余平方和,可以從

6、下面的方差分析表中讀出,即有 SSe=16.10676,代入上式可得s=1*16.10676 =1.418924.10-1 -1最后一行的觀測值對應的是樣本數(shù)目,即有 n=10o第二部分,方差分析表方差分析部分包括自由度、誤差平方和、均方差、F值、P值等(表2)。表2方差分析表(ANOVA方差分析dfSSMSF回歸分析1748.8542748 8542371. 94535. 4ZE-08殘差816.106762.013345總計9764. 961逐列、分行說明如下:第一列df對應的是自由度(degree of freedom),第一行是回歸自由度 dfr,等于變量數(shù)目,即dfr=m;第二行為

7、殘差自由度dfe,等于樣本數(shù)目減去變量數(shù)目再減 1,即有dfe=n-m-1;第三行為總自由度 dft,等于樣本數(shù)目減1, 即有 dft= n-1 o 對于本例, m=1, n=10,因此,dfr=1 , dfe=n-m-1=8, dft=n-1=9。第二列SS對應的是誤差平方和,或稱變差。第一行為回歸平方和或稱回歸變差SSr,即有nSSr =,(?i -yi)2 =748.8542 i 1它表征的是因變量的預測值對其平均值的總偏差。第二行為剩余平方和(也稱殘差平方和)或稱剩余變差 SSe,即有2SSe -%(yi -yi) =16.10676i 二它表征的是因變量對其預測值的總偏差,這個數(shù)值越

8、大,意味著擬合的效果越差。上述的y的標準誤差即由SSe給出。第三行為總平方和或 稱總變差SSt,即有nSSr =" (yi -yi)2 = 764.961 i 1它表示的是因變量對其平均值的總偏差。容易驗證748.8542+16.10676=764.961 ,即有SSr SSe = SSt而測定系數(shù)就是回歸平方和在總平方和中所占的比重,即有2 SSr 748.8542R = = = 0.978944SSt 764.961顯然這個數(shù)值越大,擬合的效果也就越好。MSr,即有第四列MS對應的是均方差,它是誤差平方和除以相應的自由度得到的商。第一行為回歸均方差MSrSSrdfr748.854

9、21= 748.8542第二行為剩余均方差 MSe,即有MSeSSe 16.10676dfe 8= 2.013345顯然這個數(shù)值越小,擬合的效果也就越好。- 2dfeR21 - R2第四列對應的是F值,用于線性關系的判定。對于一元線性回歸,F(xiàn)值的計算公式為R2(1-R2)n -m 7式中 R2=0.978944, dfe=10-1-1=8 ,因此8* 0.9789441 -0.978944= 371.9453第五列Significance F對應的是在顯著性水平下的F a臨界值,其實等于 P值,即棄真概率。所謂“棄真概率”即模型為假的概率,顯然1-P便是模型為真的概率。可見, P值越小越好。對

10、于本例, P=0.0000000542<0.0001 ,故置信度達到99.99%以上。第三部分,回歸參數(shù)表回歸參數(shù)表包括回歸模型的截距、斜率及其有關的檢驗參數(shù)( 表3)。表3回歸參數(shù)表(為Efficients標準誤差t StatIntercept2.3564379291.8278761. 289167最大積雪深度虱米)L 8129210650.094002.19.28588P-valueLower 95% Upper 95% 下限 95. 0% 上限 95. 0%0. 233363-1. 858656. 5715301-L 8586546.57153015. 42E-081. 59615

11、12.02969131.59615082.0296913第一列Coefficients對應的模型的回歸系數(shù),包括截距 a=2.356437929和斜率b=1.812921065 ,由此可以建立回歸模型9 =2.3564 1.8129xiyi =2.3564 1.8129xi;i第二列為回歸系數(shù)的標準誤差(用sa或利表示),誤差值越小,表明參數(shù)的精確度越高。這個參數(shù)較少使用,只是在一些特別的場合出現(xiàn)。例如 L. Benguigui等人在 When and where is a city fractal ?一文中將斜率對應的標準誤 差值作為分形演化的標準,建議采用0.04作為分維判定的統(tǒng)計指標(參

12、見 EPB2000)。不常使用標準誤差的原因在于:其統(tǒng)計信息已經(jīng)包含在后述的t檢驗中。第三列t Stat對應的是統(tǒng)計量t值,用于對模型參數(shù)的檢驗,需要查表才能決定。t值是回歸系數(shù)與其標準誤差的比值,即有taa了,tb sa?b根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)容易算出:ta2.356438= 1.289167, tb1.8278761.81292119.285880.094002對于一元線性回歸,t值可用相關系數(shù)或測定系數(shù)計算,公式如下將R=0.989416、n=10、m=1代入上式得到1 - R20.989416,- 1-0.989416210-1-1= 19.28588對于一元線性回歸,F(xiàn)值與t值都與相關系

13、數(shù) R等價,因此,相關系數(shù)檢驗就已包含了這部分信息。但是,對 于多元線T回歸,t檢驗就不可缺省了。第四列P value對應的是參數(shù)的 P值(雙側(cè))。當P<0.05時,可以認為模型在“=0.05的水平上顯著,或者置信度達到95%;當P<0.01時,可以認為模型在“=0.01的水平上顯著,或者置信度達到99%;當P<0.001時,可以認為模型在 “=0.001的水平上顯著,或者置信度達到 99.9%。對于本例,P=0.0000000542<0.0001 ,故可認為在 “=0.0001 的水平上顯著,或者置信度達到99.99%。P值檢3與t值檢驗是等彳的,但 P值不用查表,顯

14、然要方便得多。最后幾列給出的回歸系數(shù)以95%為置信區(qū)間的上限和下限。可以看出,在卡0.05的顯著水平上,截距的變化上限和下限為-1.85865和6.57153,即有-1.85865 < a 三 6.57153 斜率的變化極限則為 1.59615和2.02969,即有 1.59615 Mb < 2.02969第四部分,殘差輸出結果這一部分為選擇輸出內(nèi)容, 如果在“回歸”分析選項框中沒有選中有關內(nèi)容,則輸出結果不會給出這部分結果。殘差輸出中包括觀測值序號(第一列,用 i表示),因變量的預測值(第二列,用 ?表示),殘差(residuals, 第三列,用ei表不)以及標準殘差( 表4)。

15、表4殘差輸出結果觀測值預測灌溉面積T(千田)殘差標準殘差I29. 91283811-L 31284-0. 98136221. 210817-1. 91082-1. 42836340. 7903645-0.29036-0. 21705436. 07676973-0.47677-0. 35639550, 21755404-L 31755-0. 98489644.778790840. 2212090.165356T26. 83087232. 369128L 770947832. 632219711. 467781.097121945. 866543480. 8334570. 6230171036.

16、98323027。416770. 31154預測值是用回歸模型?i =2.3564 1.8129xi計算的結果,式中 X即原始數(shù)據(jù)的中的自變量。從 圖1可見,Xi=15.2,代入上式,得?1 =2.3564 1.8129x1 =2.3564 1.8129* 15.2 =29.91284其余依此類推。殘差兮的計算公式為e = x - ?i從圖1可見,y二28.6,代入上式,得到e =y1 - % =28.6 -29.91284 =-1.31284其余依此類推。標準殘差即殘差的數(shù)據(jù)標準化結果,借助均值命令average和標準差命令stdev容易驗證,殘差的算術平均值為0,標準差為1.337774。

17、利用求平均值命令 standardize(殘差的單元格范圍,均值,標準差)立即算出表4中的結果。當然, 也可以利用數(shù)據(jù)標準化公式*Zi -z Zi -zzi -.var(zi)二 i逐一計算。將殘差平方再求和,便得到殘差平方和即剩余平方和,即有nnSSe= " £ = ?,(yi -yi)2 =16.10676i =1i 1利用Excel的求平方和命令sumsq容易驗證上述結果。以最大積雪深度 Xi為自變量,以殘差 e為因變量,作散點圖,可得殘差圖( 圖3)。殘差點列的分布越是沒有 趨勢(沒有規(guī)則,即越是隨機),回歸的結果就越是可靠。用最大積雪深度Xi為自變量,用灌溉面積

18、yi及其預測值?為因變量,作散點圖,可得線性擬合圖( 圖4)。最大積雪深度x(米)Residual Plot2 -1 - 差一.0 0 一 . I( 051015*202530-1 -2 -3 -最大積雪深度x(米)圖3殘差圖60), 50由 40y積30面溉20灌100最大積雪深度x(米)Line Fit Plot灌溉面積y(千畝)預測灌溉面積千畝)0102030最大積雪深度x(米)圖4線性擬合圖第五部分,概率輸出結果在選項輸出中,還有一個概率輸出( Probability Output )表(表5)。第一列是按等差數(shù)列設計的百分比排位,第二列則是原始數(shù)據(jù)因變量的自下而上排序(即從小到大)一一選中圖1中的第三列(C歹U)數(shù)據(jù),用鼠標點擊自下而上排序按鈕 aL立即得到表 5中的第二列數(shù)值。當然,也可以沿著主菜單的“數(shù)據(jù)(D)一甥排序(S)”路徑,打開數(shù)據(jù)排序選項框,進行數(shù)據(jù)排序。用表5中的數(shù)據(jù)作散點圖,可以得到Excel所謂的正態(tài)概率圖(圖5)。表5概率輸出表百分比排位覆溉面積八干田)519.3ris28.6r25235311r 或35.6二5537.46540.57545_8546954& 9Normal Pro

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