人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：和三角形有關(guān)的角

1、2020年中考數(shù)學(xué)人教版專(zhuān)題復(fù)習(xí)：與三角形有關(guān)的角、學(xué)習(xí)目標(biāo):1. 了解與三角形有關(guān)的角(如內(nèi)角、外角) ；2. 會(huì)用平行線(xiàn)的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180。；3. 了解三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用和三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系.難點(diǎn)：證明的必要性和添加輔助線(xiàn)的方法.三、考點(diǎn)分析：三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)在中考中多以填空題、選擇題和計(jì)算題的形式出現(xiàn)，有時(shí)和其他知識(shí)結(jié)合在一起考查，一般情況下，題目的難度都不大.知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：三角形的內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于 180° .證明三角形內(nèi)角和定理的幾種輔助線(xiàn)

2、的作法：(1)如圖，過(guò)點(diǎn) A作DE/ BC;(2)如圖，過(guò) BC上任意一點(diǎn)，作 DE/AC, DF/ AB;(3)如圖，過(guò)點(diǎn) C作射線(xiàn)CD/ AB.知識(shí)點(diǎn)二：三角形的外角及其性質(zhì)三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，叫做三角形的外角.性質(zhì)1 :三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.性質(zhì)2:三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.C典型例題知識(shí)點(diǎn)一：三角形的內(nèi)角和定理例1.已知一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1 ： 5 ： 6,則其最大內(nèi)角的度數(shù)為()A. 60° B. 75°C. 90° D. 120°思路分析：題意分析：看到題目中出現(xiàn)比例關(guān)系

3、時(shí)，要想到按比例關(guān)系設(shè)未知數(shù).解題思路：由于題目中出現(xiàn)比例“ 1 ： 5 ： 6”，我們可設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為x。、5x6x ,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三個(gè)內(nèi)角的和為180。，列方程求解即可.解答過(guò)程：設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角分別為x、5x。、6x ,根據(jù)題意得：x + 5x + 6x = 180°解得x= 15.則最大內(nèi)角的度數(shù)為 6x =90° .故選C.解題后的思考：出現(xiàn)與三角形的內(nèi)角有關(guān)的題目時(shí)，注意題目中隱含著一個(gè)相等關(guān)系一一三角形三個(gè)內(nèi)角的和為 180° .例 2.如圖所示，D是4ABC的 BC邊上一點(diǎn)，ZB=Z BAD, ZADC= 80°，/BA

4、C= 70° , 求：(1) / B的度數(shù)；(2) / C的度數(shù).A思路分析：題意分析：本題考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.解題思路：由/ ADB與/ ADC互補(bǔ)可先求出/ ADB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理在 ABD中求 出/ B,在 ABC中求出/ C.解答過(guò)程：(1)因?yàn)? ADC= 80° ,所以/ ADB=180° -Z ADC= 100° .在 ABD 中，/B+/BAD+ / ADB= 180° ,，_，_ _ 1 ，。 ，一 。則/ B= / BAD= 2 (180 -Z ADB) = 40 .(2)在 ABC中，因?yàn)? BAC= 70

5、° ,所以/ C= 180° -Z BAC / B= 70° .解題后的思考：解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意角的多重屬性(即屬于一個(gè)三角形的內(nèi)角還屬于另一個(gè)三角形的內(nèi)角).例3.如圖所示，在 ABC中，/ B= 60° , / C=40° , AD是BC邊上的高，AE平分 /BAC,求/ DAE的度數(shù).思路分析：題意分析：此題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形角平分線(xiàn)和高的定義以及直角三角形兩個(gè)銳角互余等知識(shí).解答過(guò)程：因?yàn)锳E平分/ BAC, / B= 60° , / C= 40一,11cc所以/ CA±2BAC= 2 (180 -

6、Z B-Z C) = 40 .又因?yàn)?AD是BC邊上的高，所以/ C+ / DAC= 90° ,所以/ DAC= 90° -Z C= 50° ,所以/ DA/ DAC / CA10° .解題后的思考：通過(guò)本例題可以得出一個(gè)重要結(jié)論：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)作高線(xiàn)和角平分線(xiàn)， 它們所夾的角等于三角形另兩個(gè)角的差的一半.例4.如圖所示，已知在 ABC中，/A=60° , / B與/ C的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn) D.求 /BDC的度數(shù).思路分析：題意分析：本題綜合考查三角形內(nèi)角和定理、三角形角平分線(xiàn)的性質(zhì).解題思路：要求/ BDC的度數(shù)，需要利用三角形的內(nèi)角和定理

7、，設(shè)法溝通已知和未知的關(guān)系.解答過(guò)程： 如圖所示，在 BDC中，/ BDC= 180° (/ DBC+ / DCB).1 , 一 1 ,因?yàn)? DBC= 2Z ABC, Z DCB= /ACB,1 一 一所以/ DBC+ / DCB= 2 (/ ABC+ / ACB).在 ABC 中，/ ABC+ Z ACB= 180° -Z A= 180° 60° =120° ,一,1cc所以/ DBC+ / DCB=-X 120 = 60 . 2所以/ BDC= 180° (/ DBC+ / DCB) =180° 60° =1

8、20° .解題后的思考：在三角形中，兩內(nèi)角的平分線(xiàn)相交構(gòu)成的鈍角等于90°加上第三個(gè)角的一.1半，即/ BDC= 90 +2/A.小結(jié)：三角形內(nèi)角和等于180。，揭示了三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系，同時(shí)為求角的問(wèn)題提供了一個(gè)應(yīng)用的平臺(tái)，靈活而有技巧性地運(yùn)用它，可以解決很多問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)二：三角形的外角例5.如圖所示， ABC中，Z A=90° , / D是/ B、/C的外角平分線(xiàn)的夾角，求/ D的度數(shù).思路分析：題意分析：可用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)解答.解題思路：要求/ D的度數(shù)，只需要知道/ 3+/4的度數(shù)，因?yàn)?3、/4不可能分別求出, 故應(yīng)將/ 3+Z 4視為一個(gè)整體進(jìn)行整

9、體求值.解答過(guò)程：因?yàn)锽D和CD分別是/ CBE和/ BCF的角平分線(xiàn)，所以 2/3+ / 1 = 180° , 2/4+/ 2=180° ,又因?yàn)? 1 + Z 2=90° ,所以/ 3+/4=135° .所以/ D= 180° 135° =45° .解題后的思考： 本題還可以應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)來(lái)解答.例 6.如圖所示，/ C= 48° , / E= 25° , / BDF= 140° ,求/ A 與/ EFD的度數(shù).思路分析:題意分析：/BDF是 BCD的外角，也是 DEF的外角，無(wú)論運(yùn)用

10、哪種關(guān)系都可以求解.解題思路：由/ BDF是4BCD的一個(gè)外角，且/ C已知，可求/ CBD的度數(shù).通過(guò)/ CBD是 ABE的外角，可求/ A,通過(guò)/ EFD是 ACF的外角可求/ EFD.解答過(guò)程：因?yàn)? BDF= / C+ / CBD Z C= 48° , / BDF= 140° ,所以/ CBD= 92° ,因?yàn)? CBD= / A+ / E, / E= 25° ,所以/ A= 67° , / EFD= / A+Z C= 115° .解題后的思考：求一個(gè)角的度數(shù)，應(yīng)該首先弄清這個(gè)角在哪個(gè)三角形中，是外角還是內(nèi)角， 跟已知的角有什

11、么聯(lián)系.例7.如圖所示，已知CE是 ABC外角/ ACD的平分線(xiàn)，CE交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.求證: / BAC> / B.思路分析：題意分析：解答涉及角的不等關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要想到利用“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”的性質(zhì).解題思路：要證/ BAO/ B,由于/ BAC / B在同一三角形中，沒(méi)有直接的定理可用，必 須通過(guò)其他的角進(jìn)行轉(zhuǎn)換.解答過(guò)程：在4ACE中，/BAC> / 1 (三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).同理在 BCE中，/ 2>Z B,因?yàn)? 1 = 7 2,所以/ BAC>/ B.解題后的思考：本題中/ 1 = 7 2的作用非

12、常關(guān)鍵，它把/ B和/ 2的不等關(guān)系與/ BAC和/ 1的不等關(guān)系聯(lián)系起來(lái)了.例8. (1)如圖所示，CD是直角三角形斜邊 AB上的高，圖中有與/ A相等的角嗎?為什么?(2)如圖所示，把圖中的CD平移得到ED,圖中還有與/ A相等的角嗎？為什么？(3)如圖所示，把圖中的 CD平移得到ED,交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.圖中還有與/ A 相等的角嗎？為什么？思路分析：題意分析：無(wú)論CD移動(dòng)到什么位置，與 AB的垂直關(guān)系不變.且 ABC各內(nèi)角的度數(shù)、/ BC (E) D的度數(shù)保持不變.解題思路：無(wú)論高CD怎樣移動(dòng)，因?yàn)? ACB= 90° , / BDC (E) = 90° ,所以總有

13、/ A+ ZB=90° , / B+ / BC (E) D=90° ,根據(jù)同角的余角相等，可得/A=/BC (E) D.解答過(guò)程：(1)有/ BCD= /A.理由：因?yàn)? ACB= 90° ,所以/ A+/B=90° .因?yàn)?CD±AB,所以/ BCD+ / B=90° ,所以/ A=Z BCD.(2)有/ A= / BED.理由：因?yàn)? ACB= 90° ,所以/ A+/B=90° .因?yàn)?DEL AB,所以/ BED+ / B= 90° ,所以/ A=/BED.(3)有/ BED= /A.理由：因?yàn)?

14、 ACB= 90° ,所以/ A+/B=90° .因?yàn)?DEL AB,所以/ BED+ / B= 90° ,所以/ A=/BED.解題后的思考：當(dāng)圖形中有線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)時(shí)，要從變化中尋找不變量，這是解答此題的關(guān)鍵.小結(jié)：在有關(guān)三角形角度的計(jì)算中 “外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”這一性質(zhì)經(jīng)常起到橋梁的作用，它把三角形的內(nèi)角和外角聯(lián)系起來(lái)了.提分技巧和三角形有關(guān)的角的度數(shù)問(wèn)題一般有兩類(lèi)：一類(lèi)是求角的度數(shù)， 解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常要綜合運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)等.另一類(lèi)是求證角之間的不等關(guān)系，這一性質(zhì)或解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該依據(jù)“三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰

15、的任何一個(gè)內(nèi)角” 求解.分析解答這兩類(lèi)問(wèn)題的共同之處是要分清已知角或所求角是哪一個(gè)三角形的內(nèi)角, 是哪一個(gè)三角形的外角.同步測(cè)試一、選擇題1 .在 ABC中，/ A=2/B= 80° ,則/ C 的度數(shù)為（）A. 30° B. 40° C. 50°D. 60°2 . 一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角中至多有（）A.一個(gè)銳角B.兩個(gè)銳角C.一個(gè)鈍角D.兩個(gè)直角3 .如圖所示，/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+ / F等于（）A.480°B. 360°C.240°D,180°4 .三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角

16、，這個(gè)三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C鈍角三角形D.不確定5 .如圖所示，已知直線(xiàn) AB/ CD, / C= 115° , / A=25° ,則/ E=（A. 70°B.80°C.90°D.100°6.接CE如圖所示,已知 D是 ABC中BC邊上的一點(diǎn)，連接 AD, E是AD上的任意貝U/ ADB和/ DCE的大小關(guān)系是（點(diǎn)，連A. / ADB= / DCEB. /ADB> /DCEC /ADBV / DCED.大小關(guān)系不確定A*7.如圖所示，/ C= Z ABC= 2/A, BD是AC邊上的高，則/ DBC等于（）A

17、. 36°B. 18°C. 72°D. 28°*8 .如圖所示，在直角ADB中，/ D=90° , C為AD上一點(diǎn)，則 x可能是（）A. 10B. 20°C. 30°D. 40°度.二、填空題9 .如圖所示，li / 12, / a10 .如圖所示，用大于號(hào)表示/A、/ 1、/ 2三者的關(guān)系是A11 .在ABC 中，Z A ： Z B= 2 ： 1 , Z C= 60° ,那么/ A=三角形中至少有一個(gè)角不小于12 .如圖所示，/ 1 + /2+/3+/4 =度.*13*14 .在4ABC中，若/ A-Z

18、 B= 50° ,最小角為 30° ,則最大角為 三、解答題15 .在 ABC 中，Z A+Z B= 100° , Z C= 2/ B.求 /A、/ B、/ C 的度數(shù).16 .如圖所示，/ BAF、/ CBR / ACE是 ABC的三個(gè)外角，試求/ BAF+ / CBA / ACE的度數(shù).*17.如圖所示，P是 ABC中/ B的角平分線(xiàn)與 ABC的外角/ ACE平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則 /A = 2/P,試說(shuō)明理由.18.已知：如圖所示，/ 1是4ABC的一個(gè)外角，E為邊AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng) BC到D,連接DE.試說(shuō)明/ 1>/2的理由.四、拓廣探索19.(1)如圖甲

19、所示，在五角星中，求/ A(2)把圖乙、丙、丁叫做蛻化的五角星形， 之和仍相等嗎？AA一 一CDCD甲乙B+ / B+ / C+ Z D+Z E 的度數(shù).問(wèn)它們的五角之和與五角星形的五角AEBCDCD丙丁試題答案一、選擇題1. D2. C3. B 解析：/ A+/ B+/ C+ / D+/ E+ / F= 180° X 3-180° = 360° .4. C5. C6. B7. B 解析：因?yàn)? A+ / ABC+ / C= 180° ,所以/ A+2/A+2/A= 180° ,解得/ A=36° .所以/ 0= 2/A=72

20、6; .在 BCD中，/ DB0= 180° 90° -Z 0= 18° .8. B 解析：因?yàn)? ACB是ABCD的外角，所以/ ACB= 6x>90° ,即 x>15 .又因?yàn)? ACB是一個(gè)鈍角，所以 6x< 180° ,即x<30° .所以x在15°到30°之間，故選 B.二、填空題9. 3510. / 1 >Z 2>Z A11. 80° 解析：設(shè)/ B = x,貝U/ A= 2x,貝U x+2x+ 60° = 180° ,解得 x=40&#

21、176; ,則 ZA = 2x= 80° .12. 280解析：因?yàn)? 1 + /2 + 40。=180° , / 3+ Z 4+40° =180° ,所以/ 1 + 7 2= 140° , / 3+/ 4=140° ,所以/ 1 + Z 2 + Z 3+Z 4=28013. 60解析：因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)內(nèi)角之和等于180° ,如果三角形的每個(gè)內(nèi)角都小于60° ,則三角形的三個(gè)內(nèi)角之和一定小于180。，這就與定理矛盾了，所以三角形中至少有一個(gè)角不小于60。.14. 80° 或 100°解析：因?yàn)?

22、 A- /B=50。，所以最小角有可能是/B或是/ C.(1)若/ B是最小角，則/ A-30° =50° ,得/ A=80° ,則/ C= 180° 80° 30° =70° ,這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是80°、30°、70° ,則最大角是80。.(2)若/ C是最小角，則/ A+Z B= 180° 30° =150° ,又因?yàn)? A- / B= 50° ,所以/ A=50° +Z B,即 50° +Z B+Z B=150° ,解得/ B=50° ,所以/ A= 100° ,這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是100°、50°、30則最大角是100。.綜上所述，最大角為80?；?00。.三、解答題15. 解：因?yàn)? A+ / B+ / C= 180° , /A+/B=100° ,所以/ C= 180° 100° =80° ,所以 2/ B=80° ,所以/ B=40° ,所以/