動(dòng)態(tài)法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、Word格式完美整理動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? .理解動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的基本原理。2 .掌握動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的基本方法，學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量。3 . 了解壓電陶瓷換能器的功能，熟悉信號(hào)源和示波器的使用。學(xué)會(huì)用示波器觀 察判斷樣品共振的方法。4 .培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)和使用常用實(shí)驗(yàn)儀器的能力。二、實(shí)驗(yàn)原理：在一定條件下，試樣振動(dòng)的固有頻率取決于它的幾何形狀、尺寸、質(zhì)量以及它的楊氏模量。如果在實(shí)驗(yàn)中測(cè)出試樣在不同溫度下的固有頻率，就可以計(jì)算出試樣在不同溫度下的楊氏模量。根據(jù)桿的橫振動(dòng)方程式(1)?y：S ：2yfx4EJ ft2式中P為桿的密度，S為桿的截面積，J = y2dS稱為慣量

2、矩（取決于截面的形狀），E,s即為楊氏模量。如圖1所示，長(zhǎng)度L遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于直徑d （L>>d）的一細(xì)長(zhǎng)棒，作微小橫振動(dòng)（彎曲振動(dòng)）時(shí)滿足圖1細(xì)長(zhǎng)棒的彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程（橫振動(dòng)方程）為a+y=0（1）.X4 EJFt2棒的軸線沿x方向，式中y為棒上距左端x處截面的y方向位移，E為楊氏模量，單位為 Pa N/m2; p為材料密度；S為截面積；J為某一截面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J=Ry2ds。橫振動(dòng)方程的邊界條件為：棒的兩端（x=0、L）是自由端，端點(diǎn)既不受正應(yīng)力也不受切向力。用分離變量法求解方程（1）,令y（x,t） =X（x）T（t）,則有1 d4X:S 1 d2T/c、4- =一 2-（2）X

3、 dx4EJ T dt2由于等式兩邊分別是兩個(gè)變量x和t的函數(shù)，所以只有當(dāng)?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€(gè)常數(shù)時(shí)等式才成立。假設(shè)此常數(shù)為K4,則可得到下列兩個(gè)方程4-K4X=0（3）dx 24 一d2T K4EJ 丁丁 + T =0（4）dt2S如果棒中每點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則上述兩方程的通解分別為(5)(6)X(x) =a1chKx a2shKx a3 cosKx a4 sin Kx T (t) =bcos(，t ：,)于是可以得出y(x,t) =(a1chKx a2shKx a3cosKx a4 sinKx) *bcos(，t n)式中1"k4ej2CO = TJ也式(7)稱為頻率公式，適用于不

4、同邊界條件任意形狀截面的試樣。如果試樣的懸掛點(diǎn)(或 支撐點(diǎn))在試樣的節(jié)點(diǎn)，則根據(jù)邊界條件可以得到cosKL *chKL =1(8)采用數(shù)值解法可以得出本征值q口棒長(zhǎng)L應(yīng)滿足如下關(guān)系KnL=0, 4.730 , 7.853 , 10.996 , 14.137 ,(9)其中第一個(gè)根K)L=0對(duì)應(yīng)試樣靜止?fàn)顟B(tài)；第二個(gè)根記為K1L=4.730 ,所對(duì)應(yīng)的試樣振動(dòng)頻率稱為基振頻率(基頻)或稱固有頻率，此時(shí)的振動(dòng)狀態(tài)如圖2 (a)所示；第三個(gè)根 KL=7.853所對(duì)應(yīng)的振動(dòng)狀態(tài)如圖2 (b)所示，稱為一次諧波。由此可知，試樣在作基頻振動(dòng)時(shí)存在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，它們的位置分別距端面0.224 L和0.776 L。將

5、基頻對(duì)應(yīng)的K1值代入頻率公式，可得到楊氏模量為圖2兩端自由的棒作基頻振動(dòng)波形和一次諧波振動(dòng)波形_3 ' L S 2_2 L m 2E =1.9978 10 2 =7.8870 10 f2JJd 4如果試樣為圓棒(d<<L),則J =,所以式(10)可改寫為64,3lL m ,2E =1.6067-4- fd4(10)(11)同樣，對(duì)于矩形棒試樣則有,3L m 2E矩=6.9464三 f bh3(12)式中n棒的質(zhì)量，f為基頻振動(dòng)的固有頻率，d為圓棒直徑，b和h分別為矩形棒的寬度和高度。如果圓棒試樣不能滿足 d<<L時(shí)，式(11)應(yīng)乘上一個(gè)修正系數(shù) T1,即E =

6、1.6067可產(chǎn)下（13）d4上式中的修正系數(shù) Ti可以根據(jù)徑長(zhǎng)比d/L的泊松比查表1得到。表1徑長(zhǎng)比與修正系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系徑長(zhǎng)比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.10修正系數(shù)T11.0011.0021.0051.0081.0141.0191.0331.055由式（10）（12）可知，對(duì)于圓棒或矩形棒試樣只要測(cè)出固有頻率就可以計(jì)算試樣的動(dòng)態(tài)楊氏模量，所以整個(gè)實(shí)驗(yàn)的主要任務(wù)就是測(cè)量試樣的基頻振動(dòng)的固有頻率。本實(shí)驗(yàn)只能測(cè)出試樣的共振頻率，物體固有頻率f固和共振頻率f共是相關(guān)的兩個(gè)不同概念,者之間的關(guān)系為1，f 固=f 共 1 +2（14）:,4Q2上式中 她試樣的機(jī)械

7、品質(zhì)因數(shù)。 一般Q直遠(yuǎn)大于50,共振頻率和固有頻率相比只偏低 0.005%, 二者相差很小，通常忽略二者的差別，用共振頻率代替固有頻率。動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示。由信號(hào)源1輸出的等幅正弦波信號(hào)加在發(fā)射換能器（激振器）2上，使電信號(hào)變成機(jī)械振動(dòng)，再由試樣一端的懸絲或支撐點(diǎn)將機(jī)械振動(dòng)傳給試樣3,使試樣受迫作橫振動(dòng)，機(jī)械振動(dòng)沿試樣以及另一端的懸絲或支撐點(diǎn)傳送給接收換能器（拾振器）4,這時(shí)機(jī)械振動(dòng)又轉(zhuǎn)變成電信號(hào)，該信號(hào)經(jīng)放大處理后送示波器5顯示。當(dāng)信號(hào)源的頻率不等于試樣的固有頻率時(shí)，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒(méi)有電信號(hào)波形或波形很小，只有試樣發(fā)生共振時(shí)， 示波器上的電信號(hào)突然增大，這時(shí)

8、通過(guò)頻率計(jì)讀出信號(hào)源的頻率即為試樣的共振頻率。測(cè)出共振頻率，由上述相應(yīng)的公式可以計(jì)算出材料的楊氏模量。這一實(shí)驗(yàn)裝置還可以測(cè)量不同溫度下材料的楊氏模量，通過(guò)可控溫加熱爐可以改變?cè)嚇拥臏囟?。僖?hào)發(fā)生器 投能器按能糖 示波器2 .李薩如圖法觀測(cè)共振頻率實(shí)驗(yàn)時(shí)也可采用李薩如圖法測(cè)量共振頻率。激振器和拾振器的信號(hào)分別輸入示波器的X和Y通道，示波器處于觀察李薩如圖形狀態(tài)，從小到大調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器的頻率，直到出現(xiàn)穩(wěn)定的正橢圓時(shí)，即達(dá)到共振狀態(tài)。這是因?yàn)椋?拾振器和激振器的振動(dòng)頻率雖然相同，但是當(dāng)激振器的振動(dòng)頻率不是被測(cè)樣品的固有頻率時(shí)，試樣的振動(dòng)振幅很小， 拾振器的振幅也很小甚至檢測(cè)不到振動(dòng)，在示波器上無(wú)法合

9、成李薩如圖形（正橢圓），只能看到激振器的振動(dòng)波形； 只有當(dāng)激振器的振動(dòng)頻率調(diào)節(jié)到試樣的固有頻率達(dá)到共振時(shí)，拾振器的振幅突然很大，輸入示波器的兩路信號(hào)才能合成李薩如圖形（正橢圓）。3 .外延法精確測(cè)量基頻共振頻率理論上試樣在基頻下共振有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)， 要測(cè)出試樣的基頻共振頻率，只能將試樣懸掛或支撐 在0.224 L和0.776 L的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處。但是，在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處振動(dòng)振幅幾乎為零， 懸掛或支撐在節(jié) 點(diǎn)處的試樣難以被激振和拾振。實(shí)驗(yàn)時(shí)由于懸絲或支撐架對(duì)試樣的阻尼作用，所以檢測(cè)到的共振頻率是隨懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的位置變化而變化的。懸掛點(diǎn)偏離節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)（距離棒的端點(diǎn)越近），可檢測(cè)的共振信號(hào)越強(qiáng)， 但試樣所受到的阻

10、尼作用也越大，離試樣兩端自由這一定解條件的要求相差越大，產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差就越大。由于壓電陶瓷換能器拾取的是懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的加速度共振信號(hào)，而不是振幅共振信號(hào)，因此所檢測(cè)到的共振頻率隨懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的距離增大而變大。為了消除這一系統(tǒng)誤差，測(cè)出試樣的基頻共振頻率，可在節(jié)點(diǎn)兩側(cè)選取不同的點(diǎn)對(duì)稱懸掛或支撐， 用外延測(cè)量法找出節(jié)點(diǎn)處的共振頻率。所謂的外延法，就是所需要的數(shù)據(jù)在測(cè)量數(shù)據(jù)范圍之外， 一般很難直接測(cè)量，采用作圖外推 求值的方法求出所需要的數(shù)據(jù)。 外延法的適用條件是在所研究的范圍內(nèi)沒(méi)有突變，否則不能使用。本實(shí)驗(yàn)中就是以懸掛點(diǎn)或支撐點(diǎn)的位置為橫坐標(biāo)、以相對(duì)應(yīng)的共振頻率為縱坐標(biāo)做出關(guān)系曲線，求出

11、曲線最低點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）所對(duì)應(yīng)的共振頻率即試樣的基頻共振頻率。4 .基頻共振的判斷實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，激發(fā)換能器、接收換能器、懸絲、支架等部件都有自己共振頻率，可能以其本 身的基頻或高次諧波頻率發(fā)生共振。另外，根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理可知，試樣本身也不只在一個(gè)頻率處發(fā)生共振現(xiàn)象，會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)共振峰， 以致在實(shí)驗(yàn)中難以確認(rèn)哪個(gè)是基頻共振峰，但是上述計(jì)算楊氏模量的公式（11）（13）只適用于基頻共振的情況。因此，正確的判斷示波器上 顯示出的共振信號(hào)是否為試樣真正共振信號(hào)并且是否為基頻共振成為關(guān)鍵。對(duì)此，可以采用下述方法來(lái)判斷和解決。（1）實(shí)驗(yàn)前先根據(jù)試樣的材質(zhì)、尺寸、質(zhì)量等參數(shù)通過(guò)理論公式估算出基頻共振頻率的數(shù) 值，在估算

12、頻率附近尋找。（2）換能器或懸絲發(fā)生共振時(shí)可通過(guò)對(duì)上述部件施加負(fù)荷（例如用力夾緊），可使此共振 信號(hào)變化或消失。（3）試樣發(fā)生共振需要一個(gè)孕育過(guò)程，共振峰有一定的寬度，信號(hào)亦較強(qiáng)，切斷信號(hào)源后 信號(hào)亦會(huì)逐漸衰減。因此，發(fā)生共振時(shí)，迅速切斷信號(hào)源，除試樣共振會(huì)逐漸衰減外，其余 假共振會(huì)很快消失。(4)試樣共振時(shí)，可用一小細(xì)桿沿縱向輕碰試樣的不同部位，觀察共振波振幅。波節(jié)處波的振幅不變，波腹處波的振幅減小。波形符合圖2 (a)的規(guī)律即為基頻共振。(5)用聽診器沿試樣縱向移動(dòng)，能明顯聽出波腹處聲大，波節(jié)處聲小，并符合圖2 (a)的規(guī)律。對(duì)一些細(xì)長(zhǎng)棒狀(或片狀)試樣，有時(shí)能直接聽到波腹和波節(jié)。(6)當(dāng)輸入某個(gè)頻率在顯示屏出現(xiàn)共振時(shí)，即使托起試樣，示波器顯示的波形仍然很少變化，說(shuō)明這個(gè)共振頻率不屬于試樣。懸絲共振時(shí)可明顯看見懸絲上形成駐波。(7)試樣振動(dòng)時(shí)，觀察各振動(dòng)波形的幅度，波幅最大的共振是基頻共振；出現(xiàn)幾個(gè)共振頻率時(shí)，基頻共振頻率最低。四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)分析處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：Word格式Word格式完美整理擬合為數(shù)學(xué)圖像為:在X/L=0.224處用內(nèi)插法求出節(jié)點(diǎn)位置的基振頻率f=742hz, f 儀= 1HZ.1Uc( f)=Ub( f) = 3 = 0.577 Hz根據(jù)公式3 L m 2E =1.6067 4 fd49.479E+10 N/M2查表可得，修正系數(shù)為T=1.00