動態(tài)法測楊氏模量實驗報告

1、Word格式完美整理動態(tài)法測量楊氏模量一、 實驗目的1 .理解動態(tài)法測量楊氏模量的基本原理。2 .掌握動態(tài)法測量楊氏模量的基本方法，學會用動態(tài)法測量楊氏模量。3 . 了解壓電陶瓷換能器的功能，熟悉信號源和示波器的使用。學會用示波器觀 察判斷樣品共振的方法。4 .培養(yǎng)綜合運用知識和使用常用實驗儀器的能力。二、實驗原理：在一定條件下，試樣振動的固有頻率取決于它的幾何形狀、尺寸、質(zhì)量以及它的楊氏模量。如果在實驗中測出試樣在不同溫度下的固有頻率，就可以計算出試樣在不同溫度下的楊氏模量。根據(jù)桿的橫振動方程式(1)?y：S ：2yfx4EJ ft2式中P為桿的密度，S為桿的截面積，J = y2dS稱為慣量

2、矩（取決于截面的形狀），E,s即為楊氏模量。如圖1所示，長度L遠遠大于直徑d （L>>d）的一細長棒，作微小橫振動（彎曲振動）時滿足圖1細長棒的彎曲振動的動力學方程（橫振動方程）為a+y=0（1）.X4 EJFt2棒的軸線沿x方向，式中y為棒上距左端x處截面的y方向位移，E為楊氏模量，單位為 Pa N/m2; p為材料密度；S為截面積；J為某一截面的轉(zhuǎn)動慣量，J=Ry2ds。橫振動方程的邊界條件為：棒的兩端（x=0、L）是自由端，端點既不受正應力也不受切向力。用分離變量法求解方程（1）,令y（x,t） =X（x）T（t）,則有1 d4X:S 1 d2T/c、4- =一 2-（2）X

3、 dx4EJ T dt2由于等式兩邊分別是兩個變量x和t的函數(shù)，所以只有當?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€常數(shù)時等式才成立。假設此常數(shù)為K4,則可得到下列兩個方程4-K4X=0（3）dx 24 一d2T K4EJ 丁丁 + T =0（4）dt2S如果棒中每點都作簡諧振動，則上述兩方程的通解分別為(5)(6)X(x) =a1chKx a2shKx a3 cosKx a4 sin Kx T (t) =bcos(，t ：,)于是可以得出y(x,t) =(a1chKx a2shKx a3cosKx a4 sinKx) *bcos(，t n)式中1"k4ej2CO = TJ也式(7)稱為頻率公式，適用于不

4、同邊界條件任意形狀截面的試樣。如果試樣的懸掛點(或 支撐點)在試樣的節(jié)點，則根據(jù)邊界條件可以得到cosKL *chKL =1(8)采用數(shù)值解法可以得出本征值q口棒長L應滿足如下關系KnL=0, 4.730 , 7.853 , 10.996 , 14.137 ,(9)其中第一個根K)L=0對應試樣靜止狀態(tài)；第二個根記為K1L=4.730 ,所對應的試樣振動頻率稱為基振頻率(基頻)或稱固有頻率，此時的振動狀態(tài)如圖2 (a)所示；第三個根 KL=7.853所對應的振動狀態(tài)如圖2 (b)所示，稱為一次諧波。由此可知，試樣在作基頻振動時存在兩個節(jié)點，它們的位置分別距端面0.224 L和0.776 L。將

5、基頻對應的K1值代入頻率公式，可得到楊氏模量為圖2兩端自由的棒作基頻振動波形和一次諧波振動波形_3 ' L S 2_2 L m 2E =1.9978 10 2 =7.8870 10 f2JJd 4如果試樣為圓棒(d<<L),則J =,所以式(10)可改寫為64,3lL m ,2E =1.6067-4- fd4(10)(11)同樣，對于矩形棒試樣則有,3L m 2E矩=6.9464三 f bh3(12)式中n棒的質(zhì)量，f為基頻振動的固有頻率，d為圓棒直徑，b和h分別為矩形棒的寬度和高度。如果圓棒試樣不能滿足 d<<L時，式(11)應乘上一個修正系數(shù) T1,即E =

6、1.6067可產(chǎn)下（13）d4上式中的修正系數(shù) Ti可以根據(jù)徑長比d/L的泊松比查表1得到。表1徑長比與修正系數(shù)的對應關系徑長比d/L0.010.020.030.040.050.060.080.10修正系數(shù)T11.0011.0021.0051.0081.0141.0191.0331.055由式（10）（12）可知，對于圓棒或矩形棒試樣只要測出固有頻率就可以計算試樣的動態(tài)楊氏模量，所以整個實驗的主要任務就是測量試樣的基頻振動的固有頻率。本實驗只能測出試樣的共振頻率，物體固有頻率f固和共振頻率f共是相關的兩個不同概念,者之間的關系為1，f 固=f 共 1 +2（14）:,4Q2上式中 她試樣的機械

7、品質(zhì)因數(shù)。 一般Q直遠大于50,共振頻率和固有頻率相比只偏低 0.005%, 二者相差很小，通常忽略二者的差別，用共振頻率代替固有頻率。動態(tài)法測量楊氏模量的實驗裝置如圖3所示。由信號源1輸出的等幅正弦波信號加在發(fā)射換能器（激振器）2上，使電信號變成機械振動，再由試樣一端的懸絲或支撐點將機械振動傳給試樣3,使試樣受迫作橫振動，機械振動沿試樣以及另一端的懸絲或支撐點傳送給接收換能器（拾振器）4,這時機械振動又轉(zhuǎn)變成電信號，該信號經(jīng)放大處理后送示波器5顯示。當信號源的頻率不等于試樣的固有頻率時，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒有電信號波形或波形很小，只有試樣發(fā)生共振時， 示波器上的電信號突然增大，這時

8、通過頻率計讀出信號源的頻率即為試樣的共振頻率。測出共振頻率，由上述相應的公式可以計算出材料的楊氏模量。這一實驗裝置還可以測量不同溫度下材料的楊氏模量，通過可控溫加熱爐可以改變試樣的溫度。僖號發(fā)生器 投能器按能糖 示波器2 .李薩如圖法觀測共振頻率實驗時也可采用李薩如圖法測量共振頻率。激振器和拾振器的信號分別輸入示波器的X和Y通道，示波器處于觀察李薩如圖形狀態(tài)，從小到大調(diào)節(jié)信號發(fā)生器的頻率，直到出現(xiàn)穩(wěn)定的正橢圓時，即達到共振狀態(tài)。這是因為， 拾振器和激振器的振動頻率雖然相同，但是當激振器的振動頻率不是被測樣品的固有頻率時，試樣的振動振幅很小， 拾振器的振幅也很小甚至檢測不到振動，在示波器上無法合

9、成李薩如圖形（正橢圓），只能看到激振器的振動波形； 只有當激振器的振動頻率調(diào)節(jié)到試樣的固有頻率達到共振時，拾振器的振幅突然很大，輸入示波器的兩路信號才能合成李薩如圖形（正橢圓）。3 .外延法精確測量基頻共振頻率理論上試樣在基頻下共振有兩個節(jié)點， 要測出試樣的基頻共振頻率，只能將試樣懸掛或支撐 在0.224 L和0.776 L的兩個節(jié)點處。但是，在兩個節(jié)點處振動振幅幾乎為零， 懸掛或支撐在節(jié) 點處的試樣難以被激振和拾振。實驗時由于懸絲或支撐架對試樣的阻尼作用，所以檢測到的共振頻率是隨懸掛點或支撐點的位置變化而變化的。懸掛點偏離節(jié)點越遠（距離棒的端點越近），可檢測的共振信號越強， 但試樣所受到的阻

10、尼作用也越大，離試樣兩端自由這一定解條件的要求相差越大，產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差就越大。由于壓電陶瓷換能器拾取的是懸掛點或支撐點的加速度共振信號，而不是振幅共振信號，因此所檢測到的共振頻率隨懸掛點或支撐點到節(jié)點的距離增大而變大。為了消除這一系統(tǒng)誤差，測出試樣的基頻共振頻率，可在節(jié)點兩側選取不同的點對稱懸掛或支撐， 用外延測量法找出節(jié)點處的共振頻率。所謂的外延法，就是所需要的數(shù)據(jù)在測量數(shù)據(jù)范圍之外， 一般很難直接測量，采用作圖外推 求值的方法求出所需要的數(shù)據(jù)。 外延法的適用條件是在所研究的范圍內(nèi)沒有突變，否則不能使用。本實驗中就是以懸掛點或支撐點的位置為橫坐標、以相對應的共振頻率為縱坐標做出關系曲線，求出

11、曲線最低點（即節(jié)點）所對應的共振頻率即試樣的基頻共振頻率。4 .基頻共振的判斷實驗測量中，激發(fā)換能器、接收換能器、懸絲、支架等部件都有自己共振頻率，可能以其本 身的基頻或高次諧波頻率發(fā)生共振。另外，根據(jù)實驗原理可知，試樣本身也不只在一個頻率處發(fā)生共振現(xiàn)象，會出現(xiàn)幾個共振峰， 以致在實驗中難以確認哪個是基頻共振峰，但是上述計算楊氏模量的公式（11）（13）只適用于基頻共振的情況。因此，正確的判斷示波器上 顯示出的共振信號是否為試樣真正共振信號并且是否為基頻共振成為關鍵。對此，可以采用下述方法來判斷和解決。（1）實驗前先根據(jù)試樣的材質(zhì)、尺寸、質(zhì)量等參數(shù)通過理論公式估算出基頻共振頻率的數(shù) 值，在估算

12、頻率附近尋找。（2）換能器或懸絲發(fā)生共振時可通過對上述部件施加負荷（例如用力夾緊），可使此共振 信號變化或消失。（3）試樣發(fā)生共振需要一個孕育過程，共振峰有一定的寬度，信號亦較強，切斷信號源后 信號亦會逐漸衰減。因此，發(fā)生共振時，迅速切斷信號源，除試樣共振會逐漸衰減外，其余 假共振會很快消失。(4)試樣共振時，可用一小細桿沿縱向輕碰試樣的不同部位，觀察共振波振幅。波節(jié)處波的振幅不變，波腹處波的振幅減小。波形符合圖2 (a)的規(guī)律即為基頻共振。(5)用聽診器沿試樣縱向移動，能明顯聽出波腹處聲大，波節(jié)處聲小，并符合圖2 (a)的規(guī)律。對一些細長棒狀(或片狀)試樣，有時能直接聽到波腹和波節(jié)。(6)當輸入某個頻率在顯示屏出現(xiàn)共振時，即使托起試樣，示波器顯示的波形仍然很少變化，說明這個共振頻率不屬于試樣。懸絲共振時可明顯看見懸絲上形成駐波。(7)試樣振動時，觀察各振動波形的幅度，波幅最大的共振是基頻共振；出現(xiàn)幾個共振頻率時，基頻共振頻率最低。四、實驗數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)分析處理實驗數(shù)據(jù)如下：Word格式Word格式完美整理擬合為數(shù)學圖像為:在X/L=0.224處用內(nèi)插法求出節(jié)點位置的基振頻率f=742hz, f 儀= 1HZ.1Uc( f)=Ub( f) = 3 = 0.577 Hz根據(jù)公式3 L m 2E =1.6067 4 fd49.479E+10 N/M2查表可得，修正系數(shù)為T=1.00