2020年北京市高考數(shù)學(xué)(4月份)模擬檢測試卷及答案

1、2020年高考數(shù)學(xué)（4月份）模擬試卷、選擇題1.若復(fù)數(shù)z滿足z= （1-2i） ? i,則復(fù)平面內(nèi)工對應(yīng)的點(diǎn)位于（A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知集合A=x|x2- 5x+4<0, B = x|2x<4,則 AU (?rB)A. (1,2B. 2, 4)C. 1, +oo)D. ( 1 , +oo)3.下列函數(shù)中，在（0, +8）內(nèi)單調(diào)遞增,并且是偶函數(shù)的是（A. y=一 (x1)2B. y= cosx+1C. y=ig|x|+2D. y=2x4.函數(shù)y= 2VxT +1的值域?yàn)椋ˋ. 0, +8)C. 2, +8)D.田)5.在圓 M : x2+y2- 4x - 4y

2、 T = 0 中,過點(diǎn)E （0, 1）的最長弦和最短弦分別為 AC和BD,則四邊形ABCD的面積為（A. 6B. 12C. 24D. 36兀6.將函數(shù)y= sin2x的圖象向左平移 工個(gè)單位長度后得到曲線Ci,再將Ci上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到曲線C2,則C2的解析式為（A. y= sinxB. y= cosxC. y=sin4xD. y= cos4x2的等腰直角三角形，側(cè)視圖7.某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為是邊長為2的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積最大的為（4C. 2/18.已知函數(shù)f （x）=0, x<llnxt工1,若不等式f （x） &

3、|x- k|對任意的xCR恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（A. (-8, 1 B. 1, +8)C. 0, 1)D. (- 1, 09 .已知數(shù)列an是等比數(shù)列，前 n項(xiàng)和為Sn,則“2a3>a1+a5”是“ S2n-1V0”的()A .必要不充分條件B .充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件10 .為了調(diào)節(jié)高三學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，某校高三年級舉行了拔河比賽，在賽前三位老師對前三名進(jìn)行了預(yù)測，于是有了以下對話：老師甲：“ 7班男生比較壯，7班肯定得第一名”.老師乙：“我覺得 14班比15班強(qiáng)，14班名次會比15班靠前”.老師丙：“我覺得 7班能贏15班”.最后老師丁去觀看完了比賽，

4、回來后說：“確實(shí)是這三個(gè)班得了前三名，且無并列，但 是你們?nèi)酥兄挥幸蝗祟A(yù)測準(zhǔn)確”.那么，獲得一、二、三名的班級依次為()A. 7班、14班、15班B, 14班、7班、15班C. 14班、15班、7班D, 15班、14班、7班二.填空題(共5小題)2211 .已知雙曲線C：工亍-b>0)的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)P (2a, b)為某個(gè)等腰a b三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為 .12 .已知向量日=(1, 1),另=(-3, m),若向量 匯-E與向量E共線，則實(shí)數(shù)m =.13 .如果拋物線 y2=2px上一點(diǎn)A (4, m)到準(zhǔn)線的距離是 6,那么m=.14 .在四邊形 ABCD 中，A

5、B = 1,BC = 2,CD=3,AD = 4,且/ABC=120°，貝U AC =, cos/ BCD =.15 .已知定義在 R上的函數(shù)f (x)滿足f (x) = g (x) - g ( - x),且f (x)在R單調(diào)遞 增，對任意的 x1, x2 (0, +oo),恒有 f (xi) ? f (x2)= f (x1+x2),則使不等式 CftVm+y) 2十成立的m取值范圍是 .三.解答題(共6小題)16 .如圖，已知四棱錐 P - ABCD的底面是等腰梯形， AD/BC, AD = 2, BC=4, / ABC = 60。， PAD為等邊三角形，且點(diǎn) P在底面ABCD上的

6、射影為 AD的中點(diǎn)G,點(diǎn)E 在線段BC上，且CE： EB=1： 3.(1)求證：DE，平面PAD .(2)求二面角 A - PC - D的余弦值.17 .已知函數(shù)f (x) =logkx(k為常數(shù)，k>0且kwi).(1)在下列條件中選擇一個(gè) 使數(shù)列an是等比數(shù)列，說明理由；數(shù)列f (an) 是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列；數(shù)列f (an) 是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列；數(shù)列f (an) 是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.2什L(2)在(1)的條件下，當(dāng)k =。歷時(shí)，設(shè)anbn=$,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.4n -118 .某大學(xué)棋藝協(xié)會定期舉辦“以棋會友”的競賽活

7、動(dòng)，分別包括“中國象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國際象棋”四種比賽，每位協(xié)會會員必須參加其中的兩種棋類比賽，且各隊(duì)員之間參加比賽相互獨(dú)立；已知甲同學(xué)必選“中國象棋”，不選“國際象棋”，乙同學(xué)從四種比賽中任選兩種參與.(1)求甲參加圍棋比賽的概率；(2)求甲、乙兩人參與的兩種比賽都不同的概率.19 .已知函數(shù) f (x) = _+a2x+alnx,實(shí)數(shù) a>0.(1)討論函數(shù)f (x)在區(qū)間(0, 10)上的單調(diào)性；(2)若存在x (0, +8),使得關(guān)于 x的不等式f (x) v 2+a2x成立，求實(shí)數(shù)a的取 值范圍.22rz20.橢圓C*三?=1匕>卜>。)的離心率為耳,

8、它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為 a b2:，二(I)求橢圓C的方程：(II )設(shè)P是直線x=a2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為M, N,求證：直線 MN恒過一個(gè)定點(diǎn).21.定義：若數(shù)列an滿足所有的項(xiàng)均由-1, 1構(gòu)成且其中-1有m個(gè)，1有p個(gè)(m+p>3),則稱an為“(m, p)-數(shù)列”.(1) ai, aj, ak (ivjvk)為“(3, 4)-數(shù)列”an中的任意三項(xiàng)，則使得aiajak= 1的取法有多少種？(2) 凱ak (ivjvk)為“(m, p)-數(shù)列” an中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整 數(shù)對(m, p)使得iwmwpwioo,且aiajak

9、=i的概率為77.選擇題(共10小題)1 .若復(fù)數(shù)z滿足z= (1-2i) ? i,則復(fù)平面內(nèi)七對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解：z= ( 1 2i) ? i=2+i,E= 2- i在復(fù)平面內(nèi)所又應(yīng)的點(diǎn)(2, - 1)位于第四象限.故選：D.2 .已知集合 A=x|x2-5x+4<0, B = x|2xv4,則 AU (?rB)=()A. (1,2B. 2, 4)C. 1 , +8)D. (1, +8)【分析】根據(jù)題意，求出集合A、B,進(jìn)而由集合的運(yùn)算分析可得答案.解：根據(jù)題意，集合 A=x|x2-5x+4<0= (1,4), B = x|2x&l

10、t;4=(-巴 2),則？rB=2, +oo),貝U AU (?rB) = ( 1, +oo)； 故選：D.3 .下列函數(shù)中，在(0, +8)內(nèi)單調(diào)遞增，并且是偶函數(shù)的是()A .y= ( x1)2 B.y= cosx+1C.y=lg|x|+2 D.y=2x【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)分別進(jìn)行判定即可.解：A. y= - (x-1) 2的對稱軸為x=1,為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.B. y= cosx+1是偶函數(shù)，但在(0, +8)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，不滿足條件.C. y= lg|x|+2為偶函數(shù)，在(0, +8)內(nèi)單調(diào)遞增，滿足條件，D. y=2x, (0, +8)內(nèi)單調(diào)遞增，為非奇非偶

11、函數(shù)，不滿足條件.故選：C.4 .函數(shù)y= 2-1 +1的值域?yàn)?)A, 0, +8)B, 1 , +8)C, 2, +8)D.啊，”)【分析】由二結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.解：貝U y= 2Vx-l+1 > 2.，函數(shù)y= 231T+1的值域?yàn)?, +8）.故選：C.5 .在圓M： x2+y2-4x-4y-1 = 0中，過點(diǎn)E （0, 1）的最長弦和最短弦分別為 AC和BD ,則四邊形ABCD的面積為（）A. 6B. 12C. 24D. 36【分析】根據(jù)題意，把圓 M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分析其圓心坐標(biāo)與圓的半徑，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得 AC、BD的值，進(jìn)而分析可得答案.解：根據(jù)題意

12、，圓 M: x2+y2- 4x- 4y- 1=0 即（x 2） 2+ （y 2） 2= 9,其圓心為（2,2）,半徑 r=3,過點(diǎn)E （0, 1）的最長弦 AC為圓M的直徑，則|AC|=6,最短的弦為過 E與直徑AC垂直的弦，且|ME |=收A。）2十（2-1 ） 2則有 |BD| = 2X“-| J,又由AC ± BD ,則四邊形 ABCD 的面積 S= 2XSaabc = 2X （二xACxBE） =12;故選：B.兀6 .將函數(shù)y= sin2x的圖象向左平移 二口個(gè)單位長度后得到曲線 C,再將C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到曲線C2,則C2的解析式為（）A. y=sin

13、xB. y= cosxC. y= sin4xD. y=cos4x【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換進(jìn)行求解即可.解：將函數(shù) y=sin2x的圖象向左平移一個(gè)單位長度后彳#到曲線C1，Ci的解析式為一，己了."、c=cos2x,再將Ci上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到曲線C2 , C2的解析式為K故選：B.7 .某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積最大的為（4C. 26fD. 2/ei【分析】由三視圖知該幾何體為棱錐,其中SC，平面 ABCD ;四面體 S- ABD的四個(gè)面中SBD面的面積最大，三角形

14、 SBD是邊長為2V尺的等邊三角形，即可求出四面體的四個(gè)面中面積最大的面積.解：由三視圖知該幾何體為棱錐 S-ABD ,其中SC,平面ABCD；四面體S-ABD的四所以此四面體的四個(gè)面中面積最大的為2於的等邊三角形,故選：C.8.已知函數(shù)f (x)= 'Q x<l1nstf (x) & |x- k|對任意的xCR恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(A. (-OO,1B. 1, +8)C. 0, 1)D. ( 1, 0【分析】作出y=f (x)的圖象，由題意可得y=f (x)的圖象不在y=|x-k|的圖象的上方，討論k<0, k>0,結(jié)合平移和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，計(jì)算可得

15、所求范圍.解：作出函數(shù)f (x)Q X<1Inx >的圖象,由不等式f (x) w|x-k|對任意的xCR恒成立，可得y=f (x)的圖象不在y=|x-k|的圖象的上方,且y= |x - k|的圖象關(guān)于直線 x=k對稱，當(dāng)k< 0時(shí)，滿足題意;當(dāng)y=|x-k|的圖象與y= f (x)的圖象相切，即有 y=x-k為切線，設(shè)切點(diǎn)為(m, n),可得切線的斜率為=1,則 m = 1, n = lnm = 0, k=1,則0vkw 1時(shí)，也滿足題意.綜上可得，k的范圍是(-00,1.故選：A.9.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，前 n項(xiàng)和為Sn,則“2a3>ai+a5”是“ S2n-1

16、<0”的()A .必要不充分條件B .充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q (qw0),由2a3>a+a5,得aK 0, qw± 1,得a 1-產(chǎn)I工i l 7<0,充分性成立；舉例說明必要性不成立.2kl1 一。解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q (qw0),一 N ,4由 2a3>a1+a5,得 2a q >軟+白9 ,若 a1>0,則 q4-2q2+1<0,即(q2- 1) 2< 0,此式不成立;若 aK0,則 q4- 2q2+1 >0,即(q2- 1)2>0,則 q w

17、77; 1,此時(shí) £r-i 2n-l 力口-q1-Q< 0,充分性成立；反之，an= - 1,滿足S2n k 0,此時(shí)2a3=a+a5,必要性不成立.2a3>ai+a5”是“S2n-1<0"的充分不必要條件.故選：B.10.為了調(diào)節(jié)高三學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，某校高三年級舉行了拔河比賽，在賽前三位老師對前三名進(jìn)行了預(yù)測，于是有了以下對話：老師甲：“ 7班男生比較壯，7班肯定得第一名”.老師乙：“我覺得 14班比15班強(qiáng)，14班名次會比15班靠前”.老師丙：“我覺得 7班能贏15班”.最后老師丁去觀看完了比賽，回來后說：“確實(shí)是這三個(gè)班得了前三名，且無并列，但是你們?nèi)?/p>

18、人中只有一人預(yù)測準(zhǔn)確”.那么，獲得一、二、三名的班級依次為（）A. 7班、14班、15班B, 14班、7班、15班C. 14班、15班、7班D. 15班、14班、7班【分析】分別假設(shè)甲、乙、丙預(yù)測準(zhǔn)確，分析三個(gè)人的預(yù)測結(jié)果，由此能求出一、二、三名的班級.解：假設(shè)甲預(yù)測準(zhǔn)確，則乙和丙都預(yù)測錯(cuò)誤，.14班名次比15班靠后，7班沒能贏15班，故甲預(yù)測錯(cuò)誤；假設(shè)乙預(yù)測準(zhǔn)確，則甲和乙都預(yù)測錯(cuò)誤，7班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班沒能贏15班，則獲得一、二、三名的班級依次為14班，15班，7班；假設(shè)丙預(yù)測準(zhǔn)確，則甲和乙都預(yù)測錯(cuò)誤，7班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能贏15班，不合題意.

19、綜上，得一、二、三名的班級依次為14班，15班，7班.故選：C.二.填空題（共5小題）2211.已知雙曲線c；與廠%的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn) p（2a, b）為某個(gè)等腰 a b三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線c的離心率為生ga .2 【分析】由題意可得 P在y軸右側(cè)，所以可得等腰三角形的兩邊，由兩點(diǎn)間的距離公式及a, c, b之間的關(guān)系，及離心率的范圍求出雙曲線的離心率.解：由題意可得左右焦點(diǎn)分別為：F1 （ - c, 0） , F2 （c, 0）,因?yàn)镻在y軸的右側(cè)，所以相等的兩邊為 PFi=FiF2或PF2=FiF2由題意可得：(2a+c) 2+b2= 4c2 整理可得：2c2-4ac-3a2= 0,即

20、 2e2- 4e= 3=0, e> 1, 解得 e=JbtM,或(2a-c) 2+b2=4c2可得：2e2+4e- 3=0, e> 1,解得 e= 'vl,不符合雙曲線2的條件；綜上所述，離心率 e=23叵，2故答案為：生叵.212.已知向量；=(1,1), bi= (-3, m),若向量 W-吊與向量三共線，則實(shí)數(shù)m =一二3 .【分析】先求出向量 2m-吊的坐標(biāo)(5, 2-m),這樣根據(jù)向量平行時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系即可 建立關(guān)于m的方程，解出m.解：因?yàn)橄蛄?1, 1) , b= (3, m),所以向量2且-匕=(5, 2- m);2E與向量E共線； .5m- (2 - m)

21、X (- 3) =0?m= - 3；故答案為：-3.13 .如果拋物線y2=2px上一點(diǎn)A (4, m)到準(zhǔn)線的距離是 6,那么m=_士文歷【分析】首先求出拋物線 y2=2px的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)M (4, m)到準(zhǔn)線的距離為6,列出4+-= 6,直接求出結(jié)果.解：拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-, ri-a由題意得4+J-。，解得p=4.丁點(diǎn)A (4, m)在拋物線 y2=2px上，m2=2x4x4,土如反，故答案為：士 4叵，.14 .在四邊形 ABCD 中，AB = 1, BC = 2, CD=3, AD = 4,且/ ABC =120° ,則 AC =V 7 , cos

22、/ BCD =-"三.-14 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用余弦定理求出AC的值，再利用勾股定理的逆定理判斷/ACD=90° ,由正弦定理和誘導(dǎo)公式求出 cos/BCD的值.解：如圖所示，ABsin / ACB =lXsiTL1200Vs V2114，cos/ BCD = cos(/ACB+90° ) = - sin Z ACB =-V2114 .故答案為：樂,叵1415.已知定義在 R上的函數(shù)f (x)滿足f (x) =g (x)-g( - x)，且f(x)在R單調(diào)遞增，對任意的 Xi, x2C (0, +8),恒有 f(xi) ?f (x2)= f (x1+x

23、2),則使不等式f (Vm+r) 2十f成立的m取值范圍是0, 9)四邊形 ABCD 中，AB = 1, BC = 2, CD = 3, AD = 4,且/ ABC = 120° ,貝U AC2= 12+22-2X 1X 2X cos120° =7,所以ac = 77；又 AC2+CD2=7+9=16=AD2,所以/ ACD = 90° ;AC【分析】由于定義在 R上的函數(shù)f (x) = g (x) - g ( - x),所以f ( - x) = g ( - x)-g (x) = - f (x),由此得出函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，且在 R上遞增；對任意的Xi, X2

24、C (0, +8),恒有 f(X1)? f(X2)= f(X1+X2),則f (Vir+y) 2=f (垢+1)；使 不等式 任(春耳)2r (2-?？梢赞D(zhuǎn)化為一個(gè)無理不等式，解不等式即可求出滿 足條件白實(shí)數(shù) m的取值范圍.解：由于定義在 R上的函數(shù)f (x) = g (x) - g (-x),所以f (- x) = g ( - x) - g (x) = - f (x),所以函數(shù)f (x)為奇函數(shù);,對任意的 X1, X2C (0, +8)，恒有 f (X1)? f (X2)= f(X1 + X2),則f (詆+)2=f (2«+1)；不等式fMn吊)心+f氏-胴)0?不等式f (2

25、冏+1) >f (m-2),f (x)在 R 單調(diào)遞增，2+1>m-2;m-2/- 3<0;解得0w m v 9;故答案為：0, 9).三.解答題(共6小題)16.如圖，已知四棱錐 P-ABCD的底面是等腰梯形，AD/BC, AD = 2, BC=4, / ABC= 60° , PAD為等邊三角形，且點(diǎn) P在底面ABCD上的射影為 AD的中點(diǎn)G,點(diǎn)E 在線段BC上，且CE： EB=1： 3.(1)求證：DE,平面PAD.(2)求二面角 A- PC - D的余弦值.【分析】(1)點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為 AD的中點(diǎn)G,連接PG,通過證明PG ±DE.然后

26、證明 DE,平面PAD；(2)取BC的中點(diǎn)F,連接GF,以G為原點(diǎn)，GA所在直線為x軸，GF所在直線為y 軸，GP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 APC的法向量，平面 DPC的 法向量，平面 APC與平面DPC的夾角為。，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.【解答】(1)證明：等腰梯形 ABCD中，二點(diǎn)E在線段BC上，且CE: EB = 1: 3,點(diǎn)E為BC上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn)由平面幾何知識可得 DELAD點(diǎn)P在底面ABCD上的射影為 AD的中點(diǎn)G,連接PG, .PG,平面 ABCD . . DE?平面 ABCD , /. PGXDE.又 ADAPG = G, AD?平面 PAD, P

27、G?平面 PAD. /. DE,平面 PAD；(2)解：取BC的中點(diǎn)F,連接GF,以G為原點(diǎn)，GA所在直線為x軸，GF所在直線為y軸，GP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由(1)易知，DECB, CE=1.又/ ABC = / DCB = 60° , DE=GF=V3 . AD = 2, PAD 為等邊三角形，. 則 G (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , D (-1, 0, 0)，P(Q, Q, V5), C"2, Vs，0).菽二(T,也，0), AP=(-h 0,正)，前=QK *，0)，幣El, 0,設(shè)平面APC的法向量為ir=(X1, y

28、1, z1),則1.I m,AP = 0-3町班¥。71+Vl 二。令勺二的，則 yi= 3, zi=i, .%=(«,& D .設(shè)平面DPC的法向量為蛇=(X2, y2, z2),n*DC二0< _1P ,m+DP=0令克廣迎，則 y2= 1, z2= - 1,l -1).設(shè)平面APC與平面 DPC的夾角為0,則=ImHInl VlsWb13面角A - PC - D的余弦值為 史坦.1317 .已知函數(shù)f (x) =logkx(k為常數(shù)，k>0且kw1).(1)在下列條件中選擇一個(gè) 使數(shù)列an是等比數(shù)列，說明理由；數(shù)列f (an) 是首項(xiàng)為2,公比為2

29、的等比數(shù)列；數(shù)列f (an) 是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列；數(shù)列f (an) 是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.2 r±L(2)在(1)的條件下，當(dāng) k = J工時(shí)，設(shè)anbn=-2,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.4n -1【分析】(1)選，由f(X)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an,進(jìn)而得到bn =4產(chǎn)-1口-1) (2n+l)=T2rLi2n+l),由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得所求和.解：(1) 不能使數(shù)列an是等比數(shù)列，可以.由題息 f (an) =4+2 (n 1) = 2n+2,即 logkan = 2n+

30、2,可得 an=k2n+2,且 a1=k4w。,k2,由常數(shù)k>0且kwl,可得k2為非零常數(shù),則an是k4為首項(xiàng)、k2為公比的等比數(shù)列;(2)由(1)可得 an=k4?(k2) nF=k2n+2前n項(xiàng)和Tn=y (1 -，可得當(dāng) k = N,巧時(shí),an=2n+1, anbn =2414n“ -1bn =4n2-! = C2n-1) t2n+l) =2,2n-l石+亨五+d -118 .某大學(xué)棋藝協(xié)會定期舉辦“以棋會友”的競賽活動(dòng)，分別包括“中國象棋”、“圍棋”“五子棋”、“國際象棋”四種比賽，每位協(xié)會會員必須參加其中的兩種棋類比賽，且各隊(duì)員之間參加比賽相互獨(dú)立；已知甲同學(xué)必選“中國象棋

31、”，不選“國際象棋”，乙同學(xué)從四種比賽中任選兩種參與.(1)求甲參加圍棋比賽的概率;(2)求甲、乙兩人參與的兩種比賽都不同的概率.【分析】(1)依題意，甲同學(xué)必選“中國象棋”，不選“國際象棋”，由此能求出甲參賽的概率.1, 2, 3, 4,利(2)記“中國象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國際象棋”分別為用列舉法能求出甲、乙兩人參與的兩種比賽都不同的概率.解：(1)依題意，甲同學(xué)必選“中國象棋”，不選“國際象棋”，故甲參加圍棋比賽的概率為 一.(2)記“中國象棋”、“圍棋”、“五子棋”、“國際象棋”分別為1, 2, 3, 4,則所有的可能為:(1, 2, 1, 2) , (1,2, 1, 3)

32、, ( 1, 2,1, 4) , (1, 2, 2,3) , (1, 2, 2, 4),(1, 2, 3, 4) , (1, 3, 1, 2) , (1, 3, 1, 3) , (1, 3, 1, 4) , (1, 3, 2, 3),(1,3, 2, 4) , (1,3, 3, 4),其中滿足條件的有(1, 2, 3, 4) , ( 1, 3, 2, 4)兩種，一，一 P II故所求概率 p=-7T=-=-.12 619 .已知函數(shù) f (x) = +a2x+alnx,實(shí)數(shù) a>0.(1)討論函數(shù)f (x)在區(qū)間(0, 10)上的單調(diào)性；(2)若存在x (0, +8),使得關(guān)于 x的不等

33、式f (x) v 2+a2x成立，求實(shí)數(shù) a的取 值范圍.22【分析】(1) f tx)7+a L=n,令 f (x) =0,可得 x=一，fRV之"A.分當(dāng)且彳時(shí)，.當(dāng)0<C aCjr時(shí)，討論.(2) ?存在xC (0, +8),使得不等式 上-十式門及一2<。成立，2令式由=上十式門工-2, ( x>0),乂o利用導(dǎo)數(shù)可得g (x) min =屋旦)=演十式1門2T 口&)-£,只需a+aln2 alna-2<0即可.a令h ( x) = x+xln 2 - xlnx - 2 利用導(dǎo)數(shù)求解.刎 / F22 a a2z2-+aK-2 aLQ

34、.ax-L解：(1)f a六一一了十旦 (-=2M冗J2X,12 人'令 f ( x) =0,可得 x=一, x =(舍).a 9當(dāng)乳時(shí)，二<10.1U 軟函數(shù)f (x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞減，在區(qū)間( ,10)上的單調(diào)遞增; aa當(dāng)。式a工焉時(shí),函數(shù)f (x)在區(qū)間(0, 10)上單調(diào)遞減.(2)存在xC (0, +8),使得不等式 f (x) v 2+a2x成立？存在xC (0, +°°),使得不等式+alnx-2<。成立,a>0, g'(x) >0? x>32(x) v 0? 0<x<一 , a.,9 9

35、g (x)在(0,-)遞減，在(,+°°)遞增，aa1- g (x) min = g C-) =a+a (ln2_ln a.),依題意只需a+aln 2 - alna - 2V 0即可.令 h (x) = x+xln 2 - xlnx - 2, h' (x) = 1 + ln2 - Inx - 1 = ln2 - Inx = 0,可得 x=2.h (x)在(0, 2)遞增，在(2, +8)遞減，且 h (2) =0.實(shí)數(shù)a的取值范圍(0, 2) U (2, +8).22rz20.橢圓C;三十彳=1(d1?>0)的離心率為浮，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為 a

36、b22返(I)求橢圓C的方程：(II )設(shè)P是直線x=a2上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓x2+y2=a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,求證：直線 MN恒過一個(gè)定點(diǎn).【分析】(I)根據(jù)橢圓的離心率公式，及2b=2&,即可求得a和b的值，求得橢圓方程；(II)方法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率公式，化簡，求得直線MN的方程，即可求證直線MN恒過一個(gè)定點(diǎn)；方法二：根據(jù)圓的性質(zhì)，求得 MN所在的圓的方程，與 x2+y2=2聯(lián)立，化簡，求得直線直線MN的方程，同理可得直線 MN恒過一個(gè)定點(diǎn)；方法三：根據(jù)圓的極點(diǎn)與極線，求得直線MN的方程，因此可以證明直線MN恒過一個(gè)定點(diǎn).(1yX2aX2b=2V?解：(

37、I)由題意可知，工_變,解得&b=c= 1,/ 2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 -4y2=l；(II)證明：方法一：設(shè)點(diǎn) P (2, yO) , M (xi, yi) , N (x2, y2)9292其中 4+71 = 2,右十由 PMOM, PNXON,"?=T ，:粵， 即 Ki+yi_2Ki-/iyo=O! X 1AnX >2.2門z七i+冷-20-y0,注意到君+¥：=2，芯介4=2,于是,2 2x1 yiyo= 0, 2 2x2y2y0= 0,所以，M , N 滿足 2 - 2x - yyo= 0,由y。的任意性可知，x=1, y=0,即直線 MN恒過一個(gè)定點(diǎn)

38、(1,0).方法二：設(shè)點(diǎn)P (2, y°),過點(diǎn)P且與圓x2+y2= 2相切的直線PM , PN ,切點(diǎn)分別為M ,N,由圓的知識可知，M, N是圓以O(shè)P為直徑的圓(工7 ) 口H-得)力1+(稱)和圓x2+y2=2的兩個(gè)交點(diǎn),消去二次項(xiàng)得直線MN方程為2 - 2x - VV0= 0,由y。的任意性可知，x=1, y=0,即直線 MN恒過一個(gè)定點(diǎn)(1,0).方法三：由圓的極點(diǎn)極線可知，已知 M (x°, y°)為圓C： (x-a) 2+ (y-b) 2=R2外由點(diǎn) M引圓C的兩條切線 MA, MB,其中 A, B為切點(diǎn)，則直線 AB的方程為 G0-a)+ 0-b) (y-b)=R2 ,特殊地，知 M (x°, y°)為圓C： x2+y2=R2外一點(diǎn)，由點(diǎn) M引圓C的兩條切線 MA,2MB,其中A, B為切點(diǎn)，則直線 AB的方程為xx0+yy0 = R .設(shè)點(diǎn)P (2, y°),由極點(diǎn)與極線可知，直線 MN的方程2x+yy0=2,即2x+yy0 - 2= 0, 由y0的任意性可知，x=1, y=0,即直線 MN恒過一個(gè)定點(diǎn)(1,0).所以直線MN恒過一個(gè)定點(diǎn)(1,0).21.定義：若數(shù)列an滿足所有的項(xiàng)均由-1, 1構(gòu)成且其中-1有m個(gè)，1有p個(gè)(m+p>3),則稱an為“(m, p)-數(shù)列”.(1)