利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題

1、實用標準文檔利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值 基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系函數(shù)的單調(diào)性求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法1) 確定函數(shù)的f(x)的定義區(qū)間;2) 求f'(x)，令f'(x)0 ,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根;3) 把函數(shù)f(x)的無定義點的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f (x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間;文案大全4) 確定f'(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，由f'(X)的符號判定函數(shù)f x在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個基本步驟1)求導(dǎo)數(shù)f '(x)；2)求方程f'(x)0的所有實數(shù)根

2、;3)檢驗f'(x)在方程f'(x)0的根左右的符號，如果是左正右負(左負右正) ，則f(x)在這個根處取得極大(小)值求函數(shù)最值1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;2)將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a), f (b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1)利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于(或小于)0時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或 遞減).因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的.即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性.

3、具體有如下幾種形式:直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增(減)區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大(小)，來證明不等式成立.把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值(或值域)后，再證明不等式導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu) 造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都成立，可得 該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題解題方法總結(jié)和題型歸類利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)的恒成立問題 1) 其中關(guān)鍵是根據(jù)題目找到給定區(qū)間上恒

4、成立的不等式，轉(zhuǎn)化成最值問題。2) 首先找不等式。一般來說，有以下五類題型: 在某個區(qū)間上“單調(diào)遞增減”：表明f(x) 0 ( f(x) 0 )恒成立;“無極值點”，表明f(X)0恒成立或f(X)0恒成立;“曲線y f(x)在曲線y g(x)上方(下方)”表明 f(x) g(x) 0( f(x) g(x) 0)恒成立;“無零點”：表明f(x) 0恒成立或f(x) 0恒成立;標志詞：“任意”,“所有”,“均有”,“恒成立”等等，此時題干已給出不等式例1 :設(shè)函數(shù)f(x) = ax3 3x + 1 ( xC R)，若對于任意x 1,1，都有f(x) >0成立,則實數(shù)a的值為?【解析】若x =

5、 0，則不論a取何值，f(x) >0顯然成立;當 x>0,即卩 x (0,1時，f (x) = ax3 3x+ 1>0 可化為 a>4-4.設(shè) g(x) = Ap.則 g(x)= 31-2x所以g(x)在區(qū)間0, 2上單調(diào)遞增，在區(qū)間1, 1上單調(diào)遞減，因此g(x)max= g 2 =4,從而a>4.31當x<0,即x 1,0)時，同理aw一rg(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增, g(x)min= g( 1) = 4，從而 aw 4,綜上可知a= 4.【點評】首選考慮參量分離。得到a F(x)或a F(x),然后求F(x)的最值【答案】a= 4.【難度】*【題

6、】設(shè)函數(shù)f (x) = (x a)21nx , a R(I)若x = e為y f (x)的極值點，求實數(shù) a ;(n)求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x (0,3 e，恒有f(x) w4e2成立.注：e為自然對數(shù)的底數(shù).【難度】*例2：已知a R,函數(shù)f(x) = ( x2 + ax)ex ( x R, e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當a= 2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.【解析】(1)當 a= 2 時，f(x) = ( x2 + 2x)ex,所以 f (X)= ( 2x+ 2)ex + ( x2 + 2x)ex2x=(x + 2

7、)e .令 f (x)>0，即(一x2 + 2)e x>0，因為 ex>0, '八，、，-.-、x所以x2 + 2>0,解得Q2<x<72.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是2，舊. 因為函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增， 所以f (X)>0對x ( 1,1)都成立.因為 f (X)= ( 2x+ a)ex + ( X2+ ax)ex2x=X + (a2) x+ ae ,所以X + (a 2) X + ae0 對 x ( 1,1)都成立.因為 e >0,所以一X + (a 2)x + a>0 對 x ( 1,1)都成立,2 2X

8、十 OxX 十 1 11即a-=一十丄一1 = (X十1)-二對x ( 1,1)都成立.x+ 1X 十 1X 十 1令 y= (X十 1) X十貝y y'= 1十一 >0.''> X十 1'x+1所以y= (x+ 1) 在(1,1)上單調(diào)遞增,X十I所以y<(1 十 1) 2，即 a>|.因此3a的取值范圍為a>【點評】數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增（減）時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上大 （?。┯诨蛘叩扔诹愫愠闪?，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決.在形式上的二次函數(shù)問題中，極易忘卻的就是二次項系數(shù)可能等于零的情況,這樣的問題在導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇

9、到的，值得特別注意.【答案】a的取值范圍為【難度】*例3：已知函數(shù)f （X2 alnx 2 (a 0).X（I）若曲線f（X）在點P（1, f（1）處的切線與直線 yX 2垂直,求函數(shù)f（X）的單調(diào)區(qū)間;（n）若對于（0,）都有f （X 2（a1）成立，試求a的取值范圍;【解析】（I）直線y2的斜率為1.函數(shù)f（X）的定義域為（0,因為所以f (X)牛X2f(X) In X 2. f (x)X2所以f (1) 纟2X，121X 22 .X1，所以(X)0 解得 X 2 ;（X）0解得0 X所以f（X）的單調(diào)增區(qū)間是(2,）,單調(diào)減區(qū)間是(0,2).(II)f (X)電旦X Xax2X22 ,由

10、f（X）0解得X2-;由f（X）0解得a2所以f （X）在區(qū)間（2,a '2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0, ）上單調(diào)遞減.a實用標準文檔所以當2x 2時，函數(shù)f(x)取得最小值,aymin2f F).因為對于ax (0,)都有f(x)2(a 1)成立,f(|) 2(a1)即可.則Ia22(a1).由aln? a解得 a20 a-e所以a的取值范圍是(0，-).e【點評】此題直接求最值。此時不等式一般形如f (x) A 或 f (x)A，直接求f (x)1)文案大全的最值?！敬鸢浮縜的取值范圍是(0,-)e【難度】*例4：已知函數(shù)f(X)ln(1x) mx.(I )當m 1時，求函數(shù) f(x

11、)的單調(diào)遞減區(qū)間;(II )求函數(shù)f(x)的極值；(HI )若函數(shù)f (x)在區(qū)間0,e2 1上恰有兩個零點,求m的取值范圍.【解析】(I)依題意，函數(shù)f (x)的定義域為 1,當 m 1 時，f (x)ln(1 x) x ,1f (x)宀 11 x0，即01 x1由 f (X) 0 得11 x解得x 0或x 1,又 Q x 1 , x 0f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,(II ) f (x)1-m , (xx(1) m 0 時,f (x)0恒成立f(x)在(1,)上單調(diào)遞增，無極值.實用標準文檔文案大全所以從而(III )m 0時,f(X)在由于丄11m111,-1上單調(diào)遞增，在1'

12、mm1f ( 1) m In m 1 -m由(II )問顯然可知，f(X)極大值1,上單調(diào)遞減,0時，f (x)在區(qū)間0,e21上為增函數(shù),在區(qū)間0,e21不可能恰有兩個零點.10分當m 0時，由(II )問知f(x)極大值=f(1m1)，又 f (0)0 ,0為f(X)的一個零點.11分若f(x)在0,e恰有兩個零點，只需f(e2 1)0丄1me21【點評】22 m(e丄2 e1)2 m 1 e2113分首先考慮參量分離。得到a F (x)或 aF(x)，然后求F(x)的直接求最值。此時不等式一般形如f(x) A或f(x) A，直接求f (x)的最值。【難度】*例5：已知函數(shù)f (x) ln

13、 x ax 匕二 1 . x(I)當 0 a一時，討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性;2(n)設(shè) g(x)x2 2bx 4，當a -時，若對任意x (0,2) , f(x) g(x)恒成立,4求實數(shù)b的取值范圍.2了的疋、/T、上/、11 a ax X (1 a)【解析】：(I) f(X) a 2XXax (1 a)(x 1)(X0)令 f/(x)0Xi1 a ,X2a12 時，f(X)1 1a 一時，一2 ,f (X)在(0,)上單減(n)當 aa在(0,1)和(，a在(1,J)上，fa1,1a時，3, f(x)4 a)上，有(X)0 ,f(X)0，函數(shù)f(X)單減,函數(shù)f(X)單增1In X -X

14、42 14x由(I)知，函數(shù) f(X)在(0,1)上是單減，在(1,2)上單增1所以函數(shù)f (X)在(0,2)的最小值為f(1)12若對任意X1 (0, 2)，當X2 1,2時，f (X) g(X)恒成立,只需當X 1,2時,gmax(X)g(1)所以g(2)121211分11411所以實數(shù)b的取值范圍是,).4代入解得13分【點評】注意如果條件改為“f(x1) g(X2)”恒成立，怎么樣解答，還可以移項構(gòu)造新函數(shù)嗎?【答案】11b的取值范圍是,)4【難度】例6：設(shè)(I)求I的方程;(II)證明：除切點(1 , 0)之外，曲線C在直線I的下方【解析】(I)設(shè) f x巴，則f'xX1 I

15、n X2Xl為曲線C： y 在點(1 , 0)處的切線. X所以f' 11 .所以L的方程為(n)令1 f X，則除切點之外，曲線 C在直線L的下方等價于x >00, x 1 .x滿足1 =0，且當0 < x < 1時,當X > 1時，X2X21 In XX =2X2X 1<0,1 nx<0,所以g X <0,故g X單調(diào)遞減;1>0,lnx>0,所以g x >0,故g x單調(diào)遞減.所以g x > g 1=0 X 0, X 1 .所以除切點之外,曲線 C在直線L的下方.【點評】構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化直接求最值。此時不等式一般形如

16、f(x) A或f(x) A ,直接求f (x)的最值?！敬鸢浮?I)【難度】*【題】已知函數(shù)f(x)2ax (a 2)x ln x . (I)當 a=1 時，求曲線 y=f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程;(n)當a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , e上的最小值為-2，求a的取值范圍;(川)若對任意X1,X2 (0,), X1 X2，且 f(X1)+2x,f(X2 )+2x2恒成立，求 a 的取值范圍.：【難度】*【題】己知函數(shù)f(X)x3 2a X2 (a 1)x 5是R上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的3取值范圍.【難度】*【題】已知函數(shù) f(x)1 2 2-X2ex 3e In x b在(x。,。)處的切