完整版用假設法解決問題一

1、用假設法解決問題一河北省平鄉(xiāng)縣大劉莊小學 李明亮先舉一個簡單的例子：甲班有學生 45人,乙班比甲班多3人.兩班共有學生多少解此題的一般方法是,先求出乙班人數(shù),再求學生總數(shù).如果列式為 45X2+3就 是用了假設法一一假設乙班也是 45人,那么兩班共有45X2=90人.但乙班實際人數(shù) 比45人多3人,所以兩班的實際總人數(shù)比 90人多3人.有些數(shù)學題的數(shù)量關系不明顯,不容易找到解題的方法.如果我們做一些適當、合理的假設,就有可能使數(shù)量關系明顯,從而找到解題的方法.這種解題方法叫做假設法.假設的方法有多種,要靈活運用.一、把“缺少的條件假設為例1.甲、乙、丙三人出了同樣多的錢在糧店買了假設干千克大米

2、.回家后,乙要的 大米比甲、丙都少6千克,因此,甲、丙都又退給乙 6元錢.每千克大米多少元、分析：不知道三人共買了多少千克大米,也不知道三人各要多少千克,求大米的 單價似乎很難.但是,我們可以假設大米的數(shù)量.假設乙要了 1千克大米,那么甲、丙都要了 7千克,三人共買了 7+7+1=15 千克 每人平均15 + 3=5 千克.在糧店,他們平均出錢,每人出的都是 5千克大米的錢. 回家后,甲、丙要的大米都比平均數(shù)多 7 5=2 千克,所以甲或丙退給乙的 6元錢 就是多要的2千克大米的價錢.乙要的大米比平均數(shù)少 5-1=4 千克,所以甲和丙 退給他的12元錢就是少要的這4千克大米的價錢.這樣,就可求

3、出大米的單價.解法 1.6 + 7 7 + 7+1+3=3 元解法 2.6 X2 + 7 +7+1+31=3 元此題還可以用下面的方法解這里只畫出線段圖,分析略6 寸 JLAV.此文原題目為?用假設法解應用題?,初稿完成于1993年11月,1994年12月第一次修改,1997年8月第二次修改.解法 3.6 + 6 6X2 + 3 =3 元解法 4.6 X2+ 6X2 + 3 =3 元例2.小王騎車去火車站.他方案以每小時 15千米的速度行駛,這樣才能正好趕上火車.可是,前一半路程他騎車的速度是每小時12千米.下一半路程他應該以多快的速度騎行,才能趕上火車分析與解答：題中只有兩個速度,沒有路程怎

4、樣計算可以假設路程.假設路程是30千米,那么小王按方案騎行,需要的時間是 30+15=2小時.前 一半路程他已經用了 30+2+12=1.25 小時；下一半路程他應該用的時間是 2 1.25=0.75 小時,應該用的騎車速度是每小時 30+2+0.75=20 千米.30+ 2+ 30+15 30+2+12 =20千米答:略當然,把路程假設為3千米、6千米、10千米結果都是一樣的.把路程假設 為“1當作工程問題來解,也很簡便.例3.甲數(shù)的3等于乙數(shù)的-,甲數(shù)比乙數(shù)大幾分之幾58分析與解法1.假設甲數(shù)是25,那么甲數(shù)的另是25X3=15.即乙數(shù)的5也是15,乙558數(shù)是 15+5=24. 8,、1

5、2524 -24= 24解法2.假設乙數(shù)是1,那么甲數(shù)是1X5 + 3 = 25.85 24空1 + 1 = 2424分析與解法3.假設甲數(shù)的9與乙數(shù)的5都等于1,那么甲數(shù)是1 + 3=勺,乙數(shù)是1585 35 8 .08 53-83二555 24例4.一次測試,某班學生的平均分數(shù)為 87分.其中90%勺學生到達了 80分,他 們的平均分數(shù)為89分.80分以下的學生的平均分數(shù)是多少分析與解答：假設全班有40人,那么到達80分的學生數(shù)是40X90%36人,80 分以下的學生數(shù)為40-36=4 人.全班學生總分為87X40=3480 分；到達80分的學生總分為89X36=3204分；80分以下的學

6、生的總分為 3480- 3204=276 分,平均分是 276+ 4=69 分.綜合算式：87X40 89X 40X90% + 40-40X 90% =69 分注：如果假設全班有4人,那么解法更簡便.這類問題,似乎都缺少一個重要條件,但問題的答案卻與這個“重要條件無關. 所以,無論把這個“重要條件假設為多少,都不影響計算結果,但假設的數(shù)據應便 于計算.類似問題；1 .甲乙二人走同一段路,甲所用的時間比乙短 1,甲的速度比乙快幾分之幾112 .一艘輪船?？吭诖a頭,方案12小時把貨卸完.實際卸貨的速度提升了 L 實際5幾小時可以卸完3 .植樹節(jié)這大,同學們去種樹,平均每人應該種2棵.如果只讓男同學

7、去種,平均每人應該種3棵.如果只讓女同學去種,平均每人應該種幾棵二、把一般條件假設為特殊條件例5.一個正方形的面積是20平方分米.在這個正方形內畫一個最大的圓,求這 個圓的面積.分析：求圓的面積,一般要先求出圓的半徑.在此題中,如果知道了正方形的邊 長,就可求出圓的半徑,但題中只給了正方形的面積.根據正方形的面積求邊長,要 用開方.對于小學生來說,只有正方形的面積是 4、9、16、25時,才有可能推想 出它的邊長.用小學知識能不能解這道題呢解法1.假設這個正方形的面積是25平方分米,那么它的邊長是5分米.所以,假 設的這個正方形內的最大的圓的直徑是 5分米,面積是22（5） X 3.14=19

8、.625 平萬分米 2而原正方形面積是假設的這個正方形面積的型,所求的圓的面積也應該是假設的 25這個圓面積的理. 2519.625 X 20=15.7 平方分米25解法2.假設正方形的邊長是20分米,那么它里面最大的圓的直徑也是20分米,面積是2£2X3.14=314 平方分米.把面積20平方分米的正方形假設為邊長 20分 2米,面積就擴大了 20倍,它里面最大的圓的面積也就擴大了 20倍.所以,所求的圓 的面積是314+ 20=15.7 平方分米注：此題不用假設法也可以解.如圖,把正方形平均分成小正方形,每個小正方形的面積都是 20+ 4=5 平方分米,即r2=5.所以圓的面積是

9、S=tt r2=3.14 X 5=15.7 平方分米類似習題：1 .把一個面積是6.28平方分米的圓形紙片剪成一個最大的正方形.求這個正方 形紙片的面積.2 .一個正方體的體積是9立方分米,另一個正方體的棱長是它的 2倍.求另一個 正方體的體積.三、把帶“鈴鐺的分率倍數(shù)假設為不帶“鈴鐺有些問題,給出的兩個數(shù)量間的倍數(shù)關系后面帶著具體數(shù)量,我們稱之為分率 倍數(shù)帶“鈴鐺.可以假設法當然,也可以用用畫圖的方法把數(shù)量進行調 整,使分率倍數(shù)不帶“鈴鐺.例6.工人師傅加工一批零件,第一天加工了全部零件的 1多4個,第二天加工3了全部零件的1少1個,還剩16個每加工.這批零件共多少個2分析與解答：假設第一天

10、正好完成了全部零件的1 ,那么剩下的沒加工的零3件就會多4個；假設第二天正好完成了全部零件的 1,那么剩下的就會少1個.于2是,原題的條件就變成了 “第一天加工了全部零件的 1 ,第二天加工了全部零件的311,還剩16+44 1個沒加工.16+4 1 + 1 1 1 =114 個 32答:略例7.甲、乙、丙.丁四個數(shù)的和是 202,乙數(shù)比甲數(shù)多1,丙數(shù)比甲數(shù)的2倍少2, 丁數(shù)比甲數(shù)的一半多1.求這四個數(shù).2分析與解：假設乙數(shù)等于甲數(shù),內數(shù)正好是甲數(shù)的 2倍,丁數(shù)正好是甲數(shù)的一半,那么四個數(shù)的和將是2021+2 1.由此可求出甲數(shù),進而求出另外三數(shù).2甲數(shù)202 1+21 + 1 + 1+2+1

11、 =4522乙數(shù) 45+1=46內數(shù) 45 X 22=88一一11丁數(shù) 45 + 1 + 1 + 2+1 +1=2322例8.學校買來三種新書共100本,其中文藝書是科技書的3倍,畫冊比科技書的一半少8本.這三種書各買來多少本解分析略：100+8 + 3+1+工=24 本科技書224X3=72 本文藝書24+2 8=4 本畫冊解法 2 分析略：100+8 + 2+1 + 2X3 =4 本畫冊4+8 X 2=24本文藝書24X 3=72 本文藝書例9.水果店有535千克橘子,第一天賣出8筐又17千克,第二天賣出5筐又11 千克,還剩195千克.每筐橘子的重量相等.第一天賣出多少千克解分析略：每筐

12、橘子有多重535 1951711+ 8 + 5 =24 千克第一天賣出多少千克24X8+17=209 千克類似習題:1 .師徒二人加工一批零件.徒弟加工了 92個,超額15炕成了自己的任務.他 的任務比師傅任務的3多32個.師傅加工零件的任務是多少個42 .車站倉庫里原有煤假設干噸.第一次運出的比存煤的一半少350噸,第二次運出現(xiàn)有煤的一半有50噸,結果還剩500噸.倉庫里原有煤多少噸3 .小明有人民幣假設干元.買書用去其中的一半又 5角,買文具用去剩下的一半又5角,買本又用去第二次剩下的一半又 5角,最后還剩5角.小明原有多少元四、虛構、改編情節(jié)例10. 一個班有48人.班主任在班會上問：誰

13、做完語文作業(yè)請舉手.有 37人舉手.又問：誰做完數(shù)學作業(yè)請舉手.有 42人舉手.最后問：誰語文、數(shù)學作業(yè) 都沒做完沒有人舉手.你想想看：這個班語文、數(shù)學作業(yè)都做完的有多少人微點評軍境瞰淺呼微分析與解法1.全班做完語文數(shù)學作業(yè)的分別有 37人和42人,沒有兩種作業(yè)都沒做完的.假設全班學生都正好做完了一種作業(yè),那么全班應該有79人37+42=79.但實際上全班只有48人,假設的人數(shù)比實際人數(shù)多 31人7948=31.為什么會多出31人是由于這31人都舉了兩次手.37+42 48=31 人分析與解法2.有37人做完了語文作業(yè).假設全班 48人都做完了數(shù)學作業(yè), 那么做完語文作業(yè)的37人就是兩種作業(yè)都

14、做完的人數(shù).但是,實際做完數(shù)學作業(yè)的 只有42人,比假設的48人少6人.所以,兩種作業(yè)都做完的也應該比 37人少6人37 4837 =31 人分析與解法3.有37人做完了語文作業(yè).假設全班 48人都正好做完了一種作業(yè), 沒有人做完兩種作業(yè),那么做完數(shù)學作業(yè)的應該是11人4837=11 o但實際做完數(shù)學作業(yè)的有42人,比假設的11人多31人4211=31.這31人既做完了數(shù)學作 業(yè),又做完了語文作業(yè).42 4837 =31 人分析4.假設班主任不是讓學生舉手,而是讓做完作業(yè)的學生交作業(yè)本一一把語 文、數(shù)學作業(yè)本各擺一行,并且同一學生的兩個作業(yè)本的兩個作業(yè)本上下對齊擺放 如以下圖.國廟四井二J響1

15、1*|二也這樣,只要數(shù)一數(shù)作業(yè)本數(shù),就可以知道做完作業(yè)的人數(shù).但是,兩種作業(yè)的總 本數(shù)比全班人數(shù)多,由于兩種作業(yè)都做完的學生都交了兩個本.如果再讓全班每個學 生都拿回去一個本共拿回去 48本,就只剩下兩種作業(yè)都做完的人的作業(yè)本了 兩種作業(yè)都做完的人,每人剩一本擺在那里.這樣就可得到解法1.從上圖中也可以得到解法2、解法3,還可以得到解法4.解法 4. 48 4837 4837 =31 人注：上面的四種解法都可以用其他思考方法得到.例11.一人騎摩托車從A城去B城.假設以每小時30千米的速度行駛,他將遲到2 小時；假設以每小時48千米的速度行駛,他將早到1小時.AB兩城相距多少千米要 準時到達,

16、每小時該行多少千米分析1.從A城出發(fā),以每小時30千米的速度行駛,要遲到2小時,即到既定時 刻離B城還有60千米的品&程30X 2=60;以每小時48千米的速度行駛,將早到1 小時.假設他以每小時48千米的速度行駛到B城后沒有停下,而是又向前行了 1小 時,到既定時刻才停下.用相同的時間,用兩種速度行駛的路程相差 108千米60+48=108.由此可求 出行駛的時間,進而就可求出兩地距離和應有的速度.解法1 .從出發(fā)到既定時刻是幾小時30X 2 + 48X 1 +48 30=6小時AB兩城相距多少千米30X 6 + 2 =240 千米或 48X 61 =240 千米要準時到達,每小時該

17、行多少千米240+ 6=40 千米分析2.假設有兩個人分別以每小時30千米和每小時48千米的速度,同時從A 城出發(fā)駛向B城.當快車提前1小時到達B城時,慢車距B城還有2+1=3小時的路程, 即快車比慢車多行了 30X3=90千米.由此可求出快車到達 B城所用的時間.解法2.每小時行駛48千米,幾小時可到達30 X 2+1 +4830=5小時AB兩城相距多少千米48X5=240 千米要準時到達,每小時該行多少千米240+ 5+1 =40 千米解法3 分析略.每小時行駛30千米,幾小時可到達48 X 2+1 +4830=8小時AB兩城相距多少千米30 X 8=240 千米要準時到達,每小時該行多少

18、千米240+ 8 2 =40 千米例12.一項工作,甲單獨做40天可以完成,乙單獨做60天可以完成.二人合作, 甲因病休息了幾天,他們共用了 27天才完成.問：甲中途休息了幾天分析：甲乙合作,每天可完成這項工作的 +=.假設甲中途沒有休息,甲40 60 24乙合作27天,可完成這項工作的 , X 27=9,超過任務的1.甲幾天可以完成這項工2488作的1呢8解：+ 40 60X27-1 + 工=5 天40答：略.此題的另外幾種解法:1 27-1 紅+ 1=5 天 6040 把甲的工效設為“ 1 ：271 X40一 生 X 27+ 1=5 天(3)把乙的工效設為“ 1 ： 27(1 X601X2

19、7)+型=5 (天)40（4） 1+言X 271X40 -1=5 天（5） 1+60 X 271 X 60 + 60=5 天4040例13.食堂有面粉和大米共168千克.一天用去了面粉的1和大米的-,一共用 43去48千克.面粉和大米原來各有多少千克分析1.一天用去了面粉的1和大米的1 共48千克.假設連用3天,那么大米 4311將正好用完,面粉應該還剩11 X 3=1.連用3天,共用去面粉和大米48X3=14444千克.還剩168144=24 千克.這24千克都是面粉是原來面粉重量的 工4解法 1. 168-48X3 + 11X3 =96 千克面粉4168-96=72 千克大米分析2.假設連

20、用4天,那么面粉將正好用完,面粉就會缺 1x4-1=- 0連用433天,共應該用面粉和大米 48X4=192 千克,比總數(shù)還多192168=24 千克.1這24千克正好是原來大米重量的1 o31解法 2. 48X4-168 + 1 X4-1 =72 千克大米316872=96 千克面粉注：此題還有其他假設解法.例14.一個化肥廠方案14天完成一項任務.由于每天多生產 3.5噸,結果9天 就完成了任務.原方案每天生產多少噸分析1.假設有甲乙兩個廠分別按這個廠方案的效率和實際的效率進行生產.那么 當按實際的效率每天比甲廠多生產 3.5噸生產9天完成任務時,乙廠比甲廠共多 生產31.5噸3.5X9=

21、31.5.這時,甲廠還需再生產5天才能完成任務.由此可求 出甲廠每天生產多少噸方案每天生產多少噸.解法 1. 3.5 X9+ 149 =6.3 噸解法 2 分析略.3.5 X14+ 149 3.5=6.3 噸例15.雞和兔共43只,它們共有120條腿.雞和兔各有多少只分析與解法1.假設把雞和兔都砍掉2條腿,那么43只雞和兔就會被砍掉86條腿 (2 X 43=86),只剩下34條(12086=34).這34條都是兔腿,由于雞都沒了腿.每 只兔只剩2條腿,所以有17只兔.兔(120 2X43) +(42)=17(只)雞 43 17=26(只)分析與解法2.假設每只雞也都有了 4條腿(都又“長出來2條),那么43只雞 和兔一共應該有172條腿(43X 4=172).所有的雞一共“長出了 52條腿(172 120=52) o每只雞都“長出來了 2條腿,是多少只雞“長出來 52條腿呢雞(4X43120) +(42)=26(只)兔 43 26=17(只)分析與解法3.假設把每只雞和兔都砍掉一半數(shù)量的腿(每只雞只剩一條腿,每 只兔剩2條腿,那么43只雞和兔一共剩下60條腿( 120+ 2=60).每只雞和兔都有一 個頭.把每只雞和兔都砍掉一半數(shù)量的腿后,雞的腿數(shù)和頭數(shù)同樣多,而每只兔的腿 數(shù)都比頭數(shù)多1.現(xiàn)在,43只雞和兔共有43個頭、60條腿,腿數(shù)比頭數(shù)多17 (60