完整版二次根式化簡的方法與技巧

1、二次根式化簡的方法與技巧二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點內(nèi)容,讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后,進(jìn)行二次根式的化簡與運算時,一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進(jìn)行,運算中要運用公式a、b = ab a - 0,b - 0對于二次根式的除法,通常是先寫成分式的形式,然后通過分母有理化進(jìn)行運算.二次根式的加減法與多項式的加減法類似,即在化簡的根底上去括號與合并同類項.運算結(jié)果一般要化成最簡二次根式.化簡二次根式的常用技巧與方法所謂轉(zhuǎn)化：解數(shù)學(xué)題的常用策略.常言道：“兵無常勢,水無常形.我們在解千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題時,常常思維受阻,怎么辦運用轉(zhuǎn)化策略,換個角度思

2、考,往往可以打 破僵局,迅速找到解題的途徑.二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容,對于二次根式的化簡,除了掌握 根本概念和運算法那么外,還要掌握一些特殊的方法和技巧,會收到事半功倍的效果,約 分、合并是化簡二次根式的兩個重要手段,因此我們在化簡二次根式時應(yīng)想方法把題目 轉(zhuǎn)化為可以約分和和可以合并的同類根式.現(xiàn)舉例說明一些常見二次根式的轉(zhuǎn)化策略.一、巧用公式法a -2 ba b a -b例1.計算Ja+幾分析：本例初看似乎很復(fù)雜,其實只要你掌握好了公式,問題就簡單了,由于Ja與 屈 成立,且分式也成立,故有a >0,b >0, (va Jb =0)而同時公式:.2222.2(a

3、b)=a 2ab+b,a - b =(a+b)(ab),可以幫助我們將a -2 Jab +b和a -b變形,所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些問題從復(fù)雜到簡單.解：原式:-2:-,1-:- a - b ( a b)( a - b) a 一 b a b=( a - b) ( a - b)2b、適當(dāng)配方法.3 2 - 2 - % 3 - . 6例 2 .計算： 1 *72 -73分析：此題主要應(yīng)該從式子入手發(fā)現(xiàn)特點,.分母含有1 + <2 - J3其分子必有含1 + J2 J3的因式,于是可以發(fā)現(xiàn) 3+2,2 =1十超2 ,且J3+J6 = 丁31 +<2 ,通過因式分解,分子所含的的因式

4、就出來了.解：原式二 32- 7 3 v 61 vz2 - v 3(122 )2 - J3(1J2)1 vZ2 -、3二 1 V2三、正確設(shè)元化簡法.2 6例3:化簡行+J3 +而分析：本例主要說明讓數(shù)字根式轉(zhuǎn)化成字母的代替數(shù)字化簡法,通過化簡替代,使其變?yōu)楹唵蔚倪\算,再運用有理數(shù)四那么運算法那么的化簡分式的方法化簡, 例如：J2 = a, V5=c7§=b,ab =45正好與分子 吻合.對于分子,我們發(fā) 現(xiàn)a2+b2 = c2所以2.222.22a +b -c =0,于是在分子上可加 a +b -c =0,因此可能能使分子也有望化為含有a +b +c因式的積,這樣便于約分化簡.解：

5、設(shè),2 = a, 3 = b, . 5 = c,那么 2ab =2,6,且 a2 b2 c2 = 0所以：2aba b c_2222abab-ca b c.22ab-ca b cabcab- ca b c=a b - c=7 2 3 - 5四、拆項變形法 7 2 65例4,計算十行分析：本例通過分析仍然要想到,把分子化成與分母含有相同因式的分式.通過約 a b 11分化簡,如轉(zhuǎn)化成： ab = 1 1再化簡,便可知其答案. ab a b解：原式二% 5 6- 6 工 7" 56 % 67_、5 工6v 6 v 7、5 、6 x 6 x 7 5 6 6 711= + 、5、6 中6 V

6、 7= 6 - x 57 7 -、6= 7 - 5五、整體倒數(shù)法.53 .3 1a b 11ab 1- -化簡但還要ab a b例5、計算而+2旌+1分析：本例主要運用了變倒數(shù)后,再運用有關(guān)公式:通過折項變形,使其具有公因式.、5. 3、3 1,5 2/3 1y5-2 J3-15、3“31、/57 3731 v 5 v 3 v 31_11_V 31V 5、373 - 1V5 - 7322V 5 - 12,512,2所以A=-2<51借用整數(shù)“ 1處理法.1 3 2-2.3例6、計算顯+%+76分析：本例運用很多方面的知識如：1=G3 + J2!V3-J2和(a-b)x.2.2(a + b

7、)=a -b ,然后再運用乘法分配率,使分子與分母有相同因式,再約分化簡.解：原式,32,3,2 3上2二2上3 2 、3 、6、3 % 2 3 -、2-6 . 3 - ：2、2 3 ,6( 3 - 2)( J3 - 2、6)3 2 石=3 -、2六.恒等變形整體代入結(jié)合法例7：x = ；(" + J5) , y=；(J7 J5),求以下各式的值.(1) x2 -x y2;(2)y x分析：本例運用整體代入把x+y與xy的值分別求出來,再運用整體代入法將x+y與xy代入例題中,但一定要把所求多項式進(jìn)行恒等變形使題中含有x+y與xy的因式,如x2 -xy + y2 =(x + y)2

8、-3xy ,然后再約分化簡.1-1_解：由于：x = (v7 +V5) , y = (V7 -5),所以：x + y = V7, xy =.22x - xy y2=(x y ) - 3 xy=(%7)2一311£22L工yx22x y xy2x y - 2 xyxy(77 )2 - 2112七、降次收募法：八2- 一例8、x=2+,3,求3x -2x 5的值.2x -7分析：本例運用了使題中2次募項轉(zhuǎn)化成 1次方的項再化簡.如例題中把多項式2x + 4x -1轉(zhuǎn)化為4x- 1,這樣進(jìn)行低次哥運算就容易了.解：由 x =2+<3,得 x2=、13.x22=3 整理得：x2 = 4

9、x1.所以：3x2 - 2x 5=3(4x-1) - 2x 5= 10(2 J3) 2=22 10x32x - 7 = 2(2 %3) - 7 = 2,3 - 3所以原式22 - 10 <32 v 3 - 33二次根式的化簡與計算的策略與方法1.公式法x + y + 2而ab-b2【例1】計算 瓜+后；J?一白狗二廠4=小+也【解】原式 T x + qy【解后評注】以上解法運用了完全平方公式和平方差公式,從而使計算較為簡便.2出+,-3及【例2】計算：2 + 72-76【方法導(dǎo)引】假設(shè)直接運用根式的性質(zhì)去計算,須要進(jìn)行兩次分母有理化,計算相當(dāng)麻煩,觀察原式中的分子與分母,可以發(fā)現(xiàn),分母中

10、的各項都乘以招,即得分子,于是可以簡解如下：【解】原式2 +、泛-#.【例3把以下各式的分母有理化.6:丘瓜+1 +(1)頻原西；(2)向+ E (1>1)【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個因式,將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子 將有三個因式相等,計算將很繁,觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子,這就啟示我們可以用如下解法：【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母, 再化簡.但是,不難發(fā)現(xiàn)式分子中 Jx-1的系數(shù)假設(shè)為 V,那么原式的值就等于 1了！因此,可以解答如下：=1+ G【解】原式T_ + / &&7)(石+Q +工-力:丘+1 -&J/ T -x + 1 3 11

11、 p-;=1 += - - x + Vx -122 223.運用配方法例4化簡【解】原式=后而=隔二兩 J亞=小-1【解后評注】注意這時是算術(shù)根,開方后必須是非負(fù)數(shù),顯然不能等于4 .平方法例5化簡46-汪+丘汪二第十2乖*引用閡+ 6+厚= 12 + 27-35=714斤春+而后河【解后評注】對于這類共軻根式 值-必 與1+五 的有關(guān)問題,一般用平方法都可 以進(jìn)行化簡5 .恒等變形公式法例6化簡曲出-® *回想+®【方法導(dǎo)引】假設(shè)直接展開,計算較繁,如利用公式 一一 ' ,'十'那么使運算簡化.【解】原式=/ *應(yīng)-河+依-夜-制=2 國 +72-

12、 =2x3 + 8-473= 22-8 也6 .常值換元法【例7】化簡.998x1999瓶000豆001 +1【解】令1998 =.,那么：原式:一,一：,"=Jp +35 儲；% + 2»1二,廿 + 3af + 2廿 + 3鼻+1=+ 35 + 1丫二 J+3 什 1=19 冰+3x1998+1=39979997 .裂項法1 11Al+ + +A +【例8】化簡1+質(zhì)夜+招-3 + 499+100【解】原式各項分母有理化得原式一 ：P J :不尸尸, L=100 _1 = 10-1:= 9【例9】化簡2 + 27+7104+ 2/13+ 10即+、同2+初向底4 +何【

13、方法導(dǎo)引】這個分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖,但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個因數(shù)之和,于是那么有如下簡解：_2 +蟲+疝/垂十洞+炳【解】原式= + , +行+廂 2 + 77、位+而 4 + %位廂-不6-2 ./13-./10 4-713=+3333=；麻-石+石-2 +岳-而+ 4-呵、8 .構(gòu)造對偶式法線 + 2 + 冊"7 w +2 + .-4【例10】化簡片+2后W 月+2+用工【解】構(gòu)造對偶式,于是沒儀="2 + 冊-4 , b="2一擊-4那么:二二,二 ： 一 3-；士：-.=«+2-2 = ?39 .由里向外,逐層化簡J1998-/1997 J1996V1995 x 1993 + 1 + 1 + 1 + 1【解】1719947 = 1994而一一二,下 71997x1995 + 1 = .1996 刁19