偏微分方程數(shù)值解試題

1、偏微分方程數(shù)值解試題1、考慮一維的拋物型方程:.:u；：2u =', X 0,二,0 £ t £ T.:t一: Xu(X,t)xg =u0, u(X,t)x4=u 二u(x,0)=宇(x)(1) 導(dǎo)出時(shí)間離散是一階向前Euler格式,空間離散是二階精度的差分格式;(2) 討論(1)中導(dǎo)出的格式的穩(wěn)定性；(3) 假設(shè)時(shí)間離散為二階精度的蛙跳格式,；:u;:tt4nmHn -1u - u2 ：t 空間離散是二階精度的中央差分,問(wèn)所導(dǎo)出的格式穩(wěn)定嗎為什么?2、考慮Poission方程-3(x,y) =1,(x, y) 'J.:u=0, in AB and AD.:

2、nu(x, y)=0, in BC and CD其中Q是圖1中的梯形.圖1梯形使用差分方法來(lái)離散該方程.由于梯形的對(duì)稱性,可以考慮梯形的一半,如圖2,A1Df圖2從物理空間到計(jì)算區(qū)域的幾何變換為了求解本問(wèn)題,采用如下方法：將q的一半投影到正方形區(qū)域a,然后在a上使用差分 方法來(lái)離散該方程.在計(jì)算區(qū)域屋上用nn個(gè)網(wǎng)格點(diǎn),空間步長(zhǎng)為 .:二. =1 /N 1)(1) 引入一個(gè)映射T將原區(qū)域Q (帶有坐標(biāo)x,y)變換到單位正方形 8 (帶有坐標(biāo)匚). 同時(shí)導(dǎo)出在新區(qū)域上的方程和邊界條件.(2) 在變換區(qū)域,使用泰勒展開(kāi)導(dǎo)出各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在區(qū)域內(nèi)部和邊界點(diǎn)上的差分格式.：u:u3、對(duì)線性對(duì)流方程 一 a -

3、0 a constant >0,其一階迎風(fēng)有限體積法離放格式為t:xuT=uj-羿(un-%)x(1) 寫(xiě)出a<0時(shí)的一階迎風(fēng)有限體積法的離散格式；(2) 寫(xiě)出a為任意符號(hào)的常數(shù)的一階迎風(fēng)有限體積法的守恒形式.(3) 使用 U+uW=0說(shuō)明一階迎風(fēng)有限體積法不是痼保持的格式.ft ；x4、對(duì)一維Poission方程-Uxx =xex, x (0,1)u(0) =u(1)=0將b 1 分成(n +1)等分,寫(xiě)出用中央差異離散上述方程的差分格式,并問(wèn)：(1) 該差分格式與原微分方程相容嗎為什么(2) 該差分格式穩(wěn)定嗎為什么(3) 該差分格式是否收斂到原微分方程的解為什么(4) 取(n

4、+1) =6 ,寫(xiě)出該差分格式的矩陣表示.5、表達(dá)二重網(wǎng)格方法的執(zhí)行過(guò)程,并對(duì)一維常微分方程邊值問(wèn)題ju = 25兀 2( sin(5 n x)+9sin(15 兀 x),(0,1)、u(0) =u(1) = 0給出限制算子和延拓算子矩陣(以細(xì)網(wǎng)格h : n = 7,粗網(wǎng)格2h : n = 3為例).6、對(duì)一階波動(dòng)方程cu工tu八+=0ctex1u(x,0) = §sin(二 x), x (0,1)u(0,t)=u(1,t)(1)寫(xiě)出用中央差分進(jìn)行空間離散,用一階向后Euler進(jìn)行時(shí)間離散的差分格式;(2)使用線方法,分析上述格式的穩(wěn)定性.7、考慮散熱片的設(shè)計(jì)問(wèn)題.二維散熱片如圖3所

5、示,是由一個(gè)中央柱和4個(gè)水平的子片構(gòu)成；散熱片從底部 root的均勻通量源通過(guò)大外表的子片散熱到周?chē)目諝庵?散熱片可由一個(gè)5維參數(shù)向量來(lái)表示,色=(H1,p2,川,P5),其中W = k' =1川,4,和y = Bi ;曰可取給定設(shè)計(jì)集 Du5中的任意值.ki是第i個(gè)子片熱傳導(dǎo)系數(shù)(k°三1是中柱的熱傳導(dǎo) 系數(shù))；Bi是Biot數(shù),反映在散熱片外表的對(duì)流輸運(yùn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)(大的 Bi意味好的熱傳 導(dǎo)).比方,假定我們選擇散熱片具有如下參數(shù)k1 =0.4,k2 =0.6,k3 =0.8,k4 =1.2,Bi =0.1 ,此時(shí)七=(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1).中央柱

6、的寬度是1,高度是4；子片的厚度t=0.25,長(zhǎng)度L=2.5.我們將輸出溫度Troot看作是H =(<12,川,P5)的函數(shù),其中輸出溫度Troot是散熱片底部定常態(tài)溫度的均值,輸出溫度Troot越低,散熱效果越好.在散熱片內(nèi)定常態(tài)溫度分布u(色),由橢圓型方程限制-V2?!* = 0 in fl*, f =(1)其中ui是u在.的限制,是熱傳導(dǎo)系數(shù)為 =0,川,4的散熱片的區(qū)域：Q°是中央柱,Qi ,i =1,|,4對(duì)應(yīng)4個(gè)子片.整個(gè)散熱片區(qū)域記為Q , Q的邊界記為ro為保證在傳導(dǎo)系 數(shù)間斷界面kt =EQ0c©G,i =1,小,4上溫度和熱通量的連續(xù)性,我們有u

7、 U “ 】_(寧"叫 =_爐3護(hù)的,曲岫1 = 1,4;這里?i是的外法線.在散熱片的底部引入Neumann邊界條件11°) = -1 on Tig(2)來(lái)刻畫(huà)熱源；一個(gè) Robin邊界條件"(W -世)=Bi ul on云玷 i =也. * r4,(3)來(lái)刻畫(huà)對(duì)流熱損失,其中r；xt是.I暴露在流體流動(dòng)中的邊界局部,U4next=root.在底部的平均溫度Troo什)=l° (u ),其中l(wèi)°(v)= f v.在這個(gè)問(wèn)題中,我們?nèi)?rootl(v) = l° (v).(1)證實(shí)u()在X三H1 (Q)滿足弱形式磯訊甘)國(guó)四)=(v

8、), VueX,其中k1 Vw Vu d-4 -b Bi wv dS,r dS,ro.'i(2)證實(shí)u( H)在X是J(w)在X中取得極小值的變量/Bi f , fJ(tLT)= V' fc' / Vtu - Vtt' dA + / 護(hù) dS / w dS2 2扁2 Sgt 知渤(3) 考慮線性有限元空間Xh =但£ H】(n)|訓(xùn)玨(戲),皿e萬(wàn),找UhW)wXh,使得此時(shí)a(uhQj),v；f£)= f(v), Vv wX必jfroot hQf)=尸(/£)運(yùn)用通常的節(jié)點(diǎn)基,我們得矩陣方程Ae鯽心 =Eh- rrooth(p)

9、= (d)國(guó)凹.其中& e Rnxn,也 歸七 Fjt E Ftnf and 或 e IRn；n是有限元空間的維數(shù).請(qǐng)推導(dǎo)出單元矩陣 商w L3照,單元荷載向量Fk在L 3,單元輸出向量Lh 3 ；并且描述從單元量獲得總矩陣 冬,Eh,Lh的程序.8、考慮Poisson方程.2-'、ux,y =1,x,yux, y .“ = 0其中Q是單位正方形,定義空間和泛函X =H*") ='.vH1(") v土產(chǎn)0;a(u,v) = u vdAQ l(v) = vdA Q假設(shè)uWC2(Q),且u是上述Poisson方程的解,(1)證實(shí)u為Jw在空間X上的極小值

10、點(diǎn),其中, ,、1 ,J(w) = §a(w,w)l(w)(2)(3)證實(shí)u滿足弱形式a(u, v) = l (v),一 v X1作圖示均勻二角形剖分,步長(zhǎng)h=-,寫(xiě)出以下節(jié)點(diǎn)編號(hào)所對(duì)應(yīng)的剛度矩陣和荷載向3量.a節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序?yàn)橐?一,一,一,一,一,一3 33 33 33 312、211122、b節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序?yàn)?,-,33333333 224假正基函數(shù)和下點(diǎn)有同樣的編礦 寫(xiě)出下點(diǎn)為一,一的下點(diǎn)基函數(shù).3 39、考慮一維的poisson方程2 x-uxx =(3x x )e , x (0,1)u(0) =u (1)=0將0,1區(qū)間分成n+1等份,用中央差異離散二階導(dǎo)數(shù),完成以下各題:(

11、1) 寫(xiě)出該問(wèn)題的矩陣形式的離散格式：Ai?=f；(2)記aa = ,證實(shí)j i_i,jn非負(fù)性:-ij 二.,for 冬 i1j有界性.駕成1.、交通流問(wèn)題可用如下的非線性雙曲型方程來(lái)刻劃,.-P . J U c=.:t:x其中P = P(x,t)是汽車(chē)密度(每公里汽車(chē)的輛數(shù))= u(x,t)是速度.假定速度u是密度P的函數(shù):PU = Umax 1 - I 1 max j、c c、c c (. P、其中 Umax 正取大速度,.< P 三 Pmax.f ( P) = Pu = Pumax 1 L max /用如下的Roe格式?n 1-i="xFn一 F 1 i 2 j其中Fn

12、Fi 1225f(»2叩2("1ii 1ai-l2二u (1umax k max求解以下綠燈亮了問(wèn)題: 此時(shí)初始條件為_(kāi) ：L,x ：.一.,x_.些參數(shù)如下：max =1,=.8, Umax0.8 xumax(1) 給出t = 2時(shí)問(wèn)題的解；(2) Roe格式滿足痼條件嗎為什么11、考慮1D常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題-uxx u = 1, x "u(0) =u(1) =0其中Q =(0,1),定義空間和泛函X =H*").v 心"牛=0：'a(u,v) = ?u '. vdA uvdA QQl(v) = vdA Q假設(shè)uw C2(Q),且u是上述1D常微分方程兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的解,(1) 證實(shí)u為J(w)在空間X上的極小值點(diǎn),其中 , 、 1J( w) = § a( w, w)