構(gòu)造法在中學數(shù)學中的應用

1、構(gòu)造法在中學數(shù)學中的應用楊佳銅(吉林師范大學數(shù)學學院2020級1班吉林四平136000)指導教師：付軍(教授)摘要：構(gòu)造法是解決數(shù)學問題的一種重要方式，往往能達到化危為易的成效.構(gòu)造法是一種制造性思維活動，是培育學生創(chuàng)新思維的有效途徑,在中學數(shù)學教學中有著普遍的應用.本文依照構(gòu)造法的形式，別離從構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造方程，構(gòu)造圖形，構(gòu)造向量，構(gòu)造數(shù)列和構(gòu)造宣數(shù)法等六個方面來講明構(gòu)造法在中學教學中的應用.關鍵詞：構(gòu)造法進展中學應用意義中圖分類號：Yangjiadi(Class1Grade2020,CollegeofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin

2、136000)DirectiveTeacher:FuJun(Professor)Abstract：Theconstructionmethodisanimportantmethodofsolvingmathematicalproblemsandusuallycanmaketheproblemseasy.Theconstructionmethodisakindofcreativethinkingactivity,istheeffectiveapproachestocultivatestudents'innovativethinkingandhasawiderangeofapplicatio

3、nsmmiddleschoolmathematics.Accordingtotheformofconstructionmethod,thispaperillustratesitsapplicationinmiddleschoolmathematicswithsixaspects.Theyareconstructor,structureequation,structuregraphs,structurevector,tectonicsequenceandconstructplural.Keywords：ConstructionmethodDevelopmentMiddleschoolApplic

4、ationMeaning一、引言構(gòu)造法能夠說是在數(shù)學產(chǎn)生之時便存在了，直至19世紀末直覺主義學派基于數(shù)學可信性的考慮，提出了“存在必需是被構(gòu)造”的聞名觀點，第一次提出了“構(gòu)造法”那個術語并推動了構(gòu)造法的進展.構(gòu)造法大致經(jīng)歷了三個時期,第一時期是直覺數(shù)學時期:第二時期是算法數(shù)學時期，以馬爾科夫的算法數(shù)學為代表：第三時期是“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學”時期，以1867年美國數(shù)學家比肖泊發(fā)表的構(gòu)造性分析一書為開端.伴隨著歷史的進展，古今中外有很多聞名的數(shù)學家都曾經(jīng)用構(gòu)造法成功的解決過數(shù)學上的難題，例如歐幾里得用構(gòu)造法巧妙地證明了“素數(shù)的個數(shù)是無窮的”，歐拉通過構(gòu)造數(shù)學模型成功解決了聞名的哥尼斯保七橋問題，又如我國

5、九章算術中的開方術等等.時至今日，構(gòu)造法及其應用在數(shù)學界仍有著極為重要的地位與作用.構(gòu)造法是一種制造性的思維方式，它的實質(zhì)確實是依照題目的結(jié)構(gòu)特點和內(nèi)在規(guī)律，把原問題轉(zhuǎn)化為與之等價的比較簡單或易于求解的新問題，使問題柳暗花明、豁然爽朗.靈活的運用構(gòu)造法需要有豐碩的知識、較強的觀看能力和綜合運用能力.基于構(gòu)造法的這種性質(zhì)，它對培育學生觀看問題，分析問題，解決問題的能力有著重要的作用，更能培育學生的制造性思維，開拓思路，加深學生對數(shù)學的明白得，體驗數(shù)學美，激發(fā)學生的數(shù)學學習愛好，因此構(gòu)造法在中學數(shù)學中有著相當重要的地位與作用.構(gòu)造法是一種靈活的思維方式，沒有固定的模式和方式，在中學數(shù)學中經(jīng)常使用的

6、幾種構(gòu)造法有構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造方程法，構(gòu)造圖形法，構(gòu)造數(shù)列法，構(gòu)造向量法，構(gòu)造復數(shù)法等.二、經(jīng)常使用的構(gòu)造法一、構(gòu)造函數(shù)法函數(shù)是中學數(shù)學的主體內(nèi)容，能夠說是貫穿整個中學時期，函數(shù)與中學數(shù)學的很多內(nèi)容都緊密相關，如代數(shù)式、方程、不等式和數(shù)列等.構(gòu)造函數(shù)法是中學數(shù)學中經(jīng)常使用的一種思想方式,它的實質(zhì)確實是依照問題的本質(zhì)特點構(gòu)造一種新的輔助函數(shù)，從而使問題簡單化，再依照函數(shù)的性質(zhì)加以解決.這種思想方式能夠訓練學生的思維，增強學生的思維靈活性、開拓性、制造性和綜合運用能力.在中學數(shù)學的學習中，咱們常常會碰到一些看似復雜，無從下手的難題，現(xiàn)在咱們假設能看透問題本質(zhì)，依照題設條件巧妙地構(gòu)造一個新的函數(shù)，常能

7、取得“柳暗花明”“豁然爽朗”的成效.應用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關系是一關犍步驟，大體可分為下面兩個步驟:（1）依照題意成立變量之間的函數(shù)關系式，把問題轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)問題：（2）依照需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關知識解決問題.例1：試求證,'J-K1+k+M1+悶+網(wǎng)分析：此題用常規(guī)的證明不等式的方式來證明會很困難，咱們觀看發(fā)覺不等式左右兩邊式子、Y的形式相同，從而咱們能夠構(gòu)造一個一樣的函數(shù)形式：/（X）=，再利用函數(shù)的單調(diào)v7+X性來證明.xeO,-Hc).解：構(gòu)造函數(shù)/（X）=亡則“'=77、5（1+X）即函數(shù)/（工）=£在概念域內(nèi)單調(diào)遞增,又因為|a+4

8、W4+W，因此/(,+)</(同+例)£ a+h-1 +同+網(wǎng)從而命題得證.二、構(gòu)造方程法方程是數(shù)學解題中的一個重要工具，是聯(lián)系已知量和未知量的橋梁，是整個數(shù)學知識體系中必不可少的基石.構(gòu)造方程法是多種構(gòu)造法中不可不提及的一種重要的思想方式，它是中學數(shù)學中的大體方式之一，簡單來講，構(gòu)造方程法確實是在解題時依照問題的結(jié)構(gòu)特點和數(shù)量關系，找出相等關系，再運用數(shù)學符號將這種相等關系轉(zhuǎn)化為方程，使問題中的隱含關系明朗化，再通過解方程使問題迅速獲解.靈活的運用構(gòu)造方程法的關鍵是要擅長觀看、擅長發(fā)覺，認真分析，不斷提高對數(shù)字及數(shù)量關系的靈敏度.在運用構(gòu)造方程法解題時只要能成功建構(gòu)符合題意的

9、方程或方程組，那么離成功解決問題就只有一步愈甚者是半步之遙了.構(gòu)造方程法在中學數(shù)學中的應用十分普遍，用法超級靈活，咱們在此僅舉個別具有代表性的例子加以說明.例2：試問是不是存在周長為6,面積為整數(shù)的直角三角形？假設不存在，請給出證明；假設存在，請證明并說明有幾個.分析：題目是關于三角形的問題，有著明顯的數(shù)量關系，咱們能夠試著從方程的角度去解決問題.解：如此的直角三角形有且只有一個.設那個直角三角形的兩直角邊別離為斜邊為c,面積為S,a+b+c=6.a+h=6-c那么有，），取得6/2+Z?2=c2c心=188顯而易見，泊是方程/一（6辦;+（18&）=0的兩個實根，因此，A=（6-c4

10、（186c）20解得0之&756.2.4又因為。<。+8=6。，因此c<3因為s=l=9-女是整數(shù)，因此女是整數(shù).2又由7.2w3cv9知女=7或女=8當女=7時，5=2,方程組JX"+"）="無解，因此女工7.ab=4，小父什1"切+）=1°儼知5-R.5+77813c=8時，5=I>有'7,解得。=,b=,c=-ab=2333綜上，如此的直角三角形有且只有一個.例3：已知竺二=1,求證。-4a分析：這道題用一樣的方式，通過放縮也能夠解決，可是稍顯繁瑣，若是能夠構(gòu)造方程來證明，那么一目了然.證明：至j

11、3;=l等價于a-22+2+c=0（aW0）顯然那個一元二次方程有實根-=那么有=一4。之0,即之44c3、構(gòu)造圖形法恩格斯曾說“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系”.“數(shù)”與“形”是數(shù)學的大體研究對象，它們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關系.我國聞名數(shù)學家華羅庚教授也曾說過：”數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非.”當咱們解決較為抽象的代數(shù)問題時，能夠通過構(gòu)造圖形將它合理轉(zhuǎn)化為幾何問題，如此能夠增強問題的直觀性，使解答事半功倍.構(gòu)造圖形法是指依照題設條件中的數(shù)量關系的幾何意義，啟發(fā)思維，構(gòu)造某種圖形，使題設中的數(shù)量關系以直觀、形象

12、的方式在圖形中取得表現(xiàn),進而利用幾何性質(zhì)解決問題.假假想將構(gòu)造圖形法運用自如,第一咱們要熟悉、把握一些大體的幾何構(gòu)圖，然后調(diào)整思維視角，觀看條件的本質(zhì)特點再加以合理的聯(lián)想.巧用構(gòu)造圖形法不僅能夠使代數(shù)與幾何知識彼此滲透，還能夠培育學生分析、解決問題的能力，綜合運用能力，探討能力和建模能力，而且對學生制造性思維的開發(fā)與培育也大有裨益，使學生在數(shù)學學習中獲益匪淺.例4：試求J1+Y+14+(4-+,(0«44)的最小值.分析：這道題若是用一樣方式解決，很難找到切入點.咱們觀看這道“難題”，依照式子的特點構(gòu)造直角三角形，將問題簡化.解：如圖1,作AB=4,AC_L4及8OJ_AB,且AC=

13、1,BD=2,P為AB上一動點.設=那么0C=Jl+x?,p0="+(4*)2.假設使V1+x2+4+(4-x)2,(0<x<4)的值最小，只需使得PC+PD的值最小即可.如圖2,作C關于AB的對稱點C',連接CZ>交A8于P.X14易想AaAC'T-p,從網(wǎng)有匚:2,解得X="那么解得。C+0。的最小值為5,即Jl+x2+j4+(4-x,(O«xW4)的最小值為5.4、構(gòu)造數(shù)列法等差數(shù)列、等比數(shù)列是中學數(shù)學的要緊內(nèi)容之一，不僅數(shù)列本身能夠自成題目，有時咱們還能夠運用數(shù)列解決看似非數(shù)列的問題，這種方式即是構(gòu)造數(shù)列法.構(gòu)造數(shù)列法是指

14、在解題時，通過聯(lián)想，將題設條件和結(jié)論聯(lián)系起來，恰本地構(gòu)造一個能幫忙解決問題的輔助數(shù)列,并利用那個數(shù)列的相關性質(zhì)達到解題的目的.解題的進程包括著多次思維的轉(zhuǎn)化進程，在用從條件到結(jié)論的定向性直接思維解題時碰到困難，若是咱們分析問題所提供的信息明白它的本質(zhì)結(jié)構(gòu)與數(shù)列有關，就能夠夠考慮用構(gòu)造數(shù)列法加以解決，往往能達到意想不到的成效.例5：求方程組,4+打口=5的實數(shù)解xy-x=36分析：此題假設用解方程的方式循序漸進的來解會很麻煩，咱們咱們通過構(gòu)造數(shù)列來求解方程.解：因為«+后二1=5,因此有，7,1,后口成等差數(shù)列.設此等差數(shù)列公差為d,那么有，？=1，/，尸？=+"(、2/-、

15、2將上式代人xy-x=36取得工(了-1)=-d+d=36<2/2>，5yi即-I"2=6,求得c/=±uJ2當”=!時，x=4,y=10；2當”=-_L時，x=9,y=52-y-4ii-9故原方程組的解為4一或I一.y=10y=5例6：求證端+3C；+5C；+(2?+1用；=(a+1)2”分析：咱們能夠?qū)⒌仁阶髠?cè)看做是一個數(shù)列的前項和，再運用倒序相加法加以解決.解：設S“=+3C：+5C".+(2h+1片,S”=(27+1)0+5盤+n+£；=伽+1內(nèi)+5C；T+3C：t+G，兩項相加得，珥,=2(/+D6+c+c+c)=2(n+l)-2n

16、因此S”=(+l>2",即問題得證.五、構(gòu)造向量法向量是高中數(shù)學的必修內(nèi)容之一，它融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁和紐帶，是中學數(shù)學知識的交匯點，是聯(lián)系眾多知識的媒介.利用向量這一工具解決函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何等類型的題目，能夠使問題直觀化、符號化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向''定量”研究，使一些復雜的問題簡單化，從而能夠簡練、巧妙地解決問題.構(gòu)造向量法是一種新穎、獨特的思維方式,靈活自如地運用向量法需要咱們熟悉把握向量的相關知識，對數(shù)學知識有全面系統(tǒng)的把握與熟悉，了解什么樣的問題能夠用構(gòu)造向量

17、法來解決.構(gòu)造向量法為中學數(shù)學增添了新的活力,為咱們研究數(shù)學問題提供了一種嶄新的思維視角，是高層次思維的反映.應用構(gòu)造法解題能夠進展學生思維，提高學生綜合運用知識的能力，更能挖掘?qū)W生的潛力.例7：如圖，在AA8C中，點M是8C中點，AN=2NC,AW與8N的交點是P,求AP.PM的值.分析：在中學數(shù)學中咱們常常會用平面向量的知識來解決關于三角形的問題，從而使問題簡單化，易于明白得AP=/L4M=-3歷一雞，BP=rBN=2即產(chǎn)岫則BA=BP-AP=(3A+(X+2/)%；又因為麗=反+巨I依照平面向量大體定理，有,"+"=3,解得2+2/=2因此而=金麗7,即AP:PjW=

18、4:1例8：如圖，四棱錐。一ABCD中，底而ABCD是平行四邊形，NDAB=60,AB=2AD,PDlABCD.(1)證明PA_LP£：（2）若夕。=AO,求二面角A一-C的余弦值.分析：立體幾何的問題咱們用一樣方式能夠解決，可是有時可能比較麻煩乃至是無法解決,若是咱們能成立適合的空間直角坐標系，用向量的方式加以解決，往往易于明白得，思路清楚.解：（1）因為NOA8=60,=由余弦定理得BD=6AD.從而BD2+AD2=AB2故3。_LAO又PO_L底面ABCD，可得5。1PD因此1.平面PAD.因此PA18。.（2）如右圖，以。為坐標原點，AO的長為單位長，QA所在直線為x軸成立空

19、間直角坐標系。一型，則A（l,0,0）8（0,瘋0）,C卜P（0,0,l）,AB=（-1,73,0）,方=（0,6,一1）BC（-l,0,0）*，設平面PA3的法向量為=（My,z），那么,.一=，iPB=0即卜:因此可令=（6,i,g）5，-z=o'7設平面P3C的法向量為?，那么，m-PB = Om- BC = 0則cos(mji)=S=_”,即二而角A-P3C的余弦值為-里.'/2"77六、構(gòu)造復數(shù)法復數(shù)由意大利米蘭學者卡當在十六世紀第一次引入，通過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等數(shù)學家的工作，復數(shù)的概念慢慢為大家所同意.復數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它有很多表示

20、法，如向量表示、三角表示、指數(shù)表示等，它的多種表現(xiàn)形式?jīng)Q定了復數(shù)應用的普遍性，復數(shù)溝通了數(shù)學的各個分支.復數(shù)在中學數(shù)學中與其他內(nèi)容有著普遍而緊密的聯(lián)系.復數(shù)是實數(shù)的延伸，一些難以解決的實數(shù)問題能夠通過觀看、聯(lián)想轉(zhuǎn)化為復數(shù)問題，盡管數(shù)的結(jié)構(gòu)會變復雜，但常常會使問題簡單化，利用復數(shù)的表示形式及其性質(zhì)能夠很容易的解決，正所謂是“退一步開闊天空”.構(gòu)造復數(shù)法是一種獨特的數(shù)學方式，它具有簡練、易懂、令人線人一新的特點.例9：求證Ja？+0_匕)2N2豆，其中a,Z?e(O,l)分析：這是一道表面看起來很復雜的題，乍看之下恍如沒有一頷首緒，只要咱們認真觀看不難發(fā)覺，根號里的式子都是兩個數(shù)的平方和，令咱們聯(lián)想到復數(shù)的模.證明：令4=4+切，Z2=a+(i-b)i,z3=(-a)+bi,z4=(1-)+(1-/7)/則同=4廠+b-，|z2|=yja2+(1-Z?),|1=+b,|z41=(1-6/)+(1-Z?)因為同+同+同引&+Z2+Z3+4，且+Z?+號+4=|2+2，|=25/5因此上|+卜2|+同+匕|N20l即J+#+(1叫2+("/+(l-«)2+(l-Z?)2>2y/2三、終止語波利亞曾說：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從能夠接近它的方向去接近堡壘”.這說