構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用楊佳銅(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2020級(jí)1班吉林四平136000)指導(dǎo)教師：付軍(教授)摘要：構(gòu)造法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方式，往往能達(dá)到化危為易的成效.構(gòu)造法是一種制造性思維活動(dòng)，是培育學(xué)生創(chuàng)新思維的有效途徑,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有著普遍的應(yīng)用.本文依照構(gòu)造法的形式，別離從構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造方程，構(gòu)造圖形，構(gòu)造向量，構(gòu)造數(shù)列和構(gòu)造宣數(shù)法等六個(gè)方面來(lái)講明構(gòu)造法在中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：構(gòu)造法進(jìn)展中學(xué)應(yīng)用意義中圖分類(lèi)號(hào)：Yangjiadi(Class1Grade2020,CollegeofMathematics,JilinNormalUniversity,SipingJilin

2、136000)DirectiveTeacher:FuJun(Professor)Abstract：Theconstructionmethodisanimportantmethodofsolvingmathematicalproblemsandusuallycanmaketheproblemseasy.Theconstructionmethodisakindofcreativethinkingactivity,istheeffectiveapproachestocultivatestudents'innovativethinkingandhasawiderangeofapplicatio

3、nsmmiddleschoolmathematics.Accordingtotheformofconstructionmethod,thispaperillustratesitsapplicationinmiddleschoolmathematicswithsixaspects.Theyareconstructor,structureequation,structuregraphs,structurevector,tectonicsequenceandconstructplural.Keywords：ConstructionmethodDevelopmentMiddleschoolApplic

4、ationMeaning一、引言構(gòu)造法能夠說(shuō)是在數(shù)學(xué)產(chǎn)生之時(shí)便存在了，直至19世紀(jì)末直覺(jué)主義學(xué)派基于數(shù)學(xué)可信性的考慮，提出了“存在必需是被構(gòu)造”的聞名觀點(diǎn)，第一次提出了“構(gòu)造法”那個(gè)術(shù)語(yǔ)并推動(dòng)了構(gòu)造法的進(jìn)展.構(gòu)造法大致經(jīng)歷了三個(gè)時(shí)期,第一時(shí)期是直覺(jué)數(shù)學(xué)時(shí)期:第二時(shí)期是算法數(shù)學(xué)時(shí)期，以馬爾科夫的算法數(shù)學(xué)為代表：第三時(shí)期是“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)”時(shí)期，以1867年美國(guó)數(shù)學(xué)家比肖泊發(fā)表的構(gòu)造性分析一書(shū)為開(kāi)端.伴隨著歷史的進(jìn)展，古今中外有很多聞名的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)用構(gòu)造法成功的解決過(guò)數(shù)學(xué)上的難題，例如歐幾里得用構(gòu)造法巧妙地證明了“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)窮的”，歐拉通過(guò)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型成功解決了聞名的哥尼斯保七橋問(wèn)題，又如我國(guó)

5、九章算術(shù)中的開(kāi)方術(shù)等等.時(shí)至今日，構(gòu)造法及其應(yīng)用在數(shù)學(xué)界仍有著極為重要的地位與作用.構(gòu)造法是一種制造性的思維方式，它的實(shí)質(zhì)確實(shí)是依照題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和內(nèi)在規(guī)律，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的比較簡(jiǎn)單或易于求解的新問(wèn)題，使問(wèn)題柳暗花明、豁然爽朗.靈活的運(yùn)用構(gòu)造法需要有豐碩的知識(shí)、較強(qiáng)的觀看能力和綜合運(yùn)用能力.基于構(gòu)造法的這種性質(zhì)，它對(duì)培育學(xué)生觀看問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力有著重要的作用，更能培育學(xué)生的制造性思維，開(kāi)拓思路，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的明白得，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛(ài)好，因此構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著相當(dāng)重要的地位與作用.構(gòu)造法是一種靈活的思維方式，沒(méi)有固定的模式和方式，在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的

6、幾種構(gòu)造法有構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造方程法，構(gòu)造圖形法，構(gòu)造數(shù)列法，構(gòu)造向量法，構(gòu)造復(fù)數(shù)法等.二、經(jīng)常使用的構(gòu)造法一、構(gòu)造函數(shù)法函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，能夠說(shuō)是貫穿整個(gè)中學(xué)時(shí)期，函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容都緊密相關(guān)，如代數(shù)式、方程、不等式和數(shù)列等.構(gòu)造函數(shù)法是中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的一種思想方式,它的實(shí)質(zhì)確實(shí)是依照問(wèn)題的本質(zhì)特點(diǎn)構(gòu)造一種新的輔助函數(shù)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，再依照函數(shù)的性質(zhì)加以解決.這種思想方式能夠訓(xùn)練學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生的思維靈活性、開(kāi)拓性、制造性和綜合運(yùn)用能力.在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，咱們常常會(huì)碰到一些看似復(fù)雜，無(wú)從下手的難題，現(xiàn)在咱們假設(shè)能看透問(wèn)題本質(zhì)，依照題設(shè)條件巧妙地構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，常能

7、取得“柳暗花明”“豁然爽朗”的成效.應(yīng)用函數(shù)思想解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)犍步驟，大體可分為下面兩個(gè)步驟:（1）依照題意成立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題：（2）依照需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.例1：試求證,'J-K1+k+M1+悶+網(wǎng)分析：此題用常規(guī)的證明不等式的方式來(lái)證明會(huì)很困難，咱們觀看發(fā)覺(jué)不等式左右兩邊式子、Y的形式相同，從而咱們能夠構(gòu)造一個(gè)一樣的函數(shù)形式：/（X）=，再利用函數(shù)的單調(diào)v7+X性來(lái)證明.xeO,-Hc).解：構(gòu)造函數(shù)/（X）=亡則“'=77、5（1+X）即函數(shù)/（工）=£在概念域內(nèi)單調(diào)遞增,又因?yàn)閨a+4

8、W4+W，因此/(,+)</(同+例)£ a+h-1 +同+網(wǎng)從而命題得證.二、構(gòu)造方程法方程是數(shù)學(xué)解題中的一個(gè)重要工具，是聯(lián)系已知量和未知量的橋梁，是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中必不可少的基石.構(gòu)造方程法是多種構(gòu)造法中不可不提及的一種重要的思想方式，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的大體方式之一，簡(jiǎn)單來(lái)講，構(gòu)造方程法確實(shí)是在解題時(shí)依照問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和數(shù)量關(guān)系，找出相等關(guān)系，再運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)將這種相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，使問(wèn)題中的隱含關(guān)系明朗化，再通過(guò)解方程使問(wèn)題迅速獲解.靈活的運(yùn)用構(gòu)造方程法的關(guān)鍵是要擅長(zhǎng)觀看、擅長(zhǎng)發(fā)覺(jué)，認(rèn)真分析，不斷提高對(duì)數(shù)字及數(shù)量關(guān)系的靈敏度.在運(yùn)用構(gòu)造方程法解題時(shí)只要能成功建構(gòu)符合題意的

9、方程或方程組，那么離成功解決問(wèn)題就只有一步愈甚者是半步之遙了.構(gòu)造方程法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分普遍，用法超級(jí)靈活，咱們?cè)诖藘H舉個(gè)別具有代表性的例子加以說(shuō)明.例2：試問(wèn)是不是存在周長(zhǎng)為6,面積為整數(shù)的直角三角形？假設(shè)不存在，請(qǐng)給出證明；假設(shè)存在，請(qǐng)證明并說(shuō)明有幾個(gè).分析：題目是關(guān)于三角形的問(wèn)題，有著明顯的數(shù)量關(guān)系，咱們能夠試著從方程的角度去解決問(wèn)題.解：如此的直角三角形有且只有一個(gè).設(shè)那個(gè)直角三角形的兩直角邊別離為斜邊為c,面積為S,a+b+c=6.a+h=6-c那么有，），取得6/2+Z?2=c2c心=188顯而易見(jiàn)，泊是方程/一（6辦;+（18&）=0的兩個(gè)實(shí)根，因此，A=（6-c4

10、（186c）20解得0之&756.2.4又因?yàn)椤?lt;。+8=6。，因此c<3因?yàn)閟=l=9-女是整數(shù)，因此女是整數(shù).2又由7.2w3cv9知女=7或女=8當(dāng)女=7時(shí)，5=2,方程組JX"+"）="無(wú)解，因此女工7.ab=4，小父什1"切+）=1°儼知5-R.5+77813c=8時(shí)，5=I>有'7,解得。=,b=,c=-ab=2333綜上，如此的直角三角形有且只有一個(gè).例3：已知竺二=1,求證。-4a分析：這道題用一樣的方式，通過(guò)放縮也能夠解決，可是稍顯繁瑣，若是能夠構(gòu)造方程來(lái)證明，那么一目了然.證明：至j

11、3;=l等價(jià)于a-22+2+c=0（aW0）顯然那個(gè)一元二次方程有實(shí)根-=那么有=一4。之0,即之44c3、構(gòu)造圖形法恩格斯曾說(shuō)“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”.“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的大體研究對(duì)象，它們之間存在著對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系.我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家華羅庚教授也曾說(shuō)過(guò)：”數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非.”當(dāng)咱們解決較為抽象的代數(shù)問(wèn)題時(shí)，能夠通過(guò)構(gòu)造圖形將它合理轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，如此能夠增強(qiáng)問(wèn)題的直觀性，使解答事半功倍.構(gòu)造圖形法是指依照題設(shè)條件中的數(shù)量關(guān)系的幾何意義，啟發(fā)思維，構(gòu)造某種圖形，使題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系以直觀、形象

12、的方式在圖形中取得表現(xiàn),進(jìn)而利用幾何性質(zhì)解決問(wèn)題.假假想將構(gòu)造圖形法運(yùn)用自如,第一咱們要熟悉、把握一些大體的幾何構(gòu)圖，然后調(diào)整思維視角，觀看條件的本質(zhì)特點(diǎn)再加以合理的聯(lián)想.巧用構(gòu)造圖形法不僅能夠使代數(shù)與幾何知識(shí)彼此滲透，還能夠培育學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，綜合運(yùn)用能力，探討能力和建模能力，而且對(duì)學(xué)生制造性思維的開(kāi)發(fā)與培育也大有裨益，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲益匪淺.例4：試求J1+Y+14+(4-+,(0«44)的最小值.分析：這道題若是用一樣方式解決，很難找到切入點(diǎn).咱們觀看這道“難題”，依照式子的特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題簡(jiǎn)化.解：如圖1,作AB=4,AC_L4及8OJ_AB,且AC=

13、1,BD=2,P為AB上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)=那么0C=Jl+x?,p0="+(4*)2.假設(shè)使V1+x2+4+(4-x)2,(0<x<4)的值最小，只需使得PC+PD的值最小即可.如圖2,作C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C',連接CZ>交A8于P.X14易想AaAC'T-p,從網(wǎng)有匚:2,解得X="那么解得。C+0。的最小值為5,即Jl+x2+j4+(4-x,(O«xW4)的最小值為5.4、構(gòu)造數(shù)列法等差數(shù)列、等比數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的要緊內(nèi)容之一，不僅數(shù)列本身能夠自成題目，有時(shí)咱們還能夠運(yùn)用數(shù)列解決看似非數(shù)列的問(wèn)題，這種方式即是構(gòu)造數(shù)列法.構(gòu)造數(shù)列法是指

14、在解題時(shí)，通過(guò)聯(lián)想，將題設(shè)條件和結(jié)論聯(lián)系起來(lái)，恰本地構(gòu)造一個(gè)能幫忙解決問(wèn)題的輔助數(shù)列,并利用那個(gè)數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)達(dá)到解題的目的.解題的進(jìn)程包括著多次思維的轉(zhuǎn)化進(jìn)程，在用從條件到結(jié)論的定向性直接思維解題時(shí)碰到困難，若是咱們分析問(wèn)題所提供的信息明白它的本質(zhì)結(jié)構(gòu)與數(shù)列有關(guān)，就能夠夠考慮用構(gòu)造數(shù)列法加以解決，往往能達(dá)到意想不到的成效.例5：求方程組,4+打口=5的實(shí)數(shù)解xy-x=36分析：此題假設(shè)用解方程的方式循序漸進(jìn)的來(lái)解會(huì)很麻煩，咱們?cè)蹅兺ㄟ^(guò)構(gòu)造數(shù)列來(lái)求解方程.解：因?yàn)?#171;+后二1=5,因此有，7,1,后口成等差數(shù)列.設(shè)此等差數(shù)列公差為d,那么有，？=1，/，尸？=+"(、2/-、

15、2將上式代人xy-x=36取得工(了-1)=-d+d=36<2/2>，5yi即-I"2=6,求得c/=±uJ2當(dāng)”=!時(shí)，x=4,y=10；2當(dāng)”=-_L時(shí)，x=9,y=52-y-4ii-9故原方程組的解為4一或I一.y=10y=5例6：求證端+3C；+5C；+(2?+1用；=(a+1)2”分析：咱們能夠?qū)⒌仁阶髠?cè)看做是一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和，再運(yùn)用倒序相加法加以解決.解：設(shè)S“=+3C：+5C".+(2h+1片,S”=(27+1)0+5盤(pán)+n+£；=伽+1內(nèi)+5C；T+3C：t+G，兩項(xiàng)相加得，珥,=2(/+D6+c+c+c)=2(n+l)-2n

16、因此S”=(+l>2",即問(wèn)題得證.五、構(gòu)造向量法向量是高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容之一，它融數(shù)、形于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁和紐帶，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯點(diǎn)，是聯(lián)系眾多知識(shí)的媒介.利用向量這一工具解決函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何等類(lèi)型的題目，能夠使問(wèn)題直觀化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向''定量”研究，使一些復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而能夠簡(jiǎn)練、巧妙地解決問(wèn)題.構(gòu)造向量法是一種新穎、獨(dú)特的思維方式,靈活自如地運(yùn)用向量法需要咱們熟悉把握向量的相關(guān)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有全面系統(tǒng)的把握與熟悉，了解什么樣的問(wèn)題能夠用構(gòu)造向量

17、法來(lái)解決.構(gòu)造向量法為中學(xué)數(shù)學(xué)增添了新的活力,為咱們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了一種嶄新的思維視角，是高層次思維的反映.應(yīng)用構(gòu)造法解題能夠進(jìn)展學(xué)生思維，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，更能挖掘?qū)W生的潛力.例7：如圖，在AA8C中，點(diǎn)M是8C中點(diǎn)，AN=2NC,AW與8N的交點(diǎn)是P,求AP.PM的值.分析：在中學(xué)數(shù)學(xué)中咱們常常會(huì)用平面向量的知識(shí)來(lái)解決關(guān)于三角形的問(wèn)題，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，易于明白得AP=/L4M=-3歷一雞，BP=rBN=2即產(chǎn)岫則BA=BP-AP=(3A+(X+2/)%；又因?yàn)辂?反+巨I依照平面向量大體定理，有,"+"=3,解得2+2/=2因此而=金麗7,即AP:PjW=

18、4:1例8：如圖，四棱錐。一ABCD中，底而ABCD是平行四邊形，NDAB=60,AB=2AD,PDlABCD.(1)證明PA_LP£：（2）若夕。=AO,求二面角A一-C的余弦值.分析：立體幾何的問(wèn)題咱們用一樣方式能夠解決，可是有時(shí)可能比較麻煩乃至是無(wú)法解決,若是咱們能成立適合的空間直角坐標(biāo)系，用向量的方式加以解決，往往易于明白得，思路清楚.解：（1）因?yàn)镹OA8=60,=由余弦定理得BD=6AD.從而B(niǎo)D2+AD2=AB2故3。_LAO又PO_L底面ABCD，可得5。1PD因此1.平面PAD.因此PA18。.（2）如右圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，QA所在直線(xiàn)為x軸成立空

19、間直角坐標(biāo)系。一型，則A（l,0,0）8（0,瘋0）,C卜P（0,0,l）,AB=（-1,73,0）,方=（0,6,一1）BC（-l,0,0）*，設(shè)平面PA3的法向量為=（My,z），那么,.一=，iPB=0即卜:因此可令=（6,i,g）5，-z=o'7設(shè)平面P3C的法向量為?，那么，m-PB = Om- BC = 0則cos(mji)=S=_”,即二而角A-P3C的余弦值為-里.'/2"77六、構(gòu)造復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)第一次引入，通過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等數(shù)學(xué)家的工作，復(fù)數(shù)的概念慢慢為大家所同意.復(fù)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它有很多表示

20、法，如向量表示、三角表示、指數(shù)表示等，它的多種表現(xiàn)形式?jīng)Q定了復(fù)數(shù)應(yīng)用的普遍性，復(fù)數(shù)溝通了數(shù)學(xué)的各個(gè)分支.復(fù)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中與其他內(nèi)容有著普遍而緊密的聯(lián)系.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的延伸，一些難以解決的實(shí)數(shù)問(wèn)題能夠通過(guò)觀看、聯(lián)想轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問(wèn)題，盡管數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)變復(fù)雜，但常常會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，利用復(fù)數(shù)的表示形式及其性質(zhì)能夠很容易的解決，正所謂是“退一步開(kāi)闊天空”.構(gòu)造復(fù)數(shù)法是一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)方式，它具有簡(jiǎn)練、易懂、令人線(xiàn)人一新的特點(diǎn).例9：求證Ja？+0_匕)2N2豆，其中a,Z?e(O,l)分析：這是一道表面看起來(lái)很復(fù)雜的題，乍看之下恍如沒(méi)有一頷首緒，只要咱們認(rèn)真觀看不難發(fā)覺(jué)，根號(hào)里的式子都是兩個(gè)數(shù)的平方和，令咱們聯(lián)想到復(fù)數(shù)的模.證明：令4=4+切，Z2=a+(i-b)i,z3=(-a)+bi,z4=(1-)+(1-/7)/則同=4廠+b-，|z2|=yja2+(1-Z?),|1=+b,|z41=(1-6/)+(1-Z?)因?yàn)橥?同+同引&+Z2+Z3+4，且+Z?+號(hào)+4=|2+2，|=25/5因此上|+卜2|+同+匕|N20l即J+#+(1叫2+("/+(l-«)2+(l-Z?)2>2y/2三、終止語(yǔ)波利亞曾說(shuō)：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從能夠接近它的方向去接近堡壘”.這說(shuō)