分形真實還是想象

1、分形-真實還是想象？多少世紀(jì)以來，人們總是用歐幾里得幾何的對象和概念（諸如點、線、平面、空間、正方形、圓）來描述我們這個生存的世界。而非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，引進(jìn)了描畫宇宙現(xiàn)象的新的對象。分形就是這樣一種對象。 分形的思想初見于公元1875至1925年數(shù)學(xué)家們的著作。這些對象被貼上畸形怪物的標(biāo)簽，人們深信它沒有絲毫的科學(xué)價值。它就是今天人們眾所周知的分形。分形一詞是曼德勃羅于1975年創(chuàng)造的，曼德勃羅在該領(lǐng)域有著廣泛的發(fā)現(xiàn)。 從嚴(yán)格意義上講，分形是這樣一種對象，將其細(xì)微部分放大后，其結(jié)構(gòu)看起來仍與原先的一樣。這與圓形成了鮮明的對比，把圓的一部分放大后便變得比較平直。分形可分為兩類：一是幾何分形，它不斷

2、地重復(fù)同一種花樣圖案；另一種是隨機分形。計算機和計算機繪圖能夠把這些"畸形怪物"可靠地帶回到生活中，在計算機的屏幕上，幾乎能夠立即產(chǎn)生分形，并顯示出它們奇妙的形狀、藝術(shù)圖案或細(xì)微的景觀。 可能有人感到，只有歐幾里得幾何的正規(guī)形狀才能應(yīng)用在科學(xué)中，然而上述新的形式卻從不同的透視角度向我們提供了認(rèn)識自然的觀點。分形是一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域-有時也把它歸為自然界的幾何，因為這些奇異而混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、樹、樹枝、生姜根、海岸線等自然現(xiàn)象，而且在天文、經(jīng)濟、氣象、電影制片等方面也有廣泛應(yīng)用。    普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的

3、維數(shù)。比如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空。最近十幾年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)，空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者的極大關(guān)注。分形幾何的產(chǎn)生  客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變。不少復(fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。  客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。還有的事物沒有特征尺度，就必須同時考

4、慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做“無標(biāo)度性”的問題。如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運動，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態(tài)，就要借助“無標(biāo)度性”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。  在二十世紀(jì)七十年代，法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。  如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會

5、增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個突出的點，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個自然限度之間，存在著可以變化許多個數(shù)量級的“無標(biāo)度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。  數(shù)學(xué)家寇赫從一個正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，并趨向于無窮大。以后可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸

6、線的分維均介于1到2之間。  這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質(zhì)中的流體運動和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對象。這些促使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何學(xué)。  電子計算機圖形顯示協(xié)助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個角落里都存在無限嵌套的迷宮和回廊，促使數(shù)學(xué)家和科學(xué)家深入研究。  法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特這位計算機和數(shù)學(xué)兼通的人物，對分形幾何產(chǎn)生了重大的推動作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是分形形、機遇和維數(shù)以及

7、自然界中的分形幾何學(xué)，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支分形幾何學(xué)。分形幾何的內(nèi)容  分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等方面具有統(tǒng)計意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)不變。  維數(shù)是幾何對象的一個重要特征量，它是幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點是零維的，還可以引入

8、高維空間，對于更抽象或更復(fù)雜的對象，只要每個局部可以和歐氏空間對應(yīng)，也容易確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。 維數(shù)和測量有著密切的關(guān)系，下面我們舉例說明一下分維的概念。當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用 0維的點來量它，其結(jié)果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是 0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值

9、哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1(大于0、小于2)。  對于我們上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是 0(此曲線中不包含平面)，那么只有找一個與“寇赫島”曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于 1、小于 2，那么只能是小數(shù)了，所以存在分維。經(jīng)過計算“寇赫島”曲線的維數(shù)是1.2618。分形幾何學(xué)的應(yīng)用  分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規(guī)則運動(布朗運動)，這是花粉在大量液

10、體分子的無規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2，大大高于它的拓?fù)渚S數(shù) 1。  在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近成績的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。  自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗干可以分出不規(guī)則的枝杈，每個枝杈繼續(xù)分為細(xì)杈，至少有十幾次分支的層

11、次，可以用分形幾何學(xué)去測量。  有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從 1公里到1000公里的無標(biāo)度區(qū)。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個數(shù)量級的無標(biāo)度區(qū)，這已經(jīng)足夠了。分形存在于這中間區(qū)域。  近幾年在流體力學(xué)不穩(wěn)定性、光學(xué)雙穩(wěn)定器件、化學(xué)震蕩反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，并從實驗數(shù)據(jù)中計算出它們的分維。學(xué)會從實驗數(shù)據(jù)測算分維是最近的一大進(jìn)展。分形幾何學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)上的應(yīng)用也正在成為有充實內(nèi)容的研究領(lǐng)域。集合論簡介初中畢業(yè)升入高一級學(xué)校的同學(xué)們會一致發(fā)現(xiàn)自己所學(xué)的第一

12、個數(shù)學(xué)概念都是：集合。這門研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被恰當(dāng)?shù)胤Q為集合論。它是數(shù)學(xué)的一個基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石，由此可見它在數(shù)學(xué)中的重要性。其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論的成就被譽為對二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。下面就讓我們一起去探究一下這門獨特而重要的數(shù)學(xué)理論的來龍去脈，追覓它所走過的曲折歷程吧。集合論的誕生集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的。十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果

13、。其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ)。十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數(shù)點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日?？低袪柕牟恍喙冊谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中我們所學(xué)習(xí)的只是集合論的最基本知識。學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們或許覺得一切都是很自然與簡單的，根本無法想象

14、它在誕生之日遭到激烈反對的情景，也體會不到康托爾的功績之所在。前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：“康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險邁進(jìn)”。因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會真正明白他工作的價值之所在和眾多反對之聲之由來。數(shù)學(xué)與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。因為這一原因，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念。但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開墾的處女地，開辟出一個奇妙無比的新世界。對無窮集的研究使他打開了“無限”這一

15、數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子。下面就讓我們來看一下盒子打開后他釋放出的是什么?！拔覀儼讶w自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集，用字母N來表示。”學(xué)過集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對這句話不會感到陌生。但同學(xué)們在接受這句話時根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做時是在進(jìn)行一項更新無窮觀念的工作。在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋。無限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實在。這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限。十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點。用他的話說，就是“我反對將無窮量作為一個實體，這在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一

16、個集合時，他是把無限的整體作為了一個構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱為實無限思想。由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當(dāng)時遭到一些數(shù)學(xué)家的批評與攻擊是無足為怪的。然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮。他在實無限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論。這一理論使人們真正進(jìn)入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。最能顯示出他獨創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數(shù)問題的研究。他提出用一一對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個數(shù)。他把元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為個數(shù)相同，用他自己的概念是等勢。

17、由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應(yīng)例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數(shù)。這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾。而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征。在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個數(shù)，他將其稱為可數(shù)集。又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集。后來當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)注集合也是可數(shù)集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數(shù)集。但出乎意料的是，他在1873年證明了實數(shù)集的勢大于自然數(shù)集。這不但意味著無理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人

18、描述的那樣：“點綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成?！倍?dāng)他得出這一結(jié)論時，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個而已。這是何等令人震驚的結(jié)果！然而，事情并未終結(jié)。魔盒一經(jīng)打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數(shù)集這一個無窮數(shù)的怪物。從上述結(jié)論中康托爾意識到無窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級，可分為不同的層次。他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次。他取得了成功，并且根據(jù)無窮性有無窮種的學(xué)說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為“超限數(shù)”。他用希伯萊字母表中第一個字母“阿列夫”來表示超限數(shù)的精靈，最終他建立了關(guān)于無限的所謂阿列

19、夫譜系 它可以無限延長下去。就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景。可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結(jié)論在當(dāng)時會如何震動數(shù)學(xué)家們的心靈了。毫不夸張地講，康托爾的關(guān)于無窮的這些理論，引起了反對派的不絕于耳的喧囂。他們大叫大喊地反對他的理論。有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”，稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”。作為對傳統(tǒng)觀念的一次大革新，由于他開創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的。當(dāng)回頭看這段歷史時，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨創(chuàng)性成果的一種褒揚吧。公理化集合論的建立集合論提出伊

20、始，曾遭到許多數(shù)學(xué)家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰。然而集合論前后經(jīng)歷二十余年，最終獲得了世界公認(rèn)。到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同。數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了。他們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論的概念，便可以建造起整個數(shù)學(xué)的大廈。在1900年第二次國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了?！比欢@種自得的情緒并沒能持續(xù)多久。不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界。這就是1902年羅素得出

21、的羅素悖論。羅素構(gòu)造了一個所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R?，F(xiàn)在問R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R；另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬于R。這樣，不論何種情況都存在著矛盾。這一僅涉及集合與屬于兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地。絕對嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中。這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機。危機產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機的工作中去。1908年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱ZF公理系統(tǒng)。原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論。與此相對應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去。從康托爾提出集合