二階常微分方程解存在的問題

1、二階常微分方程解的存在問題分析摘要本文首先介紹了二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般解法一一特征方程法 及二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法,然后又介紹了一些可降階的微 分方程類型.接著,討論了二階變系數(shù)微分方程的幕級數(shù)解法并論述了如何利用 變量代換法將某些變系數(shù)方程化為常系數(shù)方程.另外,本文還介紹了求解初值問本的另一種方法一一拉普拉斯變換法. 最后,給出了二階微分方程的存在唯一性 定理的證實以及它在科學研究、工程技術(shù)以及數(shù)學建模中解決實際問題的一些應 用.1 .引言常微分方程的開展過程與研究途徑二階線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程.這不僅是由于其一般理論已經(jīng)研究地比較清楚,而且還

2、由于它是研究非線性微分方程的根底,在工程 技術(shù)和自然科學中有著廣泛的應用. 在科學研究、工程技術(shù)中,常常需要將某些 實際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問題. 因此,研究不同類型的二階常微分方程的 求解方法及探討其解的存在唯一性問題是十分重要的.常微分方程已有悠久的歷史,而且繼續(xù)保持著進一步開展的活力,主要原因 是它的根源深扎在各種實際問題之中.牛頓最早采用數(shù)學方法研究二體問題,其中需要求解的運動方程就是常微分 方程.他把兩個物體都理想化為質(zhì)點,得到3個未知函數(shù)的3個二階方程組,經(jīng) 簡單計算證實,可化為平面問題,即兩個未知函數(shù)的兩個二階微分方程組.用現(xiàn) 在叫做 首次積分的方法,完全解決了它的求解問題.

3、17世紀就提出了彈性問題, 這類問題導致懸鏈線方程、振動弦的方程等等.20世紀30年代直至現(xiàn)在,是常微分方程各個領(lǐng)城迅速開展、形成各自相對 獨立的而又緊密聯(lián)在一起的分支學科的時期.1927 1945年間定性理論的研究主要是跟無線電技術(shù)聯(lián)系在一起的.第二 次世界大戰(zhàn)期間由于通訊等方面的要求越來越高, 大大地激發(fā)了對無線電技術(shù)的 研究,特別是非線性振動理論的研究得到了迅速的開展.40年代后數(shù)學家們的注意力主要集中在抽象動力系統(tǒng)的拓撲特征,如閉軌是否存在、結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定等,對于二維系統(tǒng)已證實可以通過奇點及一些特殊的閉 軌和集合來判斷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與否；而對于一般系統(tǒng)這個問題尚未解決.在動力系 統(tǒng)理論方面,

4、我國著名數(shù)學家廖山濤教授,用從典范方程組到阻礙集一整套理論 和方法,解決了一系列主要問題,特別是C'封閉引理的證實,對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的充 要條件等方面都作出了主要奉獻.問題的研究現(xiàn)狀在當代由電力網(wǎng)、城市交通網(wǎng)、自動運輸網(wǎng)、數(shù)字通訊網(wǎng)、靈活批量生產(chǎn)網(wǎng)、 復雜的工業(yè)系統(tǒng)、指令限制系統(tǒng)等提出大系統(tǒng)的數(shù)學模型是常微分方程組描述 的.對這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究,引起了越來越多學者的興趣,但目前得到的成果 仍然只是初步的.常微分方程的概念、解法和其它理論很多,比方,方程和方程組的種類及解 法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等.下面就方程解的有關(guān)幾點簡述 一下,以了解常微分方程的特點.求通解在歷史上曾

5、作為微分方程的主要目標, 一旦求出通解的表達式,就容 易從中得到問題所需要的特解.也可以由通解的表達式,了解對某些參數(shù)的依賴 情況,便于參數(shù)取值適宜,使它對應的解具有所需要的性能, 還有助于進行關(guān)于 解的其他研究.后來的開展說明,能夠求出通解的情況不多,在實際應用中所需要的多是 求滿足某種指定條件的特解.當然,通解是有助于研究解的屬性的,但是人們已 把研究重點轉(zhuǎn)移到定解問題上來.一個常微分方程是不是有特解呢如果有,又有幾個呢這是微分方程論中一個 根本的問題,數(shù)學家把它歸納成根本定理,叫做存在和唯一性定理.存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的. 由于大局部的常微分 方程求不出十分精確的

6、解,而只能得到近似解.當然,這個近似解的精確程度是 比較高的.微分方程的近似解法(包括數(shù)值解法)具有十分重要的實際意義,而 解的存在和唯一又是進行近似計算的前提. 由于如果解根本不存在,卻要去近似 地求它,問題本身是沒有意義的；如果有解存在而不唯一,由于不知道要確定是 哪一個解,卻要去近似地確定它,問題也是不明確的.解的存在唯一性定理保證 了所要求的解的存在和唯一,因此它也是近似求解的前提和理論根底.止匕外,我 們將看到在定理的證實中還具體地提出了求近似解的途徑,這就更增添了存在唯一性定理的實用意義.由于種種條件的限制,實際測出的初始數(shù)據(jù)往往是不精確的, 它只能近似地 反映初始狀態(tài).因此我們以

7、它作為初值條件所得到的解是否能用做真正的解呢這 就產(chǎn)生了解對初值的連續(xù)依賴性問題, 即當初值微小變動時,方程的解的變化是 否也是很小呢如果不然的話,這樣所求得的解就失去了實用的意義,由于它可能 與實際情況產(chǎn)生很大的誤差.在科學研究、工程技術(shù)中,常常需要將某些實際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程 問題,因此,研究不同類型的二階常微分方程的求解方法及探討其解的存在唯一 性問題,是十分重要的.問題研究存在的缺乏與前景現(xiàn)今對于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就,尤其在二階常系數(shù) 線性微分方程的求解問題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效.二階微分方程的解的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性,而且還有著

8、廣泛的應用.而事級數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法,其過程還是比較繁瑣的,計算量偏大,且需要考慮函數(shù)是否解析,幕級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等. 另外,對于二階變系數(shù)非齊次微分方程,目前還尚有通用的求解方法,只有一些 特殊類型是可以求解的.應該說,應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就, 但是,它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要, 還有待于進一步的開展,使這門學 科的理論更加完善.2 .常系數(shù)線性微分方程的解法二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法一一特征方程法 假設(shè)yi,y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程y'' py' qy 0,其中p,q均為常數(shù)()的兩個線性無關(guān)

9、的解,那么()的通解就可表示成y C» C2 y2 gQ為任意常數(shù)由此可知,只要找到方程的兩個線性無關(guān)的解,就能求出的通解.我們知道,當r為常數(shù)時,函數(shù)y erx和它的各階導數(shù)只相差一個常數(shù).因此,可以設(shè)想有形如y erx的解,將y erx代入方程得：erxr2 pr q 0又erx 0 ,那么必有2r pr q 0即如果y erx是的解,那么r必滿足方程.反之,假設(shè)r滿足方程,那么y erx就是的一個特解.我們稱方程是方程的特征方程,它的根就稱為特征根,且特征根PP2 4q1,22.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進行討論.1有兩個不相等的實根0：P P2 4qpp2 4qri , r

10、2 22易知y eri¥Dy er2x是方程的兩個線性無關(guān)的特解,那么方程的通 解為：y C1erix C2er2x ；2有兩個相等的實根0:Pri r22易知y erix是方程的一個特解,設(shè)另一特解為 y Cxerix ,將y2代入 到得：C'' 2 pC' ri2 pr qC 0又h 2p2 4q ,那么可得C'' 0,不妨取C(x) x ,代入()得:2y xe：那么方程()的通解為：y (Ci C2x)erix ；3)有一對共腕復根(0):r1i , r2i易知yi e( i)x與y2 e( i )x是方程()的兩個線性無關(guān)的復信解.而

11、e( i )x e x(cos x i sin x) , e( i )x e x(cos x i sin x)假設(shè)取11 yi(yiy2)excos x, y2 -(yiy)e xsin xy e x cos由解的疊加性知,yi,y2也是方程()的兩個特解,又常數(shù),xx - cot xy2 e sin x于是,y,y2就是方程()的兩個線性無關(guān)的實值解.從而方程()的通解為:x -y e (Ci cos x Czsin x).下面舉個例子進行簡單說明. '''例 i ： y 2y y 0解：特征方程為2-2 i 0特征根為 年i (二重),故所求同解為x .y e (C

12、i C2x).例 2： y 4y i3y 0特征方程為4 i3 0特征根為1,2-2 3i,故所求同解為 y e2x(C1cos3x C2sin 3x)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法現(xiàn)在討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y'' py' qy f(x)()的求解問題.這里p,q是常數(shù),f(x)是連續(xù)函數(shù).我們可以由其對應的齊次線性微分方程的通解出發(fā),使用常數(shù)變易法求出()的特解.因而,只要能求出()的特征根,()的求解問題就已經(jīng)解決.但是, 這樣的方法往往是比較繁瑣的,而且必須經(jīng)過積分運算.事實上,只要求得方程()的通解,再求出該方程的一個特解,就可得出它的通解表達式.

13、下面,我們討論當f(x)是某些特殊形式的連續(xù)函數(shù)時,所適用的求解其特解的簡便方法一一待定系數(shù)法. , 、 一 , 、 x類型：f(x) Pn(x)e設(shè)Pn(x)是n次多項式,即Pn(x) p°xn pxn 1 Pn / Pn ( n 1 )(1)當 不是特征根時,()有形如y(x) Qn(x)ex的特解,其中Qn(x)是關(guān)于x的n次待定的多項式,即n / nn 1Qn(x) q°xqxqn iX qn(2)當 是? 1)重特征根時,()有形如y(x) xkQn(x)ex的特解,其中Qn(x)也是形如上述的n次多項式.其中y(x)中Qn(x)的系數(shù)可以由待定系數(shù)法 求得.例

14、3: 2y 3y y 4 ex解：對應齊次方程的特征方程為1、 . _.特征根為1 -1, 2 -,齊次萬程的通解為1 xyC1ex C2e 2由于0, 1都不是特征根,故方程有形如y1 A Bex的特解.將上式代入方程,得1A 4, B6即1 xy14 -e6因而,所求通解為1 xyC1e x C2e 22)類型H :f (x) (Pm(x)cos x Pn (x)sin x)ex其中,Pm(x)、Pn(x)分別為兩個的關(guān)于x的m次和n次多項式,為常數(shù).由歐拉公式,得cosi x i xe e ,sin2i x i x e e2i故f (x)可以改寫成f (x)Pm(x)ePn(x)ei x

15、 i xx e e2i(i ) xPm(x)ePn(x)e(i )x()其中,Pm(x), Pn(x)分別是m次和n次多項式.可以看出,()式就相當于兩個類型I形狀的函數(shù)相加.由非齊次方程的疊 加原理,就可求出類型II的特解了.設(shè)有二階非齊次方程()y'' py' qyfi(x)f?(x)且y(x), y2(x)分別是方程y'' py' qy fi(x), y'' py' qy f2(x)的解,那么函數(shù)yi(x) y2(x)是方程()的解.根據(jù)疊加原理及類型I討論的結(jié)果,我們有1)當 i不是特征根時,()有如下形式的特解y

16、(x)P:(1)(x)e( i )x pj2)(x)e( i )x即y(x) e xpl(1)(x)cos x p(x)sin x()2)當 i是女(1)重特征根時,()有如下形式的特解/ kr *(1) / ( i )x *(2) / ( i )x_,八y(x) xR (x)epi(x)e ()即y(x) xke x pl(1)(x)cos x pl(x)sin x()其中 R*(1)(x),R*(x), R(x),R(2)(x)為兩個待定多項式,l max(m,n), l 、,、/,、,、/, 、,、/,/.注意：當Pm(x)、P/x)中有一個恒為零時,方程()仍具有形如()、()的特解.

17、即不能當Pm(x) 0時,就令Pi(x) 0,而Pn(x) 0時,就令P(2)(x) 0.''''例 4: y 4y 4y cos2x解：特征方程為2,2 一44 (2)0 ,它有二重特征根-2.另一方面,方程的非齊次項為 cos2x -(ei2x ei2x).由2此可見,相應的 2i與特征根-2是不相等的.因此,我們可設(shè)方程有特解y1acos2x bsin 2x其中常數(shù)a和b待定.把它代入原方程,得出8bcos2x 8asin2x cos2x,由此推知1a 0, b 一.8所以,原方程的通解為y (C1 C2x)e2x 1sin2x.83二階微分方程的降階和哥

18、級數(shù)解法可將階的一些方程類型1.方程不顯含未知函數(shù)y和未知函數(shù)的一階導數(shù)y',即y'' f(x)()假設(shè)令y' P,那么y'1型 P',那么方程()即降為關(guān)于P的一階微分方程dxP' f(x),兩邊積分得：p f (x)dxCi ,兩邊再次積分,就能得到方程()的通解2.方程不顯含未知函數(shù)y,即()假設(shè)令y' p ,那么方程()就變?yōu)閥'' f(x, y')P' f(x, P),這是一個關(guān)于x, p的一階微分方程.例 5: xy'' (x2 1)(y1 1) 0解：將方程化為'

19、;'yy i令y,z,那么上式化為,x2 1ln(z -1)x兩邊積分得ln( z 1) In x因此x2y C1xe再積分一次的通解x2yC1e 2 x C2x,即假設(shè)令y' p ,那么那么方程就變?yōu)閥''()y,型 dx生包p曳dy dx dy3.方程不顯含自變量dpp f(y, p)dy這是一個關(guān)于y, p的一階微分方程.例 6:求解 yy (y )2 y2y0解：這是不顯含x的二階方程.易見y 0為一解.假設(shè)y 0,方程兩邊同除以y2得"'9y (yj_令y,''p, y型蛆業(yè)pdp,那么方程可化為 dx dy dx d

20、ydp dy即有p1, y所以上式通解為2p y Cy從而得到dy yy Cdx將變量別離,兩邊積分得InCx C1y c化簡得原方程通解為、,CeCx C1y -Cx C11 eC,C為任意常數(shù),這是特解y 0包含于上述通解中.4.恰當導數(shù)方程型二階微分方程也可以表示成F(x, y, y',y'1) 0的形式.假設(shè)方程F(x,y,y',y'') 0()的左端恰為某一函數(shù)G(x, y, y') 0對x的全導數(shù),即d G(x,y,y') F(x, y, y',y'') dx那么稱方程()為恰當導數(shù)方程.于是,方程()

21、可寫成d丁 G(x,y,y') 0dx那么有G(x,y,y') C , ( C為任意常數(shù))這樣就把原方程降為了一階微分方程.例 7: yy'' (y')2 2x 0解：這是一個不顯含x二階方程.將原方程寫為 ''2_(yy) x c積分一次得yy x Ci即y21 2 '(- x ) Ci22兩邊積分得C1xC2因而,原方程的通解為3y2 2clx 2C235.關(guān)于未知函數(shù)及其各階導數(shù)都是齊次的方程方程F (x, y, y',y'1) 0關(guān)于未知函數(shù)及其各階導數(shù)都是齊次的是指F(x,y,y', y'

22、')滿足kF(x,ty,ty',ty'') t F(x, y,y',y'').zdx.作變換y e (z是新未知函數(shù)),那么有2dy zdx d yze ,2dxdx(z2dz、zdx代入到()中,有zdx 2 dz、 zdxF(x, ze ,(z2 dz)e )dx2 dz k zdxF(x,z,(z派90由于方程 F(x,y,y',y'')0關(guān)于未知函數(shù)及其各階導數(shù)都是齊次的,約去非零公zdx因子e ,得到F(x,z,(z2 dz) 0dx上式經(jīng)整理后可化為f(x,z,z') 0的形式,這就是關(guān)于新未知

23、函數(shù) z的一階微分zdx 、 一 、 一_. . zdxe.頭際問題中,我們作變換y e 后,方程.注意:假設(shè)y 0 ,那么可作變換y還要考慮y 0是不是方程的解.例8:求解方程4 ''3/,、3 o 2/,22'23x y x (y ) 3x (y) (3xy 2x)y 2x y y 0解：這是左端關(guān)于x,y,y',y''的三次齊次方程.令dy dx d2y dx2du dedu)d2ududu(T)30(*)du(*)d2udpdu(*)將(* ), (* )代入(*),得到/dp d 2.P( 1 P ) 0du因此p 0或曲' 1

24、 p2du由dp ,21 Pdu覆行p tan(u C1)即dutan(u C1) d再積分可得sin(u C1)C2e即原方程的通解為代入原方程,消去公因子e3彳馬到y(tǒng) xar sin(C2x) C1x由p 0得u C,即y Cx也是解,但此解包含在上述通解中.二階線性微分方程的幕級數(shù)解法二階線性微分方程Po(x)y'' pi(x) y' P2(x)y 0在近代物理學以及工程技術(shù)中有著廣泛的應用,但是,當它的系數(shù)Po(x), Pi(x), P2(x)不為常數(shù)時,它的解往往不能用“有限形式表示出來.而幕級數(shù)解法就解決了這個問題,它不但對于求解方程有意義,而且由此引出了很

25、多 新的超越函數(shù),在理論上具有很重要的地位.定理1如果Po(x), Pi(x), P2(x)在某點xo的鄰域內(nèi)解析,即它們可以展成(x xo)的幕級數(shù),且Po(xo) 0,那么()的解在x0的鄰域內(nèi)也能展成(x x°)的幕級數(shù)yan(x x°)n.()n 0定理2如果P0(x), Pi(x), P2(x)在某點x°的鄰域內(nèi)解析,而是P°(x)的s重零點,是Pi(x)的不低于s 1重的零點(假設(shè)s 1),是P2(x)的不低于s 2重的零點(假設(shè)s 2),那么方程()至少有一個形如y (x x°)ran(x x°)n()n0的廣義幕級數(shù)解

26、,其中r是某一常數(shù).二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化對二階變系數(shù)齊次線性微分方程y'' P(x)y' q(x)y 0()(其中P(x),q(x)均為連續(xù)函數(shù))作變換y f (x)z ,那么有y' f'(x)z f (x)z', y'' f''(x)z 2f'(x)z' f(x)z''代入到()中,得fz'' (2f' p(x)f)z' (f'' p(x) f' q(x)f )z 0()不妨令z的系數(shù)等于零,即2f' p(

27、x)f 0從而1p(x) dx f e 2一.11c 1那么f' - p(x)f, f'' - p2(x) p'(x)f242代入到方程中,整理得一 . 一 1 - 1 .z'' Q(x)z 0 (Q(x) q(x) - p (x) 2 P (x).)當Q(x)取某些特殊的函數(shù)時.我們有：C1) Q(x) 三(C為常數(shù)),萬程()可化為歐拉萬程. x2) Q(x) C (C為常數(shù)),方程()可化為常系數(shù)線性方程.4.拉普拉斯變換我們已經(jīng)知道二階常系數(shù)線性方程y'' py' qy f(x)()的通解結(jié)構(gòu)和求解方法,但是,在實

28、際問題中往往還要求()的滿足初始條件y(x.) y0,y'(x.) y'.的解.我們當然可以先求出()的通解,然后由初始條件確定其中的任意常數(shù).止匕外,還有另外一種方法可以求解初值問題,即拉普拉斯(Laplace變換法.由于它無需求出方程的通解,而是直接求出它的特解來, 從而在運算上得到很大簡化.1拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)在區(qū)間0,)上有定義,如果含參量s的無窮積分 ° e st f (t)dt |im o e st f (t)dt對s的某一取值范圍是收斂的,那么稱F(s) 0 estf(t)dt()為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換,f(t)稱為原函數(shù),F(s)稱

29、為象函數(shù),并且記為f(t) F(s)2 一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換11) 11(Res 0)s12) t -2 (Res 0)s3) tn E(n 是正整數(shù),Res 0) s14) eat (Res Rea) s a5) tneat J(n是正整數(shù),Res Rea) (s a)n16) sin t工一2 (Res 0) ss 7) cos t 2 s 2 (Res 0) s3拉普拉斯變換的根本性質(zhì)1)線性性質(zhì)：設(shè)函數(shù)L(t), f2(t)滿足定理3的條件,那么在它們的象函數(shù)共 同的定義域上,有Ci f1(t) C2 f2(t) Ci f1(t) C2 f2(t)其中Ci,C2為任意常數(shù).2)原

30、函數(shù)的微分性質(zhì)：如果f'(t), f''(t),f(t)均滿足定理3的條件,那么f'(t) s f (t) f(0),fn(t) snf(t) sn1f(0) sn2f'(0) f(n1)(0).3)象函數(shù)的微分性質(zhì)：如果f (t) F(s),那么ddnn n-F(s) tf (t),F(s) ( 1) t f(t).dsds4)如果 F(s)f ,那么eatf(t) F(s a).5二階微分方程的存在唯一性存在唯一性定理如果在二階微分方程y'' f(x,y,y')()中,令y'yi,那么y''yi'

31、;,它就可化為方程組dy dx dyi dxyi()f(x, y, yi)我們稱()為一階微分方程組.從而,要討論二階微分方程的初值問題的存在唯 一性,就只需討論一階微分方程組的初值問題的存在唯一性.人y(x)令 Y(x), F(x,Y)yi(x)并定義：dy dY(x)最dx 業(yè)dx那么()可記成向量形式dYdxyi f(x,y,yi)xF(x,Y)dx x.F(x,Y)xyidxx0xf(x, y,yi)dxx0()初始條件y(x0) y0, yi(x0),.可記為Y(x0) Yo,其中 Yoy0yio那么二階微分方程y'' f(x,y,y')y(x0) y0,y&

32、#39;(M) y'0()的初值問題就可記為dYF(x,Y)dxY(xo) Yo()此外,我們把二維向量Y(x)y(x) yi(x)的范數(shù)|Y|定義為l|Y| |y| |yi |.下面,我們給出初值問題()的解的存在與唯一性定理.定理3 如果函數(shù)F(x,Y)在三維空間的區(qū)域R:|x xo| a,|Y Yo| b上滿足：1)連續(xù)；2)關(guān)于Y滿足李普希茲Lipschitz條件,即存在L 0,使對于R上任意兩點(x,YJ(x,YJ ,有I|F(x,Yi) F(x,Y2)| L|Yi 丫2|,那么初值問題()的解在區(qū)間Ix0 h, x0 h上存在唯一,其中h min(a,3,M max | F

33、(x,Y) |.M(x,Y)r類似于一階微分方程的初值問題的存在唯一性定理的證實,下面來簡單證實一下定理3.引理：如果函數(shù)F(x,Y)在三維空間的區(qū)域R:|x x0 | a,|Y Y0 | b上連續(xù),那么初值問題()的解 Y( x) (x),x Ix° h,x° h ,與積分方程xY(x) Y0F(x,Y(x)dx()x0b在區(qū)間Ix0 h,x° h上的連續(xù)解等價,其中h min(a,一),Mm maxiiF(x,Y)ii. (x,Y ) R由引理我們知道,要證實定理 3,只要證實積分方程()的連續(xù)解在區(qū)間IXo h,x0 h上存在唯一就行了1存在性的證實下面用皮

34、卡Picard逐次逼近法來證實積分方程(6)的連續(xù)解的存在性,可分 三個步驟進行.(1)構(gòu)造區(qū)間I上的逐次近似的連續(xù)向量函數(shù)列 Yn(x).令Yo(x) Yo,構(gòu)造畢卡逐次逼近向量函數(shù)序列如下：Yo(x) Yo XYn(x) YoF( Yn i( )d (n 1,2,)xo向量函數(shù)Yn(x)稱為()的第n次近似解.用數(shù)學歸納法可以證實： xxIIX(x) Y)| x |F( Yni( )|d | | Md | M |x xo| Mh b xoxo即曲線Y Yn(x)未越出區(qū)域R,保證了逐次逼近可以一直進行下去.(2)證實函數(shù)序列 K(x)在區(qū)間I上一致收斂.考慮向量函數(shù)項級數(shù)Yo(x) Y(x

35、) Yo(x) Y2(x) Yi(x)Yn(x) Yn 1(x)()它的局部和是Sn1(x) Yo(x) Yi(x) Yo(x) Y2(x) Yi(x)Yn(x) Yn1(x)Y0(x)所以,要說明函數(shù)序列 Yn(x)在區(qū)間I上一致收斂,只需證實級數(shù)()在區(qū) 問I上一致收斂.xY(x) Y)J( Yo( )dxo x|Y(x) Yo| | |F( Yo( )|d | M |x xo| xo由數(shù)學歸納法,我們可以得到：n | x x01n 1|Ym(x) Yn(x)| L M 10(n 1)!而|x x0| h,易于看出級數(shù)()每一項的絕對值都不會超過正項級數(shù)h2|Y0 | Mh LM 2!lY

36、的對應項.上面的級數(shù)顯然是收斂的.從而,級數(shù)()在區(qū)間I上一致收斂.設(shè)其和函數(shù)為(x),從而函數(shù)序列Yn(x)在區(qū)間I上一致收斂于(x)由于K(x)在區(qū)間I上是連續(xù)的,因而 (x)也是連續(xù)的.(3)證實(x) lim Yn(x)是積分方程()的解. nx對Yn(x) Y0F( Ynl( )d兩邊取極限,得x0x(x) Y0 lim X F( ,Yni( )dnx0要證(x) limYn(x)是積分方程()的解,只需證 nxx呵("()d J(,()dYn(x)在區(qū)間I上一致收斂,0, N 0,使 n N 時,有 |Yn(x)(x)| 一Lhx| F( "( )dx0xJ(

37、« )d |x0x| X |F( ,Yni( ) F( , 0(x0)1口 IxL| J|Yn l()()|d | x0xlim F( ,Yni( )dn xxL | d | L |x xo |x° LhLhxF(,()dxo那么(x) limK(x)是積分方程()的解. n2唯一性的證實設(shè)(x)也是積分方程(6)的解,且滿足0(x0) 丫0.那么有xY0x0F(,()d ,于是| (x) o(x)| | F( ,0(x0)F( ,0( )dII L| | O()照x0)I|d()|d ,|x% | h.xO | x L|0( x0由Bellman不等式得：| (x)(x)| 0,|x X0 | h.得出矛盾.因此,在|x x0 | h的解唯一.綜上,()的存在唯一性定理得證.結(jié)論關(guān)于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就,尤其在二階常系數(shù)線性 微分方程的求解問題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效.二階微分方程的解 的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性,而且還